Ideale frazionario

In matematica , e più precisamente nella teoria degli anelli , un ideale frazionario è una generalizzazione della definizione di ideale . Questo concetto deve la sua origine alla teoria algebrica dei numeri . Per risolvere alcune equazioni diofantine , questa teoria utilizza anelli di interi che generalizzano quello di interi relativi . Questi anelli (unitari) generalmente non hanno un equivalente del teorema fondamentale dell'aritmetica e non è possibile scomporre un intero in un unico prodotto di fattori primi ad eccezione del gruppo di elementi invertibili . Gli ideali forniscono un equivalente di questo teorema, consentendo di risolvere alcune equazioni diofantine o di stabilire leggi di reciprocità equivalenti alla legge di reciprocità quadratica stabilita da Gauss .

Gli ideali hanno una moltiplicazione, questa operazione è associativa e c'è un elemento neutro costituito da tutto l'anello. D'altra parte, la mancanza di retromarcia impedisce di fornire a tutti gli ideali una struttura di gruppo . Nel caso di anelli di numeri interi, la struttura ha tutte le proprietà giuste per fornire un bypass. Questa configurazione è assiomatizzata nella definizione di un anello Dedekind . In primo luogo, l'anello è immerso nel suo anello totale di frazioni , quindi viene generalizzata la nozione di ideale.

Questa nozione è utilizzata anche nella geometria algebrica .

Storia

Un tentativo da Leonhard Euler per risolvere l'ultimo teorema di Fermat, se n è pari a 3 lo porta a considerare i numeri della forma a + b $i$ √ 3 , dove un e b sono numeri interi e $ho$ l' unità immaginaria . La sua dimostrazione è falsa: un tale anello non è fattoriale , vale a dire che non esiste un modo univoco per fattorizzare un numero utilizzando fattori primi. Ad esempio, 4 è sia il quadrato dell'intero 2 che il prodotto (1 + $i$ √ 3 ) (1 - $i$ √ 3 ). Se l'implementazione è un po 'goffa, l'idea risulta essere buona. Spettacoli Gauss questo studiando l'anello dei numeri della forma a + $i$ b , dove un e b sono numeri interi. È euclideo e ha una buona fattorizzazione. Gotthold Eisenstein scopre l'anello "giusto" per rendere rigorosa la dimostrazione di Eulero. Composto da numeri della forma a + $j$ b , dove $j$ denota una radice cubica di unità , risulta anche essere euclidea.

Nel caso generale, è inutile sperare di trovare una struttura euclidea per gli anelli dei numeri interi. Ernst Kummer ne comprende la ragione sottostante , che descrive come il secondo ostacolo . Gli equivalenti di interi, su anelli di interi algebrici, non sono "numerosi" abbastanza. Di conseguenza aggiunge quelli che chiama numeri ideali . Questa scoperta gli permette di dimostrare il grande teorema di Fermat per tutti i valori di n inferiore a 100 tranne 37, 59 e 67.

Kummer analizza gli interi algebrici del campo Q [ζ n ], dove ζ n denota una radice primitiva di unità , una struttura ora chiamata estensione ciclotomica . Richard Dedekind e Leopold Kronecker cercano di generalizzare la teoria a qualsiasi estensione finita dei numeri razionali. I loro approcci sono opposti: Kronecker segue la tradizione computazionale, stabilita da Gauss e seguita da Kummer, mentre Dedekind ricerca una teoria basata sulle caratteristiche strutturali degli anelli dei numeri interi, anche se ciò significa non avere un algoritmo efficace. Questa filosofia lo portò a riscrivere quattro volte il suo trattato sulla teoria dei numeri. La versione del 1876 contiene la definizione moderna di ideale ideale e frazionario. Il suo approccio astratto lo spinge a studiare la struttura algebrica degli ideali, e in particolare la loro moltiplicazione. L'aggiunta di ideali frazionari garantisce l'esistenza di un inverso. L'ultima versione del suo trattato, datata 1894 , mostra in tutta la generalità e nella sua forma moderna l'unicità della scomposizione che sostituisce il teorema fondamentale dell'aritmetica .

