Ideale dell'anello degli interi di un campo quadratico

In matematica , gli ideali dell'anello degli interi di un campo quadratico ℚ ( $\sqrt d$ ) - il caso più elementare di un campo numerico - offrono i primi esempi di risultati generali della teoria algebrica dei numeri , come l'esistenza di una scomposizione di qualsiasi ideale in un prodotto di ideali primi o la finitudine del gruppo di classi di ideali .

Questi risultati consentono la risoluzione di alcune equazioni diofantine , come un caso relativamente generale dell'equazione di Pell-Fermat o generalizzazioni del teorema dei due quadrati di Fermat .

Contesto

Un campo quadratico è un'estensione quadratica - estensione finita di grado 2 - del campo ℚ dei numeri razionali . Si tratta quindi di una semplice estensione , della forma K = ℚ ( $\sqrt d$ ) dove d è un intero senza fattore quadrato (non necessariamente positivo), che ammette due incorporamenti nel campo ℂ dei complessi .

In K , gli “interi” (algebrici) sono le radici di polinomi unitari con coefficienti nell'anello ℤ di interi (relativi) . Sono numeri interi quadratici e formano un sottoanello del corpo. Questo anello è indicato con O K , o talvolta ℤ [ω], perché è generato da un elemento ω, uguale a (1 + $\sqrt d$ ) / 2 se d è congruente a 1 modulo 4 e ad $\sqrt d$ altrimenti.

L'inizio di questo articolo riguarda più in generale i sotto- anelli unitari di ℤ [ω] che contengono strettamente ℤ. Hanno la stessa forma ℤ [ω '], ma per più generale ω': per un certo intero perfetto non quadrato $f$ , con lo stesso segno di d e tale che il radicale di | f | essere uguale a | d |, ω '= $\sqrt$ $f$ , o forse, ma solo se $f$ è congruente a 1 modulo 4, ω' = (1 + $\sqrt$ $f$ ) / 2.

Anello Dedekind

Alcuni anelli di numeri interi quadratici sono principali ( anche euclidei ). Questa proprietà risulta nei teoremi classici dell'aritmetica : identità di Bézout , lemma di Euclide o anche teorema fondamentale dell'aritmetica .

Ma molti non sono primari o addirittura fattoriali . Ernst Kummer , di fronte a questa difficoltà, scopre la nozione di numeri ideali (in) , che gli permette di dimostrare l'ultimo teorema di Fermat nei casi in cui l'esponente è un numero primo regolare . Questo approccio, messo a punto da Richard Dedekind , consente di offrire un palliativo a questa mancanza di fattorialità. Se gli elementi dell'anello non possono più decomporsi nel prodotto di elementi primi , in un certo senso possono farlo gli ideali.

Anello completamente chiuso

Il campo delle frazioni di tutti i sotto-anelli ℤ [ω '] di O K è K e per costruzione l'unico di essi completamente chiuso è O K ( si dice che un anello A è completamente chiuso se i suoi elementi sono gli unici elementi interi su A del suo campo di frazioni). Ma le altre due proprietà utili nelle sezioni seguenti valgono per tutti i ℤ [ω '].

Anello Noetheriano

In ℤ, qualsiasi elemento diverso da zero e non invertibile è il prodotto di un numero finito di elementi irriducibili . Questa proprietà è vera (con unicità della decomposizione) in qualsiasi anello fattoriale, ma l'anello degli interi di un campo quadratico non è sempre fattoriale. Tuttavia, è anche vero (senza unicità) in qualsiasi anello noetheriano (commutativo, unitario, integrale). Si dice che un anello A sia noetheriano se ciascuno dei suoi ideali è di tipo finito .

