Numero palindromo

Un palindromo è un numero simmetrico scritto in un certo basamento è la seguente: .

Palindromi in base 10

Tutti i numeri in base 10 di una cifra { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } sono palindromi. Ci sono nove numeri palindromici a due cifre:

{ 11 , 22 , 33 , 44 , 55 , 66 , 77 , 88 , 99 }.

Ci sono 90 numeri palindromici a tre cifre:

{ 101 , 111 , 121 , 131 , 141 , 151 , 161 , 171 , 181 , 191 , ..., 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

e anche 90 numeri palindromici a quattro cifre:

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, ..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},

quindi, ci sono 199 numeri palindromi inferiori a 10 4 . Ci sono 1.099 numero palindromo meno di 10 5 e per gli altri 10 n esponenti abbiamo: 1 999,10 999,19 999.109 999.199 999,1 099 999, ... (seguito A070199 del OEIS ). Per alcuni tipi di numeri palindromici, questi valori sono riportati nella tabella sottostante. Qui è incluso 0 .

10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9 10 10
n naturale 10 19 109 199 1099 1999 10999 19999 109999 199999
n pari 5 9 49 89 489 889 4889 8889 48889 88889
n dispari 5 10 60 110 610 1110 6110 11110 61110 111110
n quadrato perfetto 4 7 14 15 20 31
n prima 4 5 20 113 781 5953
n senza quadrato 6 12 67 120 675 1200 6821 12160 + +
n con quadrato ( μ ( n ) = 0) 3 6 41 78 423 + + + + +
n quadrato con prima radice 2 3 5
n con un numero pari di fattori primi distinti (μ ( n ) = 1) 2 6 35 56 324 + + + + +
n con un numero dispari di fattori primi distinti (μ ( n ) = - 1) 5 7 33 65 352 + + + + +
n pari con un numero dispari di fattori primi
n pari con un numero dispari di fattori primi distinti 1 2 9 21 100 + + + + +
dispari n con un numero dispari di fattori primi 0 1 12 37 204 + + + + +
dispari n con un numero dispari di fattori primi distinti 0 0 4 24 139 + + + + +
n pari al quadrato con un numero pari di fattori primi distinti 1 2 11 15 98 + + + + +
dispari n al quadrato con un numero pari di fattori primi distinti 1 4 24 41 226 + + + + +
n dispari con esattamente due fattori primi 1 4 25 39 205 + + + + +
n anche con esattamente due fattori primi 2 3 11 64 + + + + +
n anche con esattamente tre fattori primi 1 3 14 24 122 + + + + +
n anche con esattamente tre fattori primi distinti
n dispari con esattamente tre fattori primi 0 1 12 34 173 + + + + +
n numero di Carmichaels 0 0 0 0 0 1+ + + + +
n per cui σ ( n ) è palindromo 6 10 47 114 688 + + + + +

Buckminster Fuller ha chiamato i numeri palindromo "numeri Scheherazade" nel suo libro Synergetics , perché Scheherazade era il nome del narratore in Le mille e una notte .

Aggiunte con risultato palindromo

Prendi un numero a caso. Aggiungilo con un suono bilanciato nella lettura. A seconda del numero, applicando successivamente lo stesso procedimento al risultato, si può ottenere un palindromo.

1234 + 4321 = 5555, è un palindromo. Un altro esempio: 149 + 941 = 1090; 1090 + 0901 = 1991, otteniamo un palindromo in due fasi.

Non lo sappiamo, anche se sospettiamo l'esistenza di numeri per i quali questo processo di addizione per numero simmetrico non darebbe un palindromo. Tali numeri sono chiamati Numero di Lychrel .

Moltiplicazioni che danno come risultato un palindromo

12 moltiplicato per 21 è 252.

111111111 moltiplicato per 111111111 dà 12345678987654321.

Proprietà

I numeri palindromici di pari grandezza sono multipli di 11.

In effetti, la relazione si traduce in questo . Quindi, quando calcoliamo il resto modulo 11 di un numero palindromico di dimensioni pari, le sue cifre annullano 2 a 2.

Quindi 172.271 è congruente modulo 11 a 1-7 + 2-2 + 7-1 = 0, quindi è divisibile per 11.

Definizione formale

Sebbene i numeri di palindromicità siano più spesso rappresentati nel sistema decimale , il concetto di palindromicità può essere applicato a numeri interi in qualsiasi sistema numerico . Considera un numero n > 0 in base b ≥ 2, dove è scritto in notazione standard con k +1 cifre come:

con 0 ≤  un i  <  b per tutti i ed un k  ≠ 0. Quindi n è un numero palindromo se e solo se una mi  =  un k - i per tutti i .

Basi diverse da 10

I numeri palindromo possono essere considerati in sistemi numerici diversi dai decimali . Ad esempio, i numeri binari palindromo sono:

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, ...

o in decimale: 0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, ... prosecuzione A006995 della OEIS . I numeri primi di Fermat e Mersenne formano un sottoinsieme dei palindromi binari primi. Tutti i numeri sono palindromi in un numero infinito di basi. Ma è più interessante considerare basi più piccole del numero stesso - nel qual caso la maggior parte dei numeri sono palindromi in più di una base, per esempio ,, . In base 18 , alcune potenze di sette sono palindromi:

E in base 24, le prime otto potenze di cinque sono palindromi:

Qualsiasi numero n è palindromico in tutte le basi b con b ≥ n + 1 (perché n è quindi un numero a una cifra), ma anche in base n - 1 (perché n è quindi 11 n - 1 ). Un numero non palindromico in tutte le basi 2 ≤ b < n - 1 è chiamato numero strettamente non palindromico .

Numeri palindromi in più basi

Alcuni numeri sono palindromici in più di una base di conteggio. Ad esempio 6643 è il numero più piccolo sia in base 2 che in base 3 palindromo.

Proprietà dei numeri palindromici

Riferimenti

  1. Jean-Paul Delahaye , "  121, 404 e altri numeri palindromi  ", Pour la science , n o  480,ottobre 2017, p.  80-85

Vedi anche

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato "  Numero palindromico  " ( vedere la lista degli autori ) .

Bibliografia

Articoli Correlati

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