Gruppo ordinato

Un gruppo ordinato è un gruppo dotato di una relazione d'ordine rispettata dalle traduzioni.

Definizioni

Sia ( G ,.) Un gruppo (la legge del gruppo essendo denotato moltiplicativamente ) e ≤ una relazione d'ordine su G . Diciamo che questo è compatibile con la legge del gruppo quando per tutti gli elementi x , y e z del gruppo, il rapporto x ≤ y implica le due relazioni zx ≤ zy e xz ≤ YZ . Un gruppo ordinato è un insieme fornito simultaneamente con una legge di gruppo e una relazione d'ordine compatibile. Chiamiamo un gruppo totalmente ordinato un gruppo ordinato la cui relazione d'ordine è totale .

In un gruppo ordinato G , un elemento si dice positivo se è maggiore dell'elemento neutro e G , e negativo se è minore di esso.

Una parte P di un gruppo G forma l'insieme degli elementi positivi di G per un certo ordine compatibile se e solo se P è un cono positivo , vale a dire: PP ⊂ P , P ∩ P −1 = { e G } e P è stabile per coniugazione .

Esempi

Il gruppo additivo dei numeri reali , (ℝ, +), è un gruppo abeliano totalmente ordinato dall'ordine usuale.

Grazie alle prime tre proprietà sottostanti, deduciamo immediatamente molti altri gruppi abeliani totalmente o parzialmente ordinati.

Proprietà

• Qualsiasi sottogruppo di un gruppo ordinato (rispettivamente totalmente ordinato) è un gruppo ordinato (rispettivamente totalmente ordinato) in base alla restrizione dell'ordine del gruppo.
• Qualsiasi prodotto (anche infinito) di gruppi ordinati è un gruppo ordinato in base all'ordine parziale prodotto . Se l' insieme degli indici è ben ordinato , il prodotto viene fornito anche con un ordine lessicografico anch'esso compatibile.
• Qualsiasi gruppo isomorfo a un gruppo ordinato (rispettivamente totalmente ordinato) è un gruppo ordinato (rispettivamente totalmente ordinato) dall'ordine indotto .
• In un gruppo ordinato, per tutti gli elementi x , y , x ' e y' , le disuguaglianze x ≤ y e x ' ≤ y' comportano la disuguaglianza xx '≤ yy' .In altre parole, possiamo comporre, membro per membro, disuguaglianze dello stesso significato. Infatti, secondo la definizione, la disuguaglianza x ≤ y implica xx ' ≤ yx' . Allo stesso modo, la disuguaglianza x ' ≤ y' risulta in yx ' ≤ yy' . Concludiamo per transitività della relazione d'ordine.
• In un gruppo ordinato, per tutti gli elementi x e y , la disuguaglianza x ≤ y comporta la disuguaglianza y −1 ≤ x −1 .In altre parole, possiamo tornare a una disuguaglianza cambiando la sua direzione. Per ottenere questo risultato è sufficiente moltiplicare la disuguaglianza x ≤ y per y −1 a sinistra e per x −1 a destra.
• In un gruppo totalmente ordinato, la coniugazione conserva il "  segno  " ( y > e G ⇔ xyx −1 > e G ), e ogni elemento ha radici uniche (per ogni numero intero diverso da zero n , x n = y n ⇒ x = y ).
• Qualsiasi gruppo totalmente ordinabile è privo di torsioni .Il contrario è vero se il gruppo è abeliano , ma falsa nel caso generale: per esempio il gruppo fondamentale della bottiglia Klein , cioè il gruppo con due generatori a e b collegati solo da aba -1 = b -1 , è torsioni gratuito ma (secondo il punto precedente) non totalmente ordinabile.
• Hölder 's teorema (1902): qualsiasi pienamente ordinato di Archimede gruppo è abeliano ed è immerso in (ℝ, +, ≤).

Vedi anche

• Assioma di Archimede
• Corpo ordinato
• Spazio vettoriale ordinato  (in)

Riferimenti

1. T. S. Blyth, reticoli e strutture algebriche ordinate , Springer,2005( ISBN  1-85233-905-5 ) , p.  143.
2. (in) Dale Rolfsen, "  Ordered Groups and Topology  " , su UBC ,2001.