Per ogni M ideale diverso da zero di ℤ [ω '] (con ω' = $\sqrt f$ o (1 + $\sqrt f$ ) / 2 come specificato sopra), esiste una famiglia finita, composta da due soli elementi, che genera la ℤ [ω '] - modulo M e stessa base di questo ℤ-modulo :

Qualsiasi anello unitario di interi quadratici è noetheriano. Più precisamente, i non-zero ideali di ℤ [ω '] sono le rango 2 liberi sottomoduli di forma c (ℤ un ⊕ ℤ ( b + ω')) con un , b e c interi tali che 0 ≤ b <a , 0 < ce :

se ω '= $\sqrt f$ : b 2 - $f$ multiplo di a ;
se ω '= (1 + $\sqrt f$ ) / 2: b ( b + 1) - ( $f$ - 1) / 4 multiplo di a .

Dimostrazione

Sia M l'ideale (non incluso in ℤ). La sua intersezione N con ℤ è un ideale diverso da zero di ℤ, quindi della forma a ' ℤ per qualche intero a' > 0. Il quoziente ℤ- modulo M / N è diverso da zero e isomorfo ad un sottomodulo di ℤ [ω '] / ℤ ≃ ℤω' ≃ ℤ. Viene quindi generato da un elemento diverso da zero, classificato in questo quoziente di un certo elemento α = b '+ c ω' di M \ N , così che M = N ⊕ ℤα . Il modulo ℤ M è quindi libero, basico ( a ', α). Torniamo a c > 0 sostituendo α con il suo opposto se necessario, quindi a 0 ≤ b '<a' aggiungendo ad α un multiplo intero adeguato di a ' . Perché il ℤ-modulo ℤ a ' ⊕ ℤα sia un ideale, è necessario e sufficiente che contenga un' ω 'e αω'. Un rapido calcolo (o un ragionamento più elaborata sulle norme ) mostra che questo è equivalente ad un '= ac e b' = bc con a, b conforme alle indicate condizioni.

Primo ideale, massimo ideale

In generale, non tutti gli ideali di ℤ [ω] sono principali . Tuttavia, tutti i ℤ [ω '] soddisfano una proprietà usuale degli anelli principali :

Qualsiasi ideale primo diverso da zero di ℤ [ω '] è massimo .

Questa proprietà segue direttamente da quanto segue:

Qualsiasi quoziente di ℤ [ω '] per un M ideale diverso da zero è finito: se M è della forma c (ℤ a ⊕ ℤ ( b + ω')) sopra , ℤ [ω '] / M è d' ordine ac 2 .

Dimostrazioni

Il quoziente di ℤ [ω '] per l'ideale c (ℤ a ⊕ ℤ ( b + ω')) è di ordine ac 2 :
La coppia ( u, v ) = (1, b + ω ') è una base di il ℤ-modulo ℤ [ω '] e la coppia ( cau, cv ) è una base del sottomodulo che costituisce l'ideale. Il modulo quoziente è quindi isomorfo a (ℤ u ⊕ ℤ v ) / (ℤ cau ⊕ ℤ cv ) ≃ (ℤ / ca ℤ) × (ℤ / c ℤ).
Qualsiasi ideale diverso da zero il primo di un anello intero quadratica è massima:
Let M un ideale non nullo primo dell'anello A . L'anello A / M è un anello integrale finito quindi un campo, per cui M è massimo.

Più precisamente, se l'ideale diverso da zero M = c (ℤ a ⊕ ℤ ( b + ω ')) è primo allora ac è un numero primo p (perché l'ideale M ⋂ ℤ = ac ℤ di ℤ è primo ) quindi M è nella forma ℤ p ⊕ ℤ ( b + ω '), o uguale a p ℤ [ω'], e il campo finito ℤ [ω '] / M è quindi isomorfo a F p , oppure F p 2 .

Prodotto di ideali

Gli anelli Dedekind sono quelli che, senza essere necessariamente fattoriali, controllano la "factorialité per gli ideali". Più precisamente ( vedi articolo dettagliato):

Teorema - Per un anello A (commutativo, unitario, integrale), le seguenti proprietà sono equivalenti:

A è di Dedekind, ad es.
1. ogni ideale primo diverso da zero di A è massimo,
2. A è noetheriano,
3. A è completamente chiuso;
Ogni ideale di A è il prodotto di ideali primi ;
Per ogni M ideale diverso da zero , esiste un ideale N diverso da zero tale che MN sia principale.

