Al secondo congresso internazionale di matematici , tenutosi a Parigi nell'agosto del 1900 , David Hilbert intendeva competere con il maestro di matematica francese, Henri Poincaré , e dimostrare che era della stessa sostanza. Presentò un elenco di problemi che fino a quel momento avevano tenuto sotto controllo i matematici. Questi problemi sono stati, secondo Hilbert, segnano il corso di matematica xx ° secolo , e possiamo dire oggi che è stato in gran parte il caso. Rilasciato dopo che la conferenza aveva avuto luogo, l'elenco finale consisteva in 23 problemi, ora chiamati problemi di Hilbert .
Le sezioni seguenti introducono brevemente ogni problema.
| n ° | Resoconto del problema | Stato di risoluzione del problema | Data di risoluzione |
|---|---|---|---|
| 1 st | Qualsiasi sottoinsieme infinito di numeri reali può essere messo in biiezione con l'insieme dei numeri naturali o con l'insieme dei numeri reali stesso. | Questa è l' ipotesi del continuo , dimostrata indecidibile (né la sua verità né la sua falsità possono essere provate) nella teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel , anche con l' assioma della scelta . Tuttavia, questo è ancora oggetto di ricerca come parte delle estensioni della teoria ZFC tramite l'aggiunta di nuovi assiomi come gli assiomi dei grandi cardinali . | 1963 |
| 2 ° | Possiamo dimostrare la coerenza dell'aritmetica ? In altre parole, si può dimostrare che gli assiomi dell'aritmetica non sono contraddittori? | Non vi è consenso sul fatto che i risultati di Gödel e Gentzen forniscano una soluzione al problema formulata da Hilbert. Il teorema di incompletezza di Gödel , dimostrato nel 1931, mostra che nessuna prova di coerenza può essere fatta usando gli strumenti dell'aritmetica. Gentzen, tuttavia, ha dato una risposta affermativa nel 1936 mediante la ricorrenza transfinita. | 1936? |
| 3 rd | Dati due poliedri di uguale volume , possiamo dividere il primo poliedro in poliedri e metterli insieme per formare il secondo poliedro? | Risolto in senso negativo. I due poliedri devono avere gli stessi invarianti di Dehn. | 1900 |
| 4 ° | Definisci tutte le geometrie le cui geodetiche sono le linee . | Troppo vago per essere determinato risolto o meno. | |
| 5 ° | Mostra che i gruppi di Lie sono necessariamente differenziabili. | Risolto da Andrew Gleason , con qualche interpretazione data alla formulazione. Se, tuttavia, può essere interpretato come congettura di Hilbert-Smith (in) , non è ancora risolto. | 1953? |
| 6 ° | Assiomatizzazione, basata sul modello matematico, della fisica . | Irrisolto. | |
| 7 ° | Dimostrare la trascendenza dei numeri di B , con un algebrico diverso da 0 e 1, e b irrazionale algebrico . | Risolto. Risultato: dimostrato, dal teorema di Gelfond-Schneider . | 1935 |
| 8 ° | Mostra tre congetture:
- l' ipotesi di Riemann ; - la congettura di Goldbach ; - la congettura dei numeri primi gemelli . |
Irrisolto. | |
| 9 th | Stabilire una legge di reciprocità nei campi numerici . | Parzialmente risolto. Si risolve, nel caso abeliano , con lo sviluppo della teoria dei campi di classe . Se interpretiamo il problema come sufficientemente ampio da includere casi non abeliani (in) , allora rimane irrisolto. | |
| 10 th | Trova un algoritmo che determini se un'equazione diofantina ha soluzioni. | Risolto in senso negativo. Il teorema Matiyasevich implica che non esiste un tale algoritmo. | 1970 |
| 11 th | Classificare le forme quadratiche con coefficienti nei campi numerici . | In parte risolto dal principio locale-globale di Helmut Hasse e Carl Siegel . | (a) 1923 (b) 1930 |
