Numero razionale

Un numero razionale è, in matematica , un numero che può essere espresso come il quoziente di due interi relativi . Possiamo scrivere numeri razionali non interi come una frazione , spesso annotata , dove a , il numeratore , è un intero relativo e b , il denominatore è un intero relativo diverso da zero. ab{\ displaystyle \ textstyle {\ frac {a} {b}}}

Un intero è un numero razionale: può essere espresso come una frazione della forma . ab{\ displaystyle \ textstyle {\ frac {a} {b}}}

Ogni numero razionale può essere scritto in un numero infinito di modi diversi come frazione, ad esempio 1/2 = 2/4 = 3/6 = ... ma esiste una forma di scrittura privilegiata: ogni numero razionale diverso da zero è espresso in modo univoco come una frazione il cui numeratore e denominatore sono primi tra loro con denominatore positivo . Questa espressione è chiamata frazione irriducibile .

L' espansione decimale di un numero razionale è sempre periodica dopo una certa virgola (ad esempio nel caso di una scrittura decimale finita, l'aggiunta di zeri garantisce la periodicità). Questo è vero in qualsiasi base . Viceversa, se un numero ha un'espansione decimale periodica in almeno una base, allora è un numero razionale.

Un numero reale non razionale si dice irrazionale . L' insieme dei numeri razionali è un campo commutativo , indicato con Q o ℚ (così battezzato da Peano nel 1895 dopo l'iniziale della parola italiana quoziente , il quoziente). Per definizione:

Q={mnon|(m,non)∈Z×(Z∖{0})}{\ displaystyle \ mathbb {Q} = \ left \ {\ left. {\ frac {m} {n}} \ right | (m, n) \ in \ mathbb {Z} \ times (\ mathbb {Z} \ setminus \ {0 \}) \ destra \}}

dove è l' anello degli interi relativi.

Espansione decimale

Come tutti i reali , i razionali ammettono una rappresentazione in espansione decimale illimitata . Lo sviluppo decimale dei numeri razionali ha la particolarità di essere periodico . Cioè, c'è un suffisso costituito da una sequenza finita di cifre che si ripetono continuamente . Questa sequenza è chiamata: "periodo di espansione decimale illimitata".

L'espansione decimale illimitata di un numero reale, ea fortiori di un numero razionale, è unica se non ci è permesso di terminare con una sequenza periodica composta da '9'. In quest'ultimo caso, infatti, esisterà una scrittura equivalente che termina con un punto composto da '0', e meglio ancora, un'equivalente espansione decimale limitata.

Convenzionalmente, quando scriviamo un numero con numeri arabi nel sistema decimale, tracciamo, se necessario, una barra orizzontale sotto la sequenza periodica. È anche possibile mettere un punto sopra ogni cifra del punto, ma questa notazione è usata molto meno.

Quando si indica un periodo bisogna fare riferimento ad un numero razionale ed è per questo che in modo rigoroso:

13=0,3_...=limiX→+∞(Σnon=1X310non).{\ displaystyle {\ frac {1} {3}} = 0 {,} {\ sottolinea {3}} ... = \ lim _ {x \ rightarrow + \ infty} \ left (\ sum _ {n = 1 } ^ {x} {\ frac {3} {10 ^ {n}}} \ destra).}

Ma anche :

1=1,0_...=0,9_...=0,99999...{\ displaystyle 1 = 1 {,} {\ sottolineato {0}} ... = 0 {,} {\ sottolineato {9}} ... = 0 {,} 99999 ...}

L'espansione decimale illimitata di un numero razionale è periodica e, viceversa, un numero con espansione decimale periodica è sempre razionale. Questo criterio è tuttavia scomodo per valutare la razionalità di un numero. Un secondo criterio è dato dalla frazione continua . Un numero è razionale se e solo se la sua espansione in una frazione continua è finita. Questo metodo è all'origine delle prime dimostrazioni della irrazionalità della base e del logaritmo naturale e di π .

Quindi, il numero (dove abbiamo sequenze di '2' sempre più lunghe) è irrazionale perché non c'è periodo. 0,12122122212222...{\ displaystyle 0 {,} 12 \, 122 \, 1222 \, 12222 ... \,}

Aritmetica razionale

Siano a, b, c, d quattro interi, con b e d diversi da zero.