Inoltre, se A è di Dedekind, la decomposizione di qualsiasi ideale diverso da zero in un prodotto di ideali primi è unica (fino all'ordine dei fattori).

Come spiegato nelle sezioni precedenti, le proprietà 1 e 2 di cui sopra sono soddisfatte da tutti i sotto-anelli ℤ [ω '] di ℤ [and] e il 3 è soddisfatto solo da ℤ [ω]. Di conseguenza, solo quest'ultimo verifica la proprietà della scomposizione degli ideali in ideali primi.

Ad esempio in A : = ℤ [ $\sqrt -3$ ] (strettamente incluso nell'anello degli interi di Eisenstein ), l'ideale 4 A non ha alcuna scomposizione in ideali primi. Come ogni ideale proprio, è incluso in un ideale massimale M che, in questo esempio, è unico e uguale a 2ℤ + (1 + $\sqrt -3$ ) ℤ. È ancora strettamente incluso in M 2 , ma contiene rigorosamente M 3 .

Ideale

Traccia e norma di un elemento

(Relativa) trace Tr (α) di un elemento di α ℚ ( $\sqrt d$ ) è definita come la traccia del endomorphism Phi; α : x ↦ α x e la sua norma (relativa) come determinante di Phi; α . Notando σ la coniugazione in ℚ ( $\sqrt d$ ) , questi due numeri razionali sono Tr (α) = α + σ (α) e N (α) = ασ (α) , e sono numeri interi se e solo se α appartiene a O ℚ ( $\sqrt d$ ) .

Standard di un ideale

La norma di un ideale M diverso da zero di ℤ [ω '] è definita come il valore assoluto del determinante , in base al ℤ-modulo ω [ω'], di una base del sottomodulo M (questa definizione fa not non dipende dalle basi perché le matrici dei passaggi appartengono a GL (2, ℤ) quindi le loro determinanti sono uguali a ± 1). Dimostriamo quindi ( cfr. Articolo dettagliato):

Lo standard di un diverso da zero ideale M di ℤ [ω '] è l'ordine del ℤ quoziente [ω'] / M .

È inoltre con questo metodo che abbiamo calcolato sopra questo ordine, uguale ad ac 2 se M è della forma c (ℤ a ⊕ ℤ ( b + ω ')) .

Poiché la norma di un ideale principale generato da un elemento α è uguale al valore assoluto della norma di α, deduciamo:

Il valore assoluto della norma di un elemento diverso da zero α di ℤ [ω '] è l'ordine del quoziente ℤ [ω'] / αℤ [ω '].

Questa proprietà può essere interpretato geometricamente dicendo che il numero di punti della rete ℤ [ω '] che appartengono a un dominio fondamentale della sottorete αℤ [ω'] è uguale alla relativa zona di questo dominio fondamentale: cf. § “Covolume” dell'articolo “Rete (geometria)” .

La norma degli elementi è moltiplicativa per definizione. La norma degli ideali è anche ( vedi articolo dettagliato):

La norma del prodotto di due ideali diversi da zero è uguale al prodotto delle norme di questi ideali.

Sappiamo già che l'anello ℤ [ω] = O ℚ ( $\sqrt d$ ) è Dedekind (a differenza dei suoi sotto-anelli non banali), ma possiamo ora spiegare l'ultima delle tre caratterizzazioni equivalenti del § "Prodotto degli ideali" , perché l'identità N (α) = ασ (α) si estende agli ideali:

In O ℚ ( $\sqrt d$ ) , il prodotto di un ideale M per il suo coniugato σ ( M ) è principale: è l'ideale generato dalla loro norma comune N ( M ).

Dimostrazione

Per moltiplicatività della norma, è sufficiente mostrare che M σ ( M ) è generato da un numero intero. Possiamo supporre che M non sia zero, quindi della forma (α, β) con α e β diversi da zero (due elementi sono sufficienti per generare l'ideale , cfr. § “Anello noetheriano” ). Il prodotto M σ ( M ) è quindi uguale a (ασ (α), ασ (β), βσ (α), βσ (β)) quindi, denotando e il GCD dei tre numeri interi N (α) = ασ ( α), Tr (ασ (β)) = ασ (β) + βσ (α) e N (β) = βσ (β), to ( e , ασ (β)). Dimostriamo che è uguale a ( e ), cioè ασ (β) / e appartiene a O ℚ ( $\sqrt d$ ) .

