Risponde

Nel campo della matematica ricreativa , una respunit è un numero naturale la cui scrittura, in una certa base intera, contiene solo cifre 1. Questo termine è la francizzazione della repunit inglese , una contrazione dell'espressione rep mangiata unità (unità ripetuta), proposta nel 1966 da Albert H. Beiler .

In francese, sono stati proposti i nomi " numero polimonadico ", " multi-as " o " respun " , ma è l'anglicismo che rimane il più utilizzato.

Definizione

Le risposte in base dieci sono definite da:

R_ {n} = {\ frac {10 ^ {n} -1} {9}} \ qquad {\ mbox {for}} n \ geq 1.

Più in generale, sono dati in base b , da:

R_ {n} ^ {{(b)}} = {\ frac {b ^ {n} -1} {b-1}} = \ sum _ {{k = 0}} ^ {{n-1}} b ^ {k} \ qquad {\ mbox {per}} n \ geq 1.

Pertanto, il numero $R ( b ) n$ è scritto come la giustapposizione di $n$ cifre $1$ .

Storia

Anche se non ancora conosciuto con quel nome, i répunits base 10 sono stati studiati da molti matematici nel corso del XIX ° secolo, in uno sforzo per sviluppare e prevedere le tendenze cicliche che si ripetono decimali .

Si è scoperto molto presto che, per ogni numero primo p maggiore di 5, il periodo di espansione decimale di 1 / p è uguale alla lunghezza della risposta più piccola divisibile per p . Le tabelle del periodo di reciprocità dei numeri primi fino a 60.000 furono pubblicate nel 1860 e consentirono di fattorizzare , da matematici come Reuschle, tutte le risposte fino a R 16 e oltre. Nel 1880, anche R 17 a R 36 sono stati ceduti ed è curioso che, sebbene Édouard Lucas ha mostrato che nessun numero primo di seguito tre milioni ha avuto un periodo pari a diciannove anni, ha fatto non c'era alcun tentativo di testare questo fino agli inizi del XX ° secolo . Il matematico americano Oscar Hoppe dimostrò nel 1916 che R 19 è primo e Lehmer e Kraïtchik dimostrarono indipendentemente la primalità di R 23 nel 1929. I progressi nello studio delle respirazioni non ebbero luogo fino agli anni '60, quando i computer hanno consentito molti nuovi fattori di tregua essere trovato. Il progetto Cunningham ha documentato, tra le altre cose, le fattorizzazioni delle risposte di base 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 e 12.

Esempi

I primi termini della serie di respirazioni sono:

1 , 11 , 111 , 1 111, 11 111, 111 111, 1 111 111 (seguito A002275 del OEIS ).

Le risposte in base 2 (risposte binarie) sono i numeri di Mersenne M n = 2 n - 1.

Proprietà

Le risposte in base dieci sono numeri uniformi .
Il GCD delle repunits in base $b$ segue la regola: ${\ displaystyle {\ rm {pgcd}} (R_ {m} ^ {(b)}, R_ {n} ^ {(b)}) = R _ {{\ rm {pgcd}} (m, n)} ^ {(b)}}$ .In particolare, $R ( b ) n$ è divisibile per $R ( b ) m$ se e solo se $n$ è divisibile per $m$ .

Ripartizione delle risposte decimali

I fattori primi colorati in rosso sono "fattori nuovi", che dividono ma non dividono per tutto ; A seguito di A102380 di OEIS . $R_ {n}$ $R_ {k}$ $k <n$

R 1 =	1
R 2 =	11
R 3 =	3 · 37
R 4 =	11 101
R 5 =	41 · 271
R 6 =	3 7 11 13 37
R 7 =	239 · 4649
R 8 =	11 73 101 137
R 9 =	3 2 37 333667
R 10 =	11 41 271 9091

R 11 =	21649 · 513239
R 12 =	3 7 11 13 37101 9901
R 13 =	53 · 79 · 265 371 653
R 14 =	11 239 4649 909091
R 15 =	3 31 37 41 271 2906161
R 16 =	11 17 73 101 137 5882353
R 17 =	2071723 · 5363222357
R 18 =	3 2 7 11 13 19 37 52579 333667
R 19 =	1111111111111111111
R 20 =	11 41101271 3541 9091 27961

R 21 =	37 3 43 239 1933 4649 10.838,689 mila
R 22 =	11 2 · 23 · 4093 · 8779 · · 21649 513 239
R 23 =	11111111111111111111111
R 24 =	3 7 11 13 37 73101137 9901 99990001
R 25 =	41 · 271 · 21401 · 25601 · 182521213001
R 26 =	53 79 11 859 265.371.653 1.058.313,049 mila
R 27 =	3 3 37 757 333667 440.334.654.777.631
R 28 =	11 29 101 239 281 4649 909091 121499449
R 29 =	3191 · 16763 · 43037 · 62003 · 77.843.839,397 mila
R 30 =	3 · 7 · 11 · 13 · 31 · 37 · 41 · 211 · 241 · 271 · 2161 · 9091 · 2906161

Prime risposte

Storicamente, è nell'ambito della matematica ricreativa che è stato intrapreso lo studio delle respirazioni, in particolare tentando di escluderle . Il progetto Cunningham propone di elencare le fattorizzazioni delle respirazioni in base 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11 e 12.

