Teorema di Minkowski

In matematica , il teorema di Minkowski riguarda le reti di spazio euclideo ℝ d . Data una tale rete Λ, garantisce l'esistenza, in qualsiasi convesso simmetrico di volume sufficiente, di un vettore diverso da zero di Λ. Hermann Minkowski scoprì questo teorema nel 1891 e lo pubblicò nel 1896, nel suo libro fondamentale The Geometry of Numbers . Questo risultato è utilizzato in particolare nella teoria dei numeri algebrica .

Dichiarazioni

Prima formulazione  -  uno di un numero intero positivo e strettamente C un convesso di ℝ d , simmetrico rispetto all'origine O .

Questo risultato relativo alla rete ℤ d è equivalente (per semplice cambio di variabili ) alla sua controparte per qualsiasi rete Λ:

Riformulazione in termini di reticolo  -  Sia d un intero strettamente positivo, Λ un reticolo di ℝ d del covolume V e C un convesso O- simmetrico.

Equivalenza tra le due affermazioni

Un reticolo di ℝ d è una parte della forma in cui è una base di ℝ d . La rete è quindi composta da punti le cui coordinate nella base B sono intere. Otteniamo una maglia di spazio regolare, come la figura a destra. I punti della rete sono rappresentati dalle palline.

Un dominio fondamentale di Λ, dipendente dalla base B , è costituito dai punti di ℝ d le cui coordinate nella base B sono nell'intervallo [0, 1 [. È illustrato nella figura a destra in rosso. Un dominio fondamentale è sempre un parallelepipedo.

Il covolume di Λ è il volume di un dominio fondamentale. È quindi pari al valore assoluto del determinante di B in base canonica (questa definizione non dipende dalla scelta di B , perché un cambio di base della rete è necessariamente di determinante ± 1 ).

Il dominio fondamentale della rete ℤ d associato alla base canonica è [0, 1 [ d quindi il covolume di ℤ d è 1. La prima affermazione è quindi un caso speciale della seconda. Ma viceversa, cambiando variabili, dalla prima si deduce la seconda, sulla quale quindi ci concentreremo d'ora in avanti.

Osservazioni

Dimostrazione

Esistono diverse prove del teorema. Quella qui presentata dissocia l'ipotesi sul volume di C - che permetterà l'applicazione del teorema di Blichfeldt - da quella sulle sue altre due proprietà (convessità e simmetria), utilizzate nel lemma seguente.

Lemma . - Sia C 1/2 =1/2C l' immagine di C per l' omotetia del rapporto 1/2. Se C 1/2 incontra una traduzione β + C 1/2 , allora C contiene β.

Supponiamo che x = β - y dove x e –y sono due punti di C 1/2 (questo è illustrato nella figura a destra). Allora, 2 x e –2 y appartengono a C quindi (poiché C è O -simmetrico) anche 2 x e 2 y e (per convessità di C ) anche il loro punto medio x + y = β (e anche –β), che completa la prova del lemma.

Secondo il teorema di Blichfeldt, poiché C 1/2 è di volume strettamente maggiore di 1, o compatto e di volume 1, contiene due punti distinti la cui differenza β ha coordinate intere. In altre parole: esiste un vettore β di ℤ d diverso da zero tale che C 1/2 incontra il β + C 1/2 tradotto . Secondo il lemma, C contiene quindi β, che completa la dimostrazione del teorema.

Interpretazione geometrica

C'è un modo per interpretare questa dimostrazione in termini di un gruppo topologico . Lo spazio ℝ d può essere visto come un gruppo topologico il cui ℤ d è un sottogruppo discreto . Il quoziente ℝ d per ℤ d equivale a identificare ogni elemento di ℝ d con un elemento di [0, 1 [ d . Nella dimensione 2, ciò equivale ad incollare i punti di [0, 1] 2 (la maglia della rete) la cui prima coordinata è uguale a 1 con quelli la cui prima coordinata è uguale a 0, e agiscono allo stesso modo con la seconda coordinare. Otteniamo un toro di dimensione d , illustrato per d = 2 dalla figura a sinistra. Ogni punto di ℝ d ha un vicinato tale che la mappa canonica di ℝ d nel toroide è limitato a un diffeomorfismo tra questo vicinato e la sua immagine. Questi diffeomorfismi permettono di definire una misura sul toro, tale che qualsiasi parte misurabile del dominio fondamentale sia misurabile sul toro e della stessa misura. La misura del toro è quindi 1.

Questa misura è lo strumento della dimostrazione diretta. Si presume che il convesso C , mostrato in verde nell'esempio a destra, abbia una misura strettamente maggiore di 2 d . La sua omotetica C 1/2 , illustrata in giallo, è di misura strettamente maggiore di 1. La restrizione a C 1/2 della mappa canonica di ℝ d nel toro non può essere iniettiva perché la misura dell'immagine sarebbe maggiore di quella dell'intero toro. Ci sono quindi due elementi di C 1/2 , X e Y (i punti x e - y del lemma), che hanno la stessa immagine da questa mappa.