| 12 th | Estendi il teorema di Kronecker-Weber a tutti i campi numerici . | Irrisolto. | |
| 13 th | Mostra l'impossibilità di risolvere equazioni di settimo grado utilizzando funzioni continue di due sole variabili . | Risolto. Smentito da Vladimir Arnold , basato sul lavoro di Andrei Kolmogorov . | 1957 |
| 14 th | Per dimostrare la finitezza di certi sistemi completi di funzioni. | Risolto in senso negativo. Controesempio costruito da Masayoshi Nagata . | 1959 |
| 15 th | Per impostare le basi del calcolo enumerativo di Schubert . | Risolto da Bartel Leendert van der Waerden | 1930 |
| 16 th | Descrivi le posizioni relative dei rami delle curve algebriche reali e dei cicli limite di un campo vettoriale bidimensionale. | Irrisolto. | |
| 17 th | Mostra che una funzione razionale positiva può essere scritta come la somma dei quadrati di funzioni razionali. | Risolto da Emil Artin . Risultato: sì. | 1927 |
| 18 th | (a) Esiste un poliedro che accetta solo una piastrellatura tridimensionale non isoedrica? (b) Qual è la pila di sfere compatta più densa? |
(a) Risolto da Karl Reinhardt (de) . Risultato: sì. (b) Risolto da Thomas Hales . Risultato: impilamento cubico ed esagonale, che hanno una densità di circa il 74%. |
(a) 1928 (b) 1998 |
| 19 th | Dimostrare che il calcolo delle variazioni è sempre necessariamente analitico. | Risolto. Risultato: sì, risolto da Bernstein (1904), provato da Ennio De Giorgi e, indipendentemente e con altri metodi, da John Forbes Nash | 1957 |
| 20 th | Tutti i problemi di calcolo delle variazioni con condizioni al contorno appropriate hanno soluzioni? | Risolto. Un tema di ricerca importante per tutto il XX ° secolo, comprese le soluzioni per i casi non lineari. | XX ° secolo |
| 21 th | Dimostrare che qualsiasi rappresentazione complessa di dimensione finita può essere ottenuta mediante monodromia di azione su un'equazione differenziale di Fuchs . | Risolto da Helmut Rörl per la formulazione più comune. Risolto negativamente da Dmitri Anosov e Andreï Bolobroukh. | (a) 1957 (b) 1989 |
| 22 nd | Standardizza le curve analitiche usando le funzioni automorfiche (en) . | Risolto da Paul Koebe e Henri Poincaré . | 1907 |
| 23 rd | Sviluppare un metodo generale di risoluzione nel calcolo delle variazioni . | Irrisolto. |
Qualsiasi sottoinsieme infinito di numeri reali può essere messo in biiezione con l'insieme dei numeri naturali o con l'insieme dei numeri reali stesso.
Questa è l' ipotesi del continuo di Cantor indicata con HC. Questo risultato avrebbe avuto come conseguenza che il cardinale infinito che segue immediatamente il numerabile , è quello del continuo .
Kurt Gödel ha dimostrato nel 1938 che non si poteva dimostrare la negazione di HC nel ZFC insieme teoria - più precisamente: che se ZF è coerente allora ZFC + HC troppo - e Paul Cohen , nel 1963, che si potrebbe non rivelarsi HC o (in questo stessa teoria): diciamo che questa congettura è indecidibile nella teoria ZFC (o indipendente da essa). Il che porta a impostare teorie con o senza questa ipotesi.
Poiché si ritiene che la teoria ZFC consenta in gran parte di formalizzare lo sviluppo della matematica fino ad oggi, la questione può sembrare risolta. Tuttavia, l'esistenza di ulteriori assiomi "naturali" che si aggiungerebbero alla teoria ZFC e potrebbero decidere l'ipotesi del continuo rimane un campo di ricerca.
Nel suo primo problema, Hilbert ha ricordato un'altra congettura di Cantor che sperava - due volte a torto - di avere una soluzione efficace e di aiutare a risolvere quella precedente:
C'è un buon ordine sul set dei reali.