Definizioni

In questo articolo, A designa un anello commutativo (unitario) e K il suo anello totale di frazioni : se A è intero (che sarà il più delle volte), K è quindi il campo delle frazioni di A , e nel caso generale, K è l' anello localizzato S −1 A di A rispetto al sottoinsieme S di elementi regolari ( cioè non divisori di zero ).

Un sotto Una -module M di K si dice invertibile se v'è un sub A -module N tale che MN = A , dove MN denota il prodotto sottomodulo generato dagli elementi di prodotti M e N .
Un ideale frazionario di A è una parte K della forma d -1 J dove d è un membro regolare A e J un ideale di A . In altre parole, è un sub A - modulo M di K tale che v'è una caratteristica regolare di di A per cui dM è incluso in A .
Tale ideale frazionario è detto principale se è generata (come A -module) da un elemento, cioè se esso ha la forma di -1 J dove J è un ideale principale di A .

L'attenzione a questo termine improprio: un ideale frazionario di A non è sempre un ideale di A . In realtà gli ideali di A sono esattamente tra i suoi ideali frazionari, quelli inclusi in A .

Lo notiamo immediatamente

qualsiasi sub- modulo A invertibile di K è un ideale frazionario,
l'insieme degli ideali frazionari invertibili forma un gruppo abeliano (per il prodotto sopra definito), il cui neutro è l'anello A stesso,
ogni ideale frazionario invertibile è di tipo finito come modulo A , in altre parole è della forma d −1 J con J ideale di tipo finito. In particolare, qualsiasi ideale invertibile di A è di tipo finito,
se un ideale frazionario F è invertibile allora la sua inversa (nota che F -1 ) è il sottosistema A -module K consiste degli elementi k tale che kF è incluso in A . In altre parole: F è invertibile se e solo se il suo prodotto da questo sottomodulo è uguale a A intero.

Caratterizzazioni degli anelli Dedekind

La definizione di anello Dedekind adottata da molti autori e ripresa nell'articolo Anello Dedekind è: anello integrale, noetheriano , completamente chiuso (unità commutativa) , di cui ogni ideale primo diverso da zero è massimo . Riprendiamolo qui, ma vedremo che è equivalente a quello dovuto a Dedekind (anello di cui ogni ideale diverso da zero è invertibile), più adatto all'obiettivo di un analogo, in termini di ideali, del teorema fondamentale dell'aritmetica .

Teorema - Le seguenti proprietà sono equivalenti:

A è un anello Dedekind,
qualsiasi ideale primo diverso da zero di A è invertibile,
qualsiasi ideale diverso da zero di A è invertibile,
A è integrale e qualsiasi ideale diverso da zero di A è un prodotto di ideali massimi,
A è onesto e ogni ideale di A è un prodotto di ideali primari.

Inoltre, se A è un anello di Dedekind, la decomposizione di qualsiasi ideale diverso da zero in un prodotto di ideali primi è unica (fino all'ordine dei fattori).

Dimostrazione

${\ displaystyle 1 \ Rightarrow 2}$ : O P un ideale non nullo principale di A . Il localizzato Un P è un anello discreta stima così principale, c'è un elemento t di P generare l'ideale PA P a A P , cioè tale che P è incluso nel tA P .

Inoltre, A è Noetheriano , o ( p 1 , ..., p r ) un insieme finito di generazione P . Ciascun p i appartiene a tA P , quindi non esiste in un elemento di una non appartenente a P tale che la ( una / t ) p i appartengo A , in modo che (a / t) .P è incluso in A .

Definire il frazionata ideale Q = A + ( una / t ) A e verificare che è l'inverso di P . Per costruzione, QP è un ideale di A contenente P . Dato che contiene anche l'elemento ( una / t ) t = a che non è in P , e P è massima, si deduce che QP = A .