I due numeri razionali rappresentati da un / b e c / d sono uguali se e solo se annuncio = bc .

L' addizione è data da:

ab+vsd=ad+bvsbd.{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} + {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ad + bc} {bd}}.}

Mostriamo che questa uguaglianza non dipende dalla scelta dei rappresentanti "a/b" e "c/d".

La moltiplicazione per:

ab×vsd=avsbd.{\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \ times {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ac} {bd}}.}

Il contrario e il contrario di:

-(ab)=-ab=a-be(ab)-1=ba Se a≠0.{\ displaystyle - \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) = {\ frac {-a} {b}} = {\ frac {a} {- b}} \ quad {\ mbox { and}} \ quad \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) ^ {- 1} = {\ frac {b} {a}} {\ mbox {si}} a \ neq 0.}

Si deduce che il quoziente è dato da:

(ab)/(vsd)=adbvs.{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {b}} \ right) / \ left ({\ frac {c} {d}} \ right) = {\ frac {ad} {bc}}.}

frazione egiziana

Qualsiasi numero razionale positivo può essere espresso come la somma dell'inverso di numeri naturali distinti. Ad esempio, abbiamo:

57=12+16+121.{\ displaystyle {\ frac {5} {7}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {21}}.}

Costruzione formale

Possiamo vedere un numero razionale come la classe di equivalenza di una coppia ordinata di interi, dalla seguente relazione di equivalenza:

∀(a,b)∈Z×(Z∖{0})∀(vs,d)∈Z×(Z∖{0})(a,b)R(vs,d)⟺ad=bvs.{\ displaystyle \ forall \ left (a, b \ right) \ in \ mathbb {Z} \ times (\ mathbb {Z} \ setminus \ left \ {0 \ right \}) ​​\ quad \ forall \ left ( c, d \ right) \ in \ mathbb {Z} \ times (\ mathbb {Z} \ setminus \ left \ {0 \ right \}) ​​\ quad (a, b) \, {\ mathcal {R} } \, ( c, d) \ Longleftrightarrow ad = bc.}

Poi notato , cioè l'insieme dei numeri razionali è il quoziente della relazione di equivalenza. Q=(Z×(Z∖{0}))/R{\ displaystyle \ mathbb {Q} = {\ big (} \ mathbb {Z} \ times (\ mathbb {Z} \ setminus \ left \ {0 \ right \}) ​​{\ big)} / {\ mathcal {R}}}Z×(Z∖{0}){\ displaystyle \ mathbb {Z} \ times (\ mathbb {Z} \ setminus \ left \ {0 \ right \})}

Possiamo quindi iniettare gli interi nei razionali e definire leggi di composizione interna per darci una struttura corporea.

Questa costruzione è valida da qualsiasi anello integrale , si parla quindi di campo di frazioni .

Proprietà

• L'insieme ℚ, provvisto delle leggi di addizione e moltiplicazione date sopra, forma un campo commutativo , il campo delle frazioni di interi ℤ.
• I razionali sono il campo più piccolo con caratteristica nulla. Qualsiasi altro campo con caratteristica zero contiene una copia di .
• La chiusura algebrica di ℚ, cioè il campo delle radici dei polinomi a coefficienti razionali è l'insieme dei numeri algebrici .
• ℚ è denso in ℝ per costruzione stessa di ℝ . Più "concretamente", per ogni reale , la sequenza definita daX{\ stile di visualizzazione x}tu{\ displaystyle u}∀non∈NONtunon=E(10non×X)10non{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ qquad u_ {n} = {\ frac {E (10 ^ {n} \ volte x)} {10 ^ {n}}}}(dove è la funzione intera ) ha valori razionali (e anche decimali ) e tende a , poichéE{\ stile di visualizzazione E} X{\ stile di visualizzazione x}0≤X-tunon<10-non.{\ displaystyle 0 \ leq x-u_ {n} <10 ^ {- n}.}
• Dal punto di vista dell'approssimazione diofantea , i razionali sono i reali meno approssimabili: per maggiori dettagli si veda "  Misura dell'irrazionalità  ".
• L'insieme dei razionali è numerabile . Tuttavia, per l' argomento diagonale di Cantor , sappiamo che il campo dei numeri reali non lo è. Diciamo allora che i numeri reali sono quasi tutti irrazionali, nel senso della misura di Lebesgue . Diciamo che è un insieme trascurabile . La seguente funzione f , biunivoca da a ℚ + , dà tutti i numeri razionali positivi o nulli, con numeratore e denominatore sempre primi tra loro per costruzione. Si ispira alle suite di Farey o alla suite biatomica di Stern  :{f(0)=0f(2non)=1f(non)+1f(2non+1)=f(non)+1.{\ displaystyle {\ begin {casi} f (0) = 0 \\ f (2n) = {\ frac {1} {f (n) +1}} \\ f (2n + 1) = f (n) +1. \ Fine {casi}}}È invertito dalla seguente funzione g :{g(0)=0g(pq)={2g(q-pp),Se q>p2g(p-qq)+1,Se q≤p.{\ displaystyle {\ begin {cases} g (0) = 0 \\ g \ left ({\ dfrac {p} {q}} \ right) = {\ begin {casi} 2g ({\ frac {qp} { p}}), & {\ text {si}} q> p \\ 2g ({\ frac {pq} {q}}) + 1, & {\ text {si}} q \ leq p. \ end { casi}} \ fine {casi}}}