Dall'ultima proprietà sopra, $R ( b ) n$ è primo solo se $n$ è primo. Ma questa non è una condizione sufficiente, come illustra questo controesempio in base dieci:

3 è primo ma R 3 = 111 = 3 × 37 è composto .

Tuttavia, $R (2) 3$ = 7 è primo. $R ( b ) 3$ è anche primo per b uguale ad esempio (in base dieci) a 3, 5, 6, 8, 12, 14, 15, 17, 20, 21, 24, 27, 33, 38, 41, 50, 54, 57, 59, 62, 66, 69, 71, 75, 77, 78, 80, 89, 90, 99, 101, 105, 110, 111, ... (la scrittura in base dieci di $R (111) 3$ è 12.433).

Le risposte prime sono piuttosto rare (la probabilità che un numero sia primo è a priori uguale all'inverso del suo logaritmo, quindi proporzionale all'inverso del suo numero di cifre; vedi teorema dei numeri primi ). Tuttavia, si è ipotizzato che c'è un'infinità di loro.

Cosa si dovrebbe notare, rispetto al piccolo teorema di Fermat , quando $p$ è primo: p divide $R ( b ) p - 1$ quindi $b R ( b ) p - 1 - 1$ è divisibile per $R ( b ) p$ . $b ^ {{R_ {p} ^ {{(b)}}}} \ equiv b {\ pmod {R_ {p} ^ {{(b)}}}}$ quando p è primo.

In dieci base, R n è primo per n = 2, 19, 23, 317, 1031, ... (seguito A004023 del OEIS ). Le risposte R 49 081 , R 86 453 , R 109 297 , R 270 343 e R 5 794 777 sono numeri primi probabili .

Ogni respunità primaria è permutabile per prime , cioè rimane prima dopo ogni permutazione delle sue cifre.

Se $n$ e $b$ sono coprimi , almeno una delle risposte $R ( b ) 1,\dots, R ( b ) n$ è un multiplo di $n$ .

Dimostrazione

Ragioniamo con l'assurdo supponendo che nessuno di questi $n$ numeri sia divisibile per $n$ . Quindi (secondo il principio dei cassetti e poiché ci sono solo $n - 1$ classi di mod $n$ congruenza diverso da zero) due di loro sono nella stessa classe, cioè esistono interi $i$ e $j$ , con $1 \leq i < j \leq n$ , tale che $n$ divide $R ( b ) j - R ( b ) i = R ( b ) j - i \times b i$ quindi (secondo il lemma di Gauss ) $n$ divide $R ( b ) j - i$ , che contraddice l'ipotesi iniziale.

Note e riferimenti

( fr ) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Repunit " ( vedere l'elenco degli autori ) .

(in) Albert H. Beiler, Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains , Dover Publications ,1966( 1 a ed. 1964), 349 p. ( ISBN 978-0-486-21096-4 , letto online ) , cap. 11.
http: / https://fr.wikiversity.org/wiki/Arithm%C3%A9tique/Devoir/Nombres_polymonadiques
Jean Moreau de Saint Martin (multi-asso proposto dopo MD Indjoudjian, nella rivista "la jaune et la rouge".), " In search of multi-as squares ", Quadrature n ° 26 ,Ottobre 1996, p. 25-27
Richard Choulet, " Some remarks on the respuns " , Bulletin of the APMEP n ° 464
(en) Leonard Eugene Dickson , Storia della Teoria dei Numeri (en) [ dettaglio di edizioni ], volo. 1, 1999, p. 164-167 .
(in) Richard L. Francis, " Mathematical Haystacks: Another Look at repunit Numbers " , The College Mathematics Journal (in) , vol. 19, n o 3,1988, p. 240-246.
Vedi per esempio l' assegnazione su Wikiversità o la proprietà di forte divisibilità della sequenza di Lucas $U$ $n$ $($ $b$ $+ 1,$ $b$ $)$ , o la ragione per la proprietà analoga della sequenza di Fibonacci .
Per ulteriori informazioni, vedere Fattorizzazione dei numeri di unità .
(it) " fattorizzazioni di 2 ^ n-1, n dispari, n <1200 " , su cerias.purdue.edu/homes/ssw/cun .
(in) Yousuke Koide, " fattorizzazioni di numeri repunit " ,2015.
(in) " Repunits and Their Prime Fattors " su worldofnumbers.com .
Ulteriori spiegazioni in (in) repunit su The Prime Pages di Chris Caldwell.
(in) " repunit " su primes.utm.edu/top20 .

Vedi anche

Bibliografia

(it) Paulo Ribenboim , The New Book of Prime Number Records , Springer ,1996, 541 p. ( ISBN 978-0-387-94457-9 ).
Michel Demazure , Corso di algebra. Primalità divisibilità. Codici , Cassini,2008[ dettaglio dell'edizione ]

Questo libro contiene molti algoritmi scritti in Ruby , in particolare i test di primalità per le respunits.

Link esterno

(it) Eric W. Weisstein , " Repunit " , su MathWorld