${\ displaystyle 2 \ Rightarrow 3}$ : Ragioniamo per assurdo assumendo 2 veri e 3 falsi. L'ipotesi 2 implica che ogni ideale primo sia di tipo finito, condizione sufficiente perché A sia noetheriano. L'ipotesi 3 è falso seleziona quindi, nel complesso (non assume vuoto) diverso da zero e non ideali invertibili, un elemento massimale P . Mostriamo (per concludere assurdamente) che tale P è primo: sia tale che e , mostriamolo . Si consideri per questo l'ideale : contiene strettamente P quindi è invertibile, e PQ −1 è un ideale di A non invertibile (come P ) e contenente P , quindi uguale a P (per scelta di quest'ultimo). Tuttavia, contiene anche b (poiché P contiene bQ ). Quindi . ${\ displaystyle a, b \ in A}$ ${\ displaystyle a \ notin P}$ ${\ displaystyle ab \ in P}$ ${\ displaystyle b \ in P}$ ${\ displaystyle Q = P + aA}$ ${\ displaystyle b \ in P}$

${\ displaystyle 3 \ Rightarrow 4}$ + unicità della decomposizione nei primi : l'ipotesi 3 implica che A è integrale (perché gli ideali principali diversi da zero sono invertibili) e noetheriano (qualsiasi essere ideale invertibile di tipo finito). Sia io un ideale diverso da zero di A , mostriamo che è un prodotto dei massimi. Se è uguale ad A , lo è (sotto forma di un prodotto indicizzato dal vuoto). Altrimenti, essere un massimo ideale contenente I : non è zero quindi reversibile, ed è un ideale di A contenente strettamente io . Costruiamo in questo modo una sequenza strettamente crescente di ideali della forma che (per noetherianesimo) è finita, vale a dire che esiste un numero naturale n tale che , quindi . Vediamo ora dimostrare che se con numeri primi, allora m = n e (fino a permutazione) . Se m = 0 è immediato. Altrimenti, poiché è primo e contiene il prodotto , ne contiene uno, ad esempio quindi (per massimalità di ) . Moltiplicando l'equazione iniziale per essa rimane , quindi (iterando) il risultato desiderato. $M_ {1}$ $M_ {1}$ ${\ displaystyle IM_ {1} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle IM_ {1} ^ {- 1} \ ldots M_ {n} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle IM_ {1} ^ {- 1} \ ldots M_ {n} ^ {- 1} = A}$ ${\ displaystyle I = M_ {1} \ ldots M_ {n}}$ ${\ displaystyle P_ {1} \ ldots P_ {m} = M_ {1} \ ldots M_ {n}}$ $Pi$ ${\ displaystyle (P_ {1}, \ ldots, P_ {n}) = (M_ {1}, \ ldots, M_ {n})}$ $P_ {1}$ ${\ displaystyle M_ {1} \ ldots M_ {n}}$ $M_ {1}$ $M_ {1}$ ${\ displaystyle P_ {1} = M_ {1}}$ ${\ displaystyle M_ {1} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle P_ {2} \ ldots P_ {m} = M_ {2} \ ldots M_ {n}}$

${\ displaystyle 4 \ Rightarrow 5}$ : Immediato.

${\ displaystyle 5 \ Rightarrow 2}$ : cfr.

Bourbaki AC VII § 2 esercizio 9, o
(fr) Pierre Samuel e Oscar Zariski , Algebra commutativa , vol. 1 cap. V § 6 teorema 10, o ancora
Teorema 11.149 (attribuito a Matusita) a Szpirglas

(in queste tre fonti, l'insieme di argomenti è lo stesso).