topologia

Dotato della topologia del solito ordine , è un campo topologico . Ciò significa che le operazioni aritmetiche sono continue. L'aggiunta è inoltre compatibile con l'ordine (si parla di gruppo ordinato ).

Limitazioni

D'altra parte, non ha la proprietà del limite superiore  : l'insieme dei numeri razionali x tale che x 2 <2 è limitato ma non ha un limite inferiore.

D'altra parte, non è uno spazio completo  : esistono successioni di Cauchy di numeri razionali che non convergono verso un numero razionale, come la successione ( x n ) definita per induzione secondo il metodo di Heron  :

• x 0 = 1
• per ogni n intero naturale diverso da zero: x n +1 =x n/2 + 1/x n.

Queste due limitazioni mostrano in particolare che i numeri essenziali in matematica, come √ 2 o π , non sono razionali. Questo porta a completare ℚ costruendo un insieme più grande, che ha la proprietà del limite superiore e in cui converge qualsiasi successione di Cauchy: l'insieme dei numeri reali .

Numero p -adic

Possiamo fornire a un'altra metrica.

Sia un numero primo . Noi chiediamo: p{\ stile di visualizzazione p}

• per ogni numero intero diverso da zero , dove è il più grande potere di divisione ,a{\ stile di visualizzazione a}|a|p=p-non,{\ displaystyle | a | _ {p} = p ^ {- n},}pnon{\ stile di visualizzazione p ^ {n}}p{\ stile di visualizzazione p} a{\ stile di visualizzazione a}
• |0|p=0{\ displaystyle | 0 | _ {p} = 0}.

La funzione così definita è completamente moltiplicativa , il che permette di porre senza ambiguità, per qualsiasi numero razionale  : a/b{\ stile di visualizzazione a / b}

• |ab|p=|a|p|b|p{\ displaystyle \ left | {\ frac {a} {b}} \ right | _ {p} = {\ frac {| a | _ {p}} {| b | _ {p}}}}.

Quindi definisci uno spazio metrico. dp(X,sì)=|X-sì|p{\ displaystyle d_ {p} \ sinistra (x, y \ destra) = | xy | _ {p}}

Lo spazio metrico non è completo e il suo completamento è il campo p di p - numeri adici . Il teorema di Ostrowski mostra che qualsiasi valore assoluto non banale ℚ è topologicamente equivalente o al solito valore assoluto oa un valore assoluto p -adic. (Q,dp){\ displaystyle \ left (\ mathbb {Q}, d_ {p} \ right)}

Riferimento

1. Cioè, essi hanno il numero 1 come il divisore comune solo positiva
2. Jean C. Baudet (2005), Matematica e verità. Una filosofia dei numeri , Parigi, ed. L'Harmattan, coll. “Ouverture filosofica”, ( ISBN  978-2-296-39195-6 ) , parte “Ma che cos'è un numero? ", cap. "Gli insiemi di numeri", nota 11, p. 124  : “L'insieme dei numeri razionali, viene indicata con la lettera Q. [...] Notazione proposto da Giuseppe Peano nel 1895, da quella italiana quoziente (quoziente). "

Vedi anche

Albero di poppa-Brocot