{\ displaystyle {\ rm {Tr}} \ left ({\ frac {\ alpha \ sigma (\ beta)} {e}} \ right) = {\ frac {{\ rm {Tr}} (\ alpha \ sigma (\ beta))} {e}} \ in \ mathbb {Z} \ quad {\ rm {et}} \ quad N \ left ({\ frac {\ alpha \ sigma (\ beta)} {e}} \ destra) = {\ frac {N (\ alpha)} {e}} {\ frac {N (\ beta)} {e}} \ in \ mathbb {Z},}

che conclude.

Ad esempio in O ℚ ( $\sqrt -5$ ) , il prodotto di (7, 4 + $\sqrt -5$ ) per il suo coniugato è uguale a (7).

Discriminante

Per ogni M ideale di ℤ [ω '], la mappa ( x , y ) ↦ xy è una forma bilineare su questo ℤ-modulo, chiamata forma traccia . Il suo determinante è indipendente dalla base scelta per il modulo ℤ, che imposta il discriminante di un ideale M come determinante (in qualsiasi database) forma traccia M .

Per M = ℤ [ω '], questa definizione fornisce ( cfr. Esempio 2 dell'articolo dettagliato ):

Il discriminante di ℤ [ω '] è uguale $af$ se ω' = (1 + $\sqrt f$ ) / 2 ea 4 $f$ se ω '= $\sqrt f$ . In particolare :

{\ displaystyle {\ text {discr}} (\ mathbb {Z} [\ omega]) = \ left | {\ begin {matrix} 1 & \ omega \\ 1 & \ sigma (\ omega) \ end {matrix} } \ right | ^ {2} = {\ begin {case} d & {\ text {si}} d \ equiv 1 {\ pmod {4}}, \\ 4d & {\ text {altrimenti.}} \ end {cases}}}

Il discriminante di un ideale M di ℤ [ω '] è uguale al quadrato della norma di M moltiplicato per il discriminante di ℤ [ω'] :

{\ displaystyle {\ text {discr}} (M) = {\ mathcal {N}} (M) ^ {2} ~ {\ text {discr}} (\ mathbb {Z} [\ omega '])}

Le definizioni e questa proposizione sono generali per qualsiasi anello Dedekind.

Gruppo di classe

Il gruppo di classi di un anello di Dedekind (commutativo) A è il quoziente del monoide degli ideali diversi da zero di A (fornito con la moltiplicazione , con A come elemento neutro ) per la relazione di equivalenza

I ~ J quando esiste in A elementi nonzero un e b tali che aI = bJ .

(Questo quoziente è effettivamente un gruppo (commutativo) , secondo l'ultima delle tre caratterizzazioni equivalenti sopra degli anelli di Dedekind; per A = ℤ [ω], l'inverso della classe di M è la classe di σ ( M ): cf . § “Norm di un ideale” .)

Per dimostrare la seguente proposizione (per l'anello di numeri interi di qualsiasi campo numerico nell'articolo dettagliato, e per il caso particolare di un campo quadratico qui), usiamo argomenti geometrici, un po 'della stessa natura di quelli usati sopra per interpretare il norma di un elemento:

Ogni classe di ideale di O ℚ ( $\sqrt d$ ) contiene almeno un ideale di norma minore o uguale alla costante m definita dalla seguente uguaglianza:

{\ displaystyle {\ text {Si}} \ quad d> 0, \ quad m = {\ frac {\ sqrt {\ operatorname {discr} (\ mathbb {Z} [\ omega])}} {2}} \ quad {\ text {what if}} \ quad d <0, \ quad m = {\ frac {2} {\ pi}} {\ sqrt {| \ operatorname {discr} (\ mathbb {Z} [\ omega] ) |}}}

. Dimostrazioni

Caso in cui d > 0:

Poiché la dimostrazione è essenzialmente visiva, è illustrata dal grafico a destra. Abbiamo scelto d uguale a 17. Ancora una volta, l'anello è rappresentato da un reticolo di ℝ 2 . La mappa φ dell'anello ℤ [ω] in ℝ 2 è quella che all'elemento α associa φ (α) = (α, σ (α)), cioè la coppia formata da α e il suo coniugato. Il coniugato di un numero quadratico a + b $\sqrt d$ è il numero quadratico a - b $\sqrt d$ . Una base della rete Im (φ) è data dalle due coppie (1, 1) e (ω, σ (ω)). Il covolume V della rete è uguale al valore assoluto del determinante della matrice

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & \ omega \\ 1 & \ sigma (\ omega) \ end {pmatrix}}.}

È quindi uguale alla radice quadrata del discriminante di ℤ [ω]. Nella figura, d , uguale a 17, è congruente a 1 modulo 4; il covolume della rete è l'area del parallelogramma mostrato in blu; è appena maggiore di 4. La rete è illustrata dai punti, di solito in grigio. Le intersezioni della griglia blu corrispondono ai punti di ℝ 2 con coordinate intere.

Consideriamo un ideale J diverso da zero; la sua immagine di φ è una sottorete della precedente, a priori con una maglia più grande. Nell'esempio, J è l'ideale costituito da multipli di 2. Anche in questo caso, il covolume di φ ( J ) è uguale al prodotto della norma di J per V ; è qui uguale alla radice quadrata del discriminante J . Nella figura, il covolume di φ ( J ) corrisponde al parallelogramma rosso, con un'area pari a 4 volte quella del parallelogramma associato al covolume V di φ (ℤ [ω]), cioè circa 16,49. I punti rossi sono quelli corrispondenti all'ideale.

Il teorema di Minkowski afferma che qualsiasi convesso delimitato, simmetrico rispetto all'origine e all'area quadrupla del covolume di una rete contiene almeno due punti diversi da zero della rete. Per costruire un tale convesso, dotiamo ℝ 2 della norma ||. || che associa ad un punto ( x , y ) il valore | x | + | y |. Una sfera di raggio r ha per l'area 2 r 2 . Per essere certi che la palla di centro 0 e raggio r contenga almeno un punto diverso da zero del reticolo dell'ideale J , dobbiamo scegliere r tale che:

{\ displaystyle 2r ^ {2} = 4 ~ {\ mathcal {N}} (J) ~ {\ sqrt {{\ text {discr}} \; (\ mathbb {Z} [\ omega])}} \ quad {\ text {quindi}} \ quad r = \ left (2 ~ {\ mathcal {N}} (J) ~ {\ sqrt {{\ text {discr}} \; (\ mathbb {Z} [\ omega] )}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}

Nell'esempio, l'area della palla deve essere almeno pari a 65,97 e il raggio r a 5,74. Nella figura, questa pallina è illustrata in verde, contiene due punti della rete φ ( J ) corrispondenti a 2 e –2. Sia π un punto diverso da zero, corrispondente alla rete φ ( J ) e appartenente alla palla di centro 0 e raggio r . La sua norma geometrica, uguale a | π | + | σ (π) |, è minore di r . La seguente uguaglianza permette di ottenere un aumento della norma aritmetica di π secondo la norma geometrica di φ (π).

{\ displaystyle | {\ mathcal {N}} (\ pi) | = | \ pi ~ \ sigma (\ pi) | = {\ frac {1} {4}} {\ Big (} (| \ pi | + | \ sigma (\ pi) |) ^ {2} - (| \ pi | - | \ sigma (\ pi) |) ^ {2} {\ Big)} \ leq {\ frac {1} {4}} \ | \ pi \ | ^ {2}.}

Si deduce l'esistenza di un elemento diverso da zero π di J la cui norma aritmetica soddisfa l'incremento:

{\ displaystyle | {\ mathcal {N}} (\ pi) | \ leq {\ frac {1} {2}} ~ {\ mathcal {N}} (J) ~ {\ sqrt {\ operatorname {discr} ( \ mathbb {Z} [\ omega])}}}

Nell'esempio scelto, questo mostra l'esistenza di un elemento diverso da zero di J con una norma aritmetica inferiore a 2.88.