${\ displaystyle 2 \ Rightarrow 1}$ : Sotto l'ipotesi 2 (che coinvolge 3, 4, 5 e l'unicità della decomposizione in primo), abbiamo già visto che A è noetheriano e integra. Inoltre (vedi paragrafo Valutazione più avanti) possiamo associare ad ogni ideale primo diverso da zero P di A una valutazione v P su K tale che A sia l'intersezione degli anelli di valutazione associati. È quindi completamente chiuso (vedi l' intero articolo di Element ). Qualsiasi ideale primo diverso da zero P è massimo (per l'esistenza di una decomposizione in massimi e l'unicità della decomposizione in numeri primi). Quindi, A soddisfa tutte le proprietà richieste per essere un anello Dedekind.

Ne consegue immediatamente che se A è un anello Dedekind allora:

il gruppo di ideali frazionari invertibili è il più grande che si possa sperare: consiste nell'insieme Fr ( A ) di tutti gli ideali frazionari diversi da zero (perché tale ideale è della forma d −1 J = J. (dA) - 1 con J ideale di A diverso da zero di A quindi invertibile);
il gruppo Fr ( A ) è il gruppo abeliano libero sull'insieme P ( A ) degli ideali primi diversi da zero di A , cioè qualsiasi ideale frazionario si decompone in un modo unico in un prodotto finito di potenze positive o negativo di ideali primi ( l'esistenza di una tale scomposizione per ideali frazionari è dedotta da quella per ideali, e dalla scrittura sopra di un ideale frazionario; unicità anche, riducendo, per prodotto, a poteri positivi);
un ideale frazionario è un ideale di A se e solo se tutte le potenze, nella sua scomposizione nel prodotto di ideali primi, sono positive (“se” è immediato, “solo se” si deduce dalla fine del teorema).

Valutazione

Supponiamo qui che A sia un anello che soddisfa la proprietà 2 del teorema precedente e tutte le sue conseguenze (proprietà da 3 a 5, integrità, noetherianità, unicità della decomposizione in primo). Spiegheremo le valutazioni su A che ci permettono di completare la dimostrazione di 2 ⇒ 1 in questo teorema. Per prima cosa, fissiamo l'ideale primo diverso da zero P :

{\ displaystyle P \ in P (A)}

L'unicità della scomposizione in fattori primi degli ideali frazionari consente, come per i numeri naturali o razionali, di definire una valutazione sul gruppo moltiplicativo Fr ( A ):

L'applicazione v P che un ideale frazionario F nonzero mietitrebbia esponente P nella sua scomposizione in ideali primi, e che unisce lo zero ideali di valore infinito, è chiamato valutazione su Fr ( A ) P .

{\ displaystyle v_ {P_ {i}} \ left (\ prod _ {j = 1} ^ {n} P_ {j} ^ {\ alpha _ {j}} \ right) = \ alpha _ {i} \ quad {\ text {e}} \ quad v_ {P} (\ {0 \}) = \ infty.}

Dai risultati del paragrafo precedente si deduce subito che per tutti : ${\ displaystyle F, G \ in Fr (A)}$

${\ displaystyle v_ {P} (F \ cdot G) = v_ {P} (F) + v_ {P} (G)}$
${\ displaystyle v_ {P} (F + G) = \ min {\ big (} v_ {P} (F), v_ {P} (G) {\ big)}}$
${\ displaystyle v_ {P} (F \ cap G) = \ max {\ big (} v_ {P} (F), v_ {P} (G) {\ big)}}$

Ciò rende possibile definire una valutazione su K restringendo v P a ideali frazionari principali diversi da zero:

l'applicazione di un elemento k della frazione K di A collegate v P ( kA ) viene chiamato valutazione su K P . Questa applicazione è ancora indicata v P .

{\ displaystyle \ forall k \ in K ^ {*}, \; v_ {P} (k) = v_ {P} (kA) \ quad {\ text {e}} \ quad v_ {P} (0) = \ infty.}

Su K , la famiglia di valutazioni ( v P ), quando P ora attraversa l'insieme P ( A ) di ideali primi diversi da zero, soddisfa ulteriormente:

Per ogni elemento x diverso da zero di A , v P ( x ) è strettamente positivo solo per un insieme finito di ideali (ed è zero per gli altri). ${\ displaystyle P \ in P (A)}$

In altre parole, x appartiene solo a un numero finito di ideali primi.