In effetti, questa affermazione è indecidibile in ZF ma - secondo il teorema di Zermelo - dimostrabile in ZFC.
Possiamo dimostrare la coerenza dell'aritmetica ? In altre parole, si può dimostrare che gli assiomi dell'aritmetica non sono contraddittori?
Gödel dimostrò nel 1931 , tramite il suo teorema di incompletezza , che ciò non poteva essere dimostrato senza lasciare l'aritmetica. Gentzen dimostrò nel 1936 che la consistenza dell'aritmetica deriva dal fatto che il numero transfinito ε₀ (en) è definito da una ricorrenza ben fondata .
Dati due poliedri di uguale volume , possiamo dividere il primo poliedro in poliedri e metterli insieme per formare il secondo poliedro?
Max Dehn , un allievo di Hilbert, dimostrò che non lo era, nel 1902, dimostrando che era impossibile dividere un cubo e un tetraedro regolare dello stesso volume in un numero finito di identici poliedri due per due. Nonostante tutto, il paradosso di Banach-Tarski costituisce un risultato positivo per questa domanda se non richiediamo che i pezzi intermedi siano poliedri e soprattutto se assumiamo l' assioma della scelta .
Definisci tutte le geometrie la cui distanza più breve tra due punti è un segmento di linea .
La geometria differenziale ha permesso una risposta parziale a questo problema, sebbene non possa in senso stretto una risposta ferma.
Mostra che i gruppi di Lie sono necessariamente differenziabili.
Il teorema di Gleason - Montgomery (de) - Zippin (en) del 1953 risponde affermativamente.
Assiomatizzazione, basata sul modello matematico, della fisica .
A causa dell'emergere della teoria della relatività e della meccanica quantistica , il problema divenne rapidamente obsoleto. Nonostante tutto, la fisica teorica e la matematica continuano ad avvicinarsi. Assiomatizzando la teoria della probabilità , Kolmogorov ha parzialmente risolto questo problema.
Dimostrare la trascendenza dei numeri di B , con un algebrico diverso da 0 e 1, e b irrazionale algebrico .
Il lavoro di Gelfond e Schneider ha permesso di risolvere questo problema (vedi teorema di Gelfond-Schneider ), generalizzando così il risultato che la costante di Gelfond-Schneider , 2 √ 2 , è trascendente. Questo teorema è stato generalizzato da Baker (vedi Teorema di Baker ).
Questi sono in realtà quattro problemi di teoria dei numeri, i tre più famosi dei quali sono:
Dimostrare l' ipotesi di Riemann ;
dimostrare la congettura di Goldbach ;
dimostrare la congettura dei numeri primi gemelli .
Nonostante i progressi compiuti in particolare da Deligne (ipotesi di Riemann) che ha dimostrato le congetture di Weil , e per questo ha ricevuto la medaglia Fields nel 1978 , da Ramaré (congettura di Goldbach), che ha stabilito nel 1995 che ogni intero è la somma di sette numeri primi al massimo , e da Chen Jingrun (primi gemelli), che ha dimostrato l'esistenza di un'infinità di numeri primi p tali che p + 2 è il prodotto di al massimo due fattori primi, siamo ancora lontani dall'aver risolto questi problemi che si profilano come quelli del XXI ° secolo .
Stabilire una legge di reciprocità nei campi numerici .
Una risposta a questo problema è fornita dalla legge di reciprocità di Artin , dimostrata da Emil Artin nel 1927 . Questo teorema arricchisce la conoscenza della teoria dei campi di classe , il cui sviluppo è stato facilitato dall'introduzione di idels (en) da parte di Chevalley nel 1936 .
Trova un algoritmo che determini se un'equazione diofantina ha soluzioni.
Non è stato fino al lavoro di Church e Turing nel 1930 per definire rigorosamente la nozione di algoritmo. Nel 1970 , Yuri Matijasevic , stabilendo un'equivalenza tra insiemi enumerabili ricorsivamente e insiemi diofantini , stabilì che un tale algoritmo non poteva esistere.
