4 politopo

Grafici dei sei 4 politopi convessi regolari

	{3,3,3}	{3,3,4}	{4.3.3}
	Pentachore a 5 celle 4- simplex	Orthoplex a 16 cellule 4- iperottaedro	Tesseract a 8 celle 4- cubo
	{3,4,3}	{5.3.3}	{3.3.5}
	Octaplex a 24 celle	Dodecaplex a 120 cellule	600-celle tetraplex

In geometria, un 4 politopo (spesso chiamato anche policoro ) è un politopo dello spazio quadridimensionale . È una figura correlata, composta da un numero finito di politopi di dimensione inferiore: vertici , bordi , facce (che sono poligoni ) e celle (che sono poliedri ), ciascuna faccia che appartiene esattamente a due celle. Il 4-politopo più noto è il tesseract (o ipercubo), un analogo 4D del cubo.

Definizione

La definizione di 4 politopi varia notevolmente tra gli autori. Una semplice definizione di 4-politopi convessi deve essere lo scafo convesso di un insieme finito di non tutti i punti situati nello stesso iperpiano . È quindi facile definire i vertici , i bordi , le facce e le celle del politopo come i politopi di dimensione inferiore inclusi nel confine  ; se ne deduce una definizione più astratta, e non limitata alla convessità, come un insieme di poliedri aventi una struttura combinatoria adeguata (ad esempio, ogni poligono appartiene esattamente a due poliedri); questa descrizione ha portato alla nozione ancora più astratta di complesso simpliciale . R4{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}R4{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}

Visualizzazione

Esempi di rappresentazioni a 24 celle

Sezioni			Capo
Proiezioni
di Schlegel	Ortogonale 2D	Ortogonale 3D	in rotazione 4D

Una vera visualizzazione di 4 politopi essendo impossibile nel solito spazio, sono stati immaginati diversi metodi per rappresentarli.

Proiezioni ortogonali

Le proiezioni ortogonali sono particolarmente utili per evidenziare le simmetrie di alcuni 4 politopi. Possono essere disegnati nel piano come grafici che mostrano vertici e bordi, o nello spazio (con le 2 facce evidenziate).

Proiezioni prospettiche

Una delle proiezioni più utili per dare un senso di profondità nella quarta dimensione è il diagramma di Schlegel , una proiezione stereografica dei vertici del politopo (presumibilmente inscritto in una 3-sfera ) nello spazio abituale, e quindi collegare questi vertici da bordi (che non sono necessariamente i progetti dei bordi reali).

Sezioni

Una sezione di un poliedro da un piano è un poligono; allo stesso modo, il taglio di un 4 politopo con un iperpiano rivela un poliedro. Una serie di queste sezioni di iperpiani paralleli dà un'idea della forma globale e possiamo dare una rappresentazione animata (che equivale a usare il tempo come quarta dimensione).

Modelli

Il modello di un 4 politopo è costituito da celle poliedriche collegate dalle loro facce; la ricostruzione del politopo richiede anche indicazioni di piegatura nella quarta dimensione.

La caratteristica di Eulero sufficiente a classificare i poliedri (e più in generale le superfici compatte dello spazio tridimensionale) ad isomorfismo, non è utilmente generalizzata a dimensioni superiori, che hanno portato alla scoperta dei numeri di Betti  ; analogamente, l'orientabilità deve essere sostituita dallo studio più generale della torsione dei gruppi di omologia del politopo.

Classificazioni

Terminologia

• Un 4 politopo è convesso se il suo bordo (celle, facce e bordi) non si interseca e se un qualsiasi segmento che unisce due punti del bordo è contenuto nel politopo; in caso contrario, non è convesso . 4-politopi che si autointersecano esprimono Star  (fr) , per analogia con i poligoni stellari e il poliedro Kepler-Poinsot .
• Un 4 politopo è regolare se è transitivo sulle sue bandiere . Dimostriamo che questo è equivalente a tutte le sue celle che sono poliedri regolari congruenti , e tutte le sue figure dei vertici sono altri poliedri regolari congruenti.
• Il politopo 4-convesso è semiregolare  (in) se tutte le celle sono di poliedri regolari e se c'è un gruppo di simmetria transitivo sui picchi , ma non è regolare. Esistono solo tre politopi semiregolari, identificati da Thorold Gosset nel 1900: le cellule troncate a 5  (en) , le cellule troncate da 600  (in) e le cellule snub a 24 cellule  (en) .
• 4-politopo è uniforme  (in) se tutte le sue celle sono poliedri uniformi e se c'è un gruppo di simmetria transitivo sui vertici . I 2 lati di un 4 politopo uniforme sono poligoni regolari .
• Un 4 politopo è scaliforme  (en) se è transitivo sui vertici e se tutti i suoi bordi hanno la stessa lunghezza. Le celle possono quindi essere non uniformi, ad esempio i solidi di Johnson .
• Un 4 politopo è prismatico se è il prodotto cartesiano di politopi di dimensioni inferiori.