Sia J ' un ideale tale che JJ' sia uguale a un ideale principale diverso da zero αℤ [ω] - ricorda che possiamo prendere J ' = σ ( J ) e α = N ( J ) - allora αℤ [ω] contiene π J ' , quindi l'insieme K : = π J' / α è un ideale di ℤ [ω] e JK = πℤ [ω]. Deduciamo che la classe inversa di quella di J - quindi qualsiasi classe, poiché J è arbitraria - contiene un ideale K tale che

{\ displaystyle {\ mathcal {N}} (K) = {\ frac {| {\ mathcal {N}} (\ pi) |} {{\ mathcal {N}} (J)}} \ leq {\ frac {{\ frac {1} {2}} ~ {\ mathcal {N}} (J) ~ {\ sqrt {\ operatorname {discr} (\ mathbb {Z} [\ omega])}}} {{\ mathcal {N}} (J)}} = {\ frac {\ sqrt {\ operatorname {discr} (\ mathbb {Z} [\ omega])}} {2}}}

Fine dell'elaborazione di esempio, se d = 17:

Nell'esempio scelto, la radice quadrata del discriminante dell'anello è uguale a √ 17 , cioè inferiore a 4,2. L'unica norma possibile per K , se J non è principale, è 2.

La dimostrazione del noetherianesimo ha mostrato che K è quindi della forma ℤ2 ⊕ ℤ ( b + ω) con b = 0 o 1. Un rapido calcolo mostra che i due corrispondenti candidati per K sono ideali principali: ℤ2 ⊕ ℤ (1 + ω ) è generato da 1 + ω e ℤ2 ⊕ ℤω dal suo elemento coniugato , 2 - ω. Quindi non esiste un ideale non principale della norma 2 e l'anello è principale.

Caso in cui d <0:

Il ragionamento è esattamente lo stesso del precedente, anche se la rappresentazione e la distanza vengono modificate. Qui, la mappa φ è quella che al punto α associa la coppia composta dalla sua parte reale e dalla sua parte immaginaria. Il covolume della rete associato all'anello è ora pari alla metà della radice quadrata del valore assoluto del discriminante. Nell'esempio, d è uguale a –17 (non congruente a 1 modulo 4) e ω a $i$ √ 17 , il covolume della rete è uguale a √ 17 e il discriminante a 68. L'ideale J , scelto sempre in l ' esempio, come l'insieme dei multipli di 2, è associato ad una rete di covolume ancora uguale a 4 volte quella precedente, ancora illustrata in rosso in figura. Il suo covolume è approssimativamente uguale a 16,49.

Scegliamo questo tempo, come norma geometrica, quello associato alla distanza euclidea. Ancora una volta, il teorema di Minkowski indica che l'area della palla centrata a 0 deve essere pari a 4 volte il covolume dell'ideale per garantire l'esistenza nella palla di un punto diverso da zero dell'ideale. Otteniamo le uguaglianze, se r denota il raggio della palla:

{\ displaystyle \ pi r ^ {2} = 4 ~ {\ mathcal {N}} (J) ~ {\ frac {1} {2}} ~ {\ sqrt {| \ operatorname {discr} (\ mathbb {Z } [\ omega]) |}} \ quad {\ text {quindi}} \ quad r = \ left ({\ frac {2} {\ pi}} ~ {\ mathcal {N}} (J) ~ {\ sqrt {| \ operatorname {discr} (\ mathbb {Z} [\ omega])}} | \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}

Il quadrato della norma geometrica scelta è uguale alla norma aritmetica, che garantisce l'esistenza in J di un elemento di norma diverso da zero aumentato di

{\ displaystyle {\ frac {2} {\ pi}} ~ {\ mathcal {N}} (J) ~ {\ sqrt {| \ operatorname {discr} (\ mathbb {Z} [\ omega])}} | }

Nell'esempio scelto, r è approssimativamente uguale a 4,58 e un punto dell'ideale è per esempio 4. Deduciamo, come prima, che ogni classe contiene un ideale K tale che

{\ displaystyle {\ mathcal {N}} (K) \ leq {\ frac {2} {\ pi}} ~ {\ sqrt {| \ operatorname {discr} (\ mathbb {Z} [\ omega])}} |}

Fine dell'elaborazione di esempio, se d = –17:

Dobbiamo ora cercare ideali non principali con una norma minore o uguale a 5, valore dato dall'aumento precedente.