Classificare le forme quadratiche con coefficienti nei campi dei numeri o nei loro anelli di numeri interi .
Il teorema di Hasse-Minkowski risolve il problema su ℚ, e Siegel lo ha risolto su alcuni anelli di numeri interi.
Estendi il teorema di Kronecker-Weber alle estensioni abeliane di qualsiasi campo numerico .
Mostra l'impossibilità di risolvere equazioni di settimo grado utilizzando funzioni continue di due sole variabili .
Vladimir Arnold ha confutato questa congettura nel 1957, secondo il lavoro di Kolmogorov , mostrando, più in generale, che qualsiasi funzione continua di un numero finito di variabili è espressa dalla composizione da funzioni continue di due variabili.
D'altra parte, la questione della solubilità dell'equazione del settimo grado da parte delle funzioni analitiche di due variabili è ancora aperta.
Per dimostrare la finitezza di certi sistemi completi di funzioni.
Il problema è il seguente: consideriamo un campo k e un sottocampo K di k ( X 1 ,…, X n ); poniamo R = k [ X 1 ,…, X n ]; L'anello K ∩ R è una k -algebra di tipo finito? La risposta è positiva per n = 1 o 2, come mostrò Oscar Zariski nel 1954 (che diede la seguente interpretazione geometrica: esiste una varietà proiettiva X con campi di funzioni K e un divisore effettivo D su X tale che K ∩ R è il insieme di funzioni di K aventi poli solo su R ). La ricerca di condizioni sufficienti per la validità del risultato di Hilbert è stata una fonte di idee molto fruttuose in geometria.
Nagata nel 1959 ha fornito un controesempio che confutava la congettura.
Per impostare le basi del calcolo enumerativo di Schubert .
Si tratta di fare dei calcoli rigorosi sugli oggetti "in posizione generale " in teoria dell'intersezione (in) , e in particolare sul "principio di conservazione dei numeri". Questo problema ha dato origine alle teorie della molteplicità di Samuel e Grothendieck .
Risolto da van der Waerden nel 1930 .
Questo problema ha due parti. Il primo riguarda il numero di rami reali (ovali) di una curva algebrica e la loro disposizione; molti risultati moderni ( Petrovskii , Thom , Arnold ) forniscono informazioni su di essi.
La seconda parte del problema pone la questione del numero massimo e della posizione reciproca dei cicli limite di Poincaré (orbite periodiche isolate) per un'equazione differenziale polinomiale piana di un dato grado; questa domanda è ancora aperta.
Mostra che una funzione razionale positiva può essere scritta come la somma dei quadrati di funzioni razionali.
Risolto da Emil Artin nel 1927 . Una prova per teoria del modello è stata trovata dal logico Abraham Robinson .
Costruisci uno spazio euclideo con poliedri congruenti .
Il problema ha tre parti:
Dimostrare che il calcolo delle variazioni è sempre necessariamente analitico.
Risolto da Bernstein , Ennio De Giorgi e John Forbes Nash .
Studia la soluzione generale di problemi al contorno per equazioni alle derivate parziali.
Dimostrare che qualsiasi rappresentazione complessa di dimensione finita può essere ottenuta mediante monodromia di azione su un'equazione differenziale di Fuchs .
Risolto da Helmut Rörl nel 1957 .
Standardizza le curve analitiche utilizzando funzioni automorfiche (en) .
Risolto da Paul Koebe e Henri Poincaré nel 1907 .
Sviluppare un metodo generale di risoluzione nel calcolo delle variazioni .
Nel 2000, lo storico della matematica Thiele Rüdiger scoprì negli appunti di David Hilbert che Hilbert aveva inizialmente previsto di aggiungere un altro problema, il ventiquattresimo, che alla fine lasciò dalla sua lista. Si trattava di determinare i criteri riguardanti la semplicità - o la dimostrazione della massima semplicità - di certe dimostrazioni. Il matematico ha cercato di sviluppare una teoria generale sui metodi di dimostrazione in matematica. Paradossalmente, pochi anni dopo, egli stesso fondò una Teoria della Prova .