Classi

Le seguenti classi raggruppano politopi con molte simmetrie. Altre classi sono state studiate, ma generalmente in modo molto meno esaustivo.

Politopi 4 uniformi  :

• Polytopes uniformi a 4 convessi (64, più due famiglie infinite)
  • 47 non prismatico, tra cui:
    • i sei 4 politopi convessi regolari (i policorri regolari )
  • 18 iperprismi poliedrici di tipo {} × {p, q} (tra cui l' ipercubo )
  • Una famiglia infinita di prismi costruiti su antiprismi
  • Una famiglia infinita di duoprismi di tipo {p} × {q}
• Polytopes 4-uniformi non convessi
  • 10 polytopes regolari Star (i polytopes Schläfli-Hess  (in) )
  • 57 iperprismi costruiti su poliedri stellari uniformi
  • Altri 4 politopi uniformi non convessi, in numero totale ancora sconosciuto: nel 2005 Norman Johnson ei suoi collaboratori ne avevano individuati più di 1.800, utilizzando il software Stella 4D  ( fr )

Altre classi

• Iperpiramidi
• Iperprismi

Generalizzazioni

Le piastrellature dello spazio (in tre dimensioni) generalizzano i 4 politopi (sono infiniti 4 politopi), così come le piastrellature del piano generalizzano i poliedri. Una piastrellatura uniforme è costituita da poliedri uniformi.

4-infiniti politopi uniformi dello spazio euclideo

• 28 piastrellature convesse uniformi  (in) , tra cui 1 piastrellatura regolare, la piastrellatura cubica {4,3,4}.

4-infiniti politopi uniformi di spazio iperbolico

• 76 cosiddette tassellazioni wythoffiane , tra cui 4 tassellature regolari: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4} e {5,3,5}.

I politopi astratti sono strutture combinatorie simili ai politopi, ma senza realizzazione geometrica. Un esempio nella dimensione 2 è il digone .

Polytopes uniformi 4 astratti

• 11 celle  (in)
• 57 celle  (in)

Vedi anche

• Politopo convesso 4-regolare

Riferimenti

• (fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato "  4-politopo  " ( vedere l'elenco degli autori ) .

Appunti

1. (in) NW Johnson , Geometries and Transformations (2018) ( ISBN  978-1-107-10340-5 ) Capitolo 11: Finite Groups Symmetry , 11.1 polytopes and Honeycombs , p.224
2. T. Vialar , Complex and Chaotic Nonlinear Dynamics: Advances in Economics and Finance , Springer,2009( ISBN  978-3-540-85977-2 , leggi online ) , p.  674
3. V. Capecchi , Contucci, P., Buscema, M. e D'Amore, B., Applications of Mathematics in Models, Artificial Neural Networks and Arts , Springer,2010( ISBN  978-90-481-8580-1 , DOI  10.1007 / 978-90-481-8581-8 , leggi online ) , p.  598
4. (a) Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topoplogy , Princeton, 2008.
5. (a) Norman Johnson , Uniform Polychora ,

Bibliografia

• Coxeter HSM :
  • HSM Coxeter, MS Longuet-Higgins e JCP Miller : Uniform Polyhedra , Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londra, 1954
  • HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3a edizione, Dover New York, 1973
• Kaleidoscopes: Selected Writings of HSM Coxeter, a cura di F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ( ISBN  978-0-471-01003-6 ) [1]
  • (Documento 22) HSM Coxeter, Polytopes regolari e semi regolari I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2.10]
  • (Documento 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  • (Documento 24) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• JH Conway e MJT Guy : Four-Dimensional Archimedean Polytopes , Proceedings of the Colloquium on Convexity at Copenhagen, page 38 und 39, 1965
• NW Johnson : The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs , Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
• Polytopes di Archimede quadridimensionale (tedesco), Marco Möller, tesi di dottorato 2004 [2]

link esterno

• (it) Eric W. Weisstein , "  Polychoron  " , su MathWorld
• (it) Eric W. Weisstein , "  Polyhedral formula  " , su MathWorld
• (it) Eric W. Weisstein , "  Regular polychoron Euler features  " , su MathWorld
• Uniform Polychora , di Jonathan Bowers
• Visualizzatore polychoron uniforme - Applet Java3D con sorgenti
• Dr. R. Klitzing, polychora