Con lo stesso metodo di cui sopra, sono i ℤ-moduli della forma c (ℤ a ⊕ ℤ ( b + $i$ √ 17 )) con 0 ≤ b <a , 2 ≤ ac 2 ≤ 5 eb 2 + 17 multiplo di a . Le possibili triple per ( a , b , c ) sono quindi limitate ai quattro valori (2, 1, 1), (3, 1, 1), (3, 2, 1) e (1, 0, 2), ma il quarto è da escludere dall'inizio perché l'ideale corrispondente, 2ℤ [ $i$ √ 17 ], è principale. Nota i primi due

J 2 = ℤ2 ⊕ ℤ (1 +

i

√ 17 ) e J 3 = ℤ3 ⊕ ℤ (1 +

i

√ 17 ).

Poiché J 2 è l'unico ideale della norma 2, è il proprio coniugato quindi J 2 2 = 2ℤ [ $i$ √ 17 ].

Questo ideale J 2 non è principale perché 2 e 1 + $i$ √ 17 sono coprimi . Infatti, 1 è l'unica norma ( x 2 + 17 y 2 con x ed y interi) che divide simultaneamente i rispettivi norme, 4 e 18.

L'uguaglianza 2J 3 2 = (1 + $i$ √ 17 ) J 2 quindi dimostra che il gruppo di classi è ciclico di ordine 4.

Possiamo dedurre:

Teorema - Il gruppo di classi di O ℚ ( $\sqrt d$ ) è finito.

Infatti, ogni classe di ideali contiene un ideale diverso da zero di norma minore o uguale a m , e il numero di questi ideali è aumentato del numero di terzine ( a , b , c ) di interi come 0 < ac 2 ≤ me 0 ≤ b <a . Ad esempio per d = –5, qualsiasi classe contiene un ideale con norma inferiore a 4 √ 5 / π ≈ 2.8 e l'ideale della norma 2 è non principale, quindi il gruppo di classi è di ordine 2. Possiamo inoltre notare che d = –1, –2, –3 e –7 (corrispondenti a m <2) fanno effettivamente parte dei valori per i quali O ℚ ( $\sqrt d$ ) è principale (e anche, infatti, di quelli per i quali egli è euclideo ).

Decomposizione dei numeri primi

Dalle sezioni precedenti:

ogni ideale primo M di ℤ [ω] contiene un ideale della forma p ℤ [ω] dove p è un numero primo, unico perché
- se p ℤ [ω] è primo - in questo caso diciamo che p è inerte - allora ℤ [ω] / M = ℤ [ω] / p ℤ [ω] ≃ F p 2 ,
- altrimenti, M ha la norma p ;
viceversa, secondo le proprietà della norma , per ogni numero primo p , ogni possibile ideale M con norma p è primo e soddisfa: p ℤ [ω] = M σ ( M ). Per unicità della fattorizzazione ideale primo , M e σ ( M ) sono quindi gli unici due ideali con norma p se sono distinti, oppure M è l'unico se σ ( M ) = M , e
- se p ℤ [ω] = M σ ( M ) con σ ( M ) ≠ M - in questo caso diciamo che p è scomposto - allora secondo il teorema cinese generalizzato , ℤ [ω] / p ℤ [ω] ≃ ℤ [ω] / M × ℤ [ω] / σ ( M ) ≃ F p × F p ;
- se p ℤ [ω] = M 2 - in questo caso diciamo che p è ramificato - allora ℤ [ω] / p ℤ [ω] ≃ F p [ X ] / ( X 2 ) .

