In matematica , la misura di Peano-Jordan è un'estensione della nozione di dimensione ( lunghezza , area , volume ), facilmente definibile per domini semplici come il rettangolo o il parallelepipedo , a forme più complicate. La misura di Jordan risulta essere troppo restrittiva per certi insiemi che si vorrebbe misurare. Per questo motivo, ora è più comune lavorare con la misura di Lebesgue , che è un'estensione della misura di Jordan a una classe più ampia di insiemi. Storicamente, la misurazione della Giordania, introdotta verso la fine del XIX ° secolo, è precedente.
La misura Peano-Jordan prende il nome dai suoi ideatori, il matematico francese Camille Jordan e il matematico italiano Giuseppe Peano .
Un blocco è la generalizzazione in dimensione n di un parallelepipedo rettangolare .
Nello spazio euclideo R n , un blocco chiuso è un prodotto P = I 1 ×… × I n di n segmenti I j = [ a j , b j ]. Il suo volume è il prodotto (possibilmente zero) delle lunghezze b j - a j di questi segmenti. Il suo interno è il blocco aperto prodotto da intervalli aperti delimitati ] a j , b j [.
Una parte pavimentabile è un'unione finita X di blocchi chiusi P k . Possiamo allora sempre ricattare X in modo che i P k siano di interni disgiunti , e controlliamo che quindi la somma dei loro volumi non dipenda dalla divisione prescelta - inoltre, più in generale, l'integrale di una funzione scala su R n non dipende dalla suddivisione adattata scelta. Flight Note ( X ) tale importo, chiamato volume (o estensione Jordan) X .
Definizione - Una parte limitata A di R n si dice misurabile di Jordan o cubabile (o, se n = 2: quadrabile ) se la sua indicatrice 1 A è integrabile con Riemann .
Diciamo allora che l'integrale di 1 A è il volume di A ; lo denotiamo vol ( A ).
Il paragrafo precedente permette di riformulare geometricamente questa definizione: per ogni parte X di R n , definiamo le misure interne ed esterne di Jordan di X , λ - ( X ) e λ + ( X ), rispettivamente, come il limite superiore di volume parti pavimentabili comprese in X e volumi vincolati inferiori porzioni pavimentabili contenenti X , e mostra che sono uguali agli integrali inferiore e superiore dell'indicatrice di X . Pertanto, X è cubabile se e solo se λ - ( X ) = λ + ( X ), e questo valore comune è quindi uguale al volume di X .
I gradini interno ed esterno λ - ( X ) e λ + ( X ) sono rispettivamente uguali alle misure di Lebesgue dell'interno e dell'adesione di X .
Per una parte limitata X , le seguenti proprietà sono equivalenti e X si dice Jordan trascurabile se le soddisfa:
Per un chiuso limitato , le due nozioni di trascurabilità sono quindi equivalenti.
Un sottoinsieme numerabile limitato (ea fortiori : unione numerabile di insiemi trascurabili di Jordan) non è necessariamente trascurabile di Jordan o addirittura cubabile: per esempio, l'insieme dei razionali di [0, 1] non è cubabile.
Qualsiasi convesso limitato è cubabile.
La misurabilità di Jordan è preservata dall'unione e dall'intersezione finite e dalla differenza di insiemi . In particolare, una parte A di un blocco P è cubabile se e solo se P \ A lo è.
Una parte delimitata è cubabile se e solo se il suo confine è trascurabile (nel senso di Lebesgue o Jordan, che qui sono equivalenti).
Un chiuso limitato (o un aperto limitato) non è quindi necessariamente cubabile. Ad esempio, il compatto di Smith-Volterra-Cantor non lo è: la sua misura interna è zero (dato che il suo complemento è denso ) mentre la sua misura esterna è uguale alla sua misura di Lebesgue, che è diversa da zero.
Per ogni funzione positiva delimitata f su un sottoinsieme cubable Una di R n , l'insieme dei punti ( x , t ) di R n + 1 tale che x ∈ A e 0 ≤ t ≤ f ( x ) è cubable se e solo se f è integrabile con Riemann .
La misura di Lebesgue coincide con quella di Jordan sugli insiemi cubabili, ma è definita per una classe molto più ampia di insiemi, come gli insiemi numerabili (che sono trascurabili per Lebesgue), e anche per gli insiemi che possono essere illimitati o per i frattali . Inoltre, la misura di Lebesgue, a differenza della misura di Jordan, è una misura reale , verificando la proprietà dell'additività numerabile .
(it) AP Terekhin , “Misura Jordan” , in Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN 978-1556080104 , leggi online )