"Teorema di approssimazione": Sia distinto, e . Esiste quindi tale che ${\ displaystyle P_ {1}, \ ldots, P_ {q} \ in P (A)}$ ${\ displaystyle n_ {1}, \ ldots, n_ {q} \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle k_ {1}, \ ldots, k_ {q} \ in K}$ $k \ in K$

{\ displaystyle {\ text {per tutto}} i \ in [1, q], \ quad v_ {P_ {i}} (k-k_ {i}) \ geq n_ {i} {\ text {e}} }

{\ displaystyle {\ text {pour tout}} P \ in P (A) {\ text {distinto da}} P_ {i}, \ quad v_ {P} (k) \ geq 0.}

Gruppo di classi ideali

I principali ideali frazionari diversi da zero sono un sottogruppo del gruppo di ideali frazionari diversi da zero. Il gruppo quoziente è chiamato gruppo di classi . Se A è l'anello di interi algebrici di un campo numerico, il suo gruppo di classi è di ordine finito. Questo risultato è una delle chiavi che permettono di risolvere le equazioni diofantine e in particolare quella legata all'ultimo teorema di Fermat .

Tutte queste proprietà sono studiate anche, nel quadro più semplice degli interi quadratici , nell'articolo Ideale dell'anello degli interi di un campo quadratico .

Note e riferimenti

Appunti

John Horton Conway e Richard Guy , The Book of Numbers , Eyrolles, 1998 ( ISBN 9782212036381 ) .
(in) HM Edwards , " Lo sfondo della dimostrazione di Kummer dell'ultimo teorema di Fermat per i premi regolari " , Arch. History Exact Sci. , vol. 14, n o 3,1975, p. 219-236 ( DOI 10.1007 / BF00327448 ).
E. Kummer, "Sulla teoria dei numeri complessi", CRAS , 1847.
Un'analisi è offerta nell'introduzione del testo (en) versione del 1871 di Dedekind della teoria degli ideali di Jeremy Avigad , 2004.
Dedekind 2006 .
(De) R. Dedekind, "Zur Theorie der Ideale", Nachr. der K. Ges. der Wiss. zu Göttingen , 1894.
Bourbaki AC , II § 1, esercizio 6.
Jean-Pierre Serre , Corpo locale [ dettaglio delle edizioni ] p. 23 , o Bourbaki AC , VII § 2, n o 4.

Riferimenti

Storico

(en) HM Edwards, Divisor Theory , Birkhäuser, Boston, 1990 ( ISBN 978-0-81763448-3 )
R. Dedekind ( trad. C. Duverney), Trattato sulla teoria dei numeri , Ginevra, Tricorne,2006( ISBN 2829302893 ) - Il libro di Dedekind che fornisce la definizione di ideale frazionario.

Matematica

N. Bourbaki , Elementi di matematica : algebra commutativa
(en) GH Hardy e EM Wright , An Introduction to the Theory of Numbers ( 1 st ed. 1938) [ Retail Editions ]
Pierre Samuel , Teoria algebrica dei numeri [ dettaglio dell'edizione ]
Jean-Pierre Serre , Corso di aritmetica ,1970[ dettaglio delle edizioni ]
Aviva Szpirglas, Algebra L3: Corso completo con 400 prove ed esercizi corretti [ dettaglio delle edizioni ], in particolare il capitolo Inverting Ideals - Rings of Dedekind pubblicato online da Lionel Ducos ( Università di Poitiers ), collaboratore di questo libro

Link esterno

Bas Edixhoven e Laurent Moret-Bailly, Teoria algebrica dei numeri, corso di laurea magistrale in matematica , Università di Rennes 1 ,2004( leggi online )