Gli ideali primi si ottengono quindi come i fattori in ℤ [ω] dei numeri primi (più precisamente: dei principali ideali generati da questi numeri), e possiamo prevedere il comportamento di ciascuno di essi:

Sia P il polinomio minimo di ω (uguale a X 2 - X - (d - 1) / 4 se d ≡ 1 mod 4 ea X 2 - d altrimenti). In ℤ [ω], un numero primo p è:

inerte se P non ha radice in F p ;
scomposto se P ha due radici distinte in F p ;
ramificato se P ha una doppia radice in F p .

Infatti, il comportamento di p è dato dal tipo di isomorfismo di ℤ [ω] / p ℤ [ω], oppure ℤ [ω] ≃ ℤ [ X ] / ( P ) quindi ℤ [ω] / p ℤ [ω] ≃ ℤ [ X ] / ( p , P ) ≃ F p [ X ] / ( P ) (notando P la mod di riduzione p di P ), e il tipo di isomorfismo di F p [ X ] / ( P ) corrisponde, in ciascuno dei tre casi, a quello calcolato per ℤ [ω] / p ℤ [ω]. Questo ragionamento mostra inoltre che quando p ℤ [ω] non è primo, è il prodotto dell'ideale primo ( p , ω - c ) per il suo coniugato, dove c è una radice di P in F p .

Se p ≠ 2, il comportamento è quindi determinata dalla discriminante di P , pari alla Δ discriminante di ℤ [ω] (ricordiamo che Δ = d o 4 d ): p è inerte se Δ non è un mod quadrato p , decomposto se ∆ è un quadrato diverso da zero mod p , e ramificato se ∆ è divisibile per p . La legge di reciprocità quadratica permette quindi, conoscendo i quadrati modulo ogni fattore primo di ∆, di determinare a quale unione di classi mod ∆ deve appartenere p in modo che ∆ sia un quadrato mod p .

Se p = 2, lo studio diretto di P in F 2 [ X ] mostra che p è inerte se d ≡ 5 mod 8, scomposto se d ≡ 1 mod 8 e ramificato altrimenti.

Si noti che per ogni p , il caso ramificato era prevedibile da un teorema generale dell'anello di interi di qualsiasi campo numerico : un numero primo è ramificato se e solo se divide il discriminante dell'anello.

Note e riferimenti

Queste due nozioni sono infatti equivalenti per un anello di Dedekind , ma l' anello di interi di qualsiasi campo numerico è Dedekind .
Richard Dedekind, Trattato sulla teoria dei numeri trad. C. Duverney, Tricorne, Ginevra, 2006 ( ISBN 2829302893 ) .
(it) Henri Cohen , Un Corso in Computational algebrica Teoria dei Numeri , coll. " GTM " ( n . 138)2000, 4 ° ed. ( 1 a ed. 1993) ( riga di lettura ) , p. 225, prop. 5.2.1.
Usando (α, αω ') come base di questo ℤ-sottomodulo se α ≠ 0, e concordando che la norma dell'ideale nullo è 0. Vedi anche Pierre Samuel , Teoria algebrica dei numeri [ dettaglio dell'edizione ], p. 62 .
Cfr. (In) Keith Conrad, " Factoring in quadratic fields " , p. 13 . Questa proprietà generalizza a qualsiasi campo numerico ( (en) David Hilbert , The Theory of Algebraic Number Fields , Springer Verlag ,1998, 351 p. ( ISBN 978-3-540-62779-1 , leggi online ) , p. 34), in particolare corpi ciclotomici ( (en) Paulo Ribenboim , 13 lezioni sull'ultimo teorema di Fermat , Springer,1979, 302 p. ( ISBN 978-0-387-90432-0 , leggi online ) , p. 80).
Le dimostrazioni sono ispirate da Bas Edixhoven e Laurent Moret-Bailly, " Teoria algebrica dei numeri " , presso l' Università di Rennes I ,2004(corso di laurea magistrale in matematica), cap. 8.
Questo esempio è dettagliato in Edixhoven e Moret-Bailly 2004 , p. 56.

Vedi anche

Bibliografia

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Link esterno

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