Durante l'incollaggio sopra spiegato si sovrappongono pezzi di C 1/2 , i punti così sovrapposti hanno la stessa immagine. Tornando alla cifra originaria, viceversa, la zona di iniettività corrisponde a quanto appare ancora in giallo nella figura a destra. Il punto X - Y = x + y di C ha coordinate intere non tutte nulle perché X e Y sono due diversi rappresentanti della stessa classe.

Applicazioni

Questo teorema viene utilizzato per dimostrare due importanti risultati nella teoria algebrica dei numeri  : il teorema delle unità di Dirichlet e la finitudine del gruppo di classi di ideali di un corpo numerico (ad esempio un campo quadratico ). Nella seconda, il reticolo considerato è il gruppo additivo dell'anello degli interi algebrici del campo.

Un'altra applicazione è una dimostrazione del teorema dei quattro quadrati di Lagrange .

Parziale reciproco

Possiamo mostrare con ulteriori ipotesi un parziale reciproco del teorema di Minkowski:

Parziale inversa  -  Sia d un intero strettamente positivo e P una parte stellata di ℝ d , simmetrica rispetto all'origine O , e di volume V <2 ζ (d) . Allora esiste una rete di covolume 1 di cui nessun punto diverso dall'origine appartiene a P.

Generalizzazioni

Sia ancora, in ℝ d , un reticolo Λ del covolume V e un convesso C uguale alla palla unitaria chiusa per una certa norma ( vedi sopra ). Nota λ 1 ≤ ... ≤ λ del la minima successiva di Λ rispetto al C . In particolare, λ 1 è la più piccola norma di un vettore nonzero Λ, quindi il teorema equivalente Minkowski (per omogeneità ) a: λ 1 di volo ( C ) ≤ 2 d V .

Note e riferimenti

  1. (da) H. Minkowski, "Über Geometrie der Zahlen" , in Verhandlungen der 64. Naturforscher- und Arzteversammlung zu Halle ,1891, p.  13 ; riprodotto in (de) David Hilbert (a cura di), Gesammelte Abhandlungen von Hermann Minkowski , vol.  1,1911( leggi in linea ) , p.  264-265.
  2. (De) Hermann Minkowski , Geometrie der Zahlen , Teubner, Lipsia, 1896, § 30.
  3. (in) John WS Cassels , An Introduction to the Geometry of Numbers , Berlino, Gottinga, Heidelberg, Springer , al.  "  Grund. matematica. Wiss.  "( N o  99),1971( 1 a  ed. 1959), 344  p. ( leggi in linea ) , p.  109.
  4. (en) Jeffrey C. Lagarias , cap.  19 "Point Lattices" , in RL Graham , M. Grötschel e L. Lovász , Handbook of Combinatorics , vol.  Io, Elsevier,1995( leggi in linea ) , p.  919-966.
  5. Cassels 1971 , cap. IV ("Funzioni a distanza"), § IV.1-IV.3.1, p.  103-111 .
  6. (De) Ott-Heinrich Keller  (de) , “Geometrie der Zahlen” , in Encyklopädie der matematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen , vol.  I.2, Heft 11, Teil 3, 27, Lipsia, Teubner,1954, 84  p. ( leggi online ).
  7. (in) Jesús A. Loera, Raymond Hemmecke e Matthias Köppe, Algebraic and Geometric Ideas in the Theory of Discrete Optimization , SIAM ,2013( leggi in linea ) , p.  41-42.
  8. Per un resoconto della prova originale di Minkowski, vedere (in) Pascale Gruber e Cornelis Gerrit Lekkerkerker, Geometry of Numbers , North-Holland,1987, 2 °  ed. ( 1 st  ed. , 1969, 510 p.)), 731  p. ( leggi in linea ) , p.  40-41.
  9. Cassels 1971 , p.  71.
  10. Per esempi, vedere il § “Gruppo di classi” dell'articolo sugli ideali dell'anello degli interi di un campo quadratico .
  11. GH Hardy e EM Wright ( tradotto  dall'inglese da François Sauvageot, pref.  Catherine Goldstein ), Introduzione alla teoria dei numeri ["  Un'introduzione alla teoria dei numeri  "] [ dettaglio dell'edizione ], capitolo 24 ("Geometria dei numeri"), sezione 24.10.
  12. Lagarias 1995 , p.  929.
  13. (De) J. van der Corput, "  Verallgemeinerung einer Mordellschen Beweismethode in der Geometrie der Zahlen  " , Acta Arithmetica , vol.  1, n o  1,1935, p.  62-66 ( leggi in linea )( Lagarias 1995 , p.  930 e 965) o (de) J. van der Corput, "  Verallgemeinerung einer Mordellschen Beweismethode in der Geometrie der Zahlen, Zweite Mitteilung  " , Acta Arithmetica , vol.  2, n o  1,1936, p.  145-146 ( leggi in linea )( Cassels 1971 , p.  71 e 336).

Vedi anche

Articoli Correlati

link esterno

Bibliografia

Pierre Samuel , Teoria algebrica dei numeri [ dettaglio dell'edizione ]