Primalità in un anello
In algebra commutativa , in un anello integrale , un elemento p si dice irriducibile se non è né invertibile né prodotto di due elementi non invertibili. Si dice che sia primo se è né zero e non invertibile e se, per qualsiasi prodotto ab divisibile per p , uno dei due elementi a o b è divisibile per p . Ogni elemento primo è irriducibile. In un anello fattoriale (come l'anello dei numeri interi o l'anello dei polinomi con coefficienti in un campo), queste due nozioni sono equivalenti.
Due elementi a e b sono detti primo tra loro eventuale divisore comune ad un e b è invertibile.
introduzione
Nell'anello degli interi, ci sono diverse caratterizzazioni di numeri primi e numeri primi tra loro che, in ogni anello , portano a tre coppie di nozioni diverse. Nel seguito, A è un dominio di integrità e un , b , p sono gli elementi di A . Un ideale di A si dice di possedere se diverso da A . La notazione designa l' ideale principale generato da (cioè, l'insieme dei multipli di ).
Gli elementi primeggiano tra di loro ed elemento irriducibile
- Diciamo che un e b sono il primo tra di loro o che un è privilegiata con b eventuale comun divisore per un e B è invertibile .
Condizioni equivalenti:
- Il GCD di un e b (esiste e) è uguale a 1;
- L'ideale ( un ) + ( b ) è incluso in nessun proprio ideale principale della A .
Probabilmente per l'influenza dei polinomi , la seguente nozione non è battezzata "elemento primo", ma "elemento irriducibile":
- Diciamo che p è irriducibile se non è né zero né invertibile e se è primo con qualsiasi elemento che non divide.
Condizioni equivalenti:
- p non è né invertibile, né prodotto di due elementi non invertibili;
- p non è né zero né invertibile e i suoi unici divisori sono gli invertibili o gli elementi associati a p ;
- ( P ) è diverso da zero e massima nel set di ideali principali proprio A .
Elementi indissolubili tra loro e l'elemento primario
- Quando aeb sono diversi da zero, diciamo che sono indissolubili tra loro (o "primi tra loro nel senso di Gauss " ) se per qualsiasi elemento x di A ,
Condizioni equivalenti (secondo gli ultimi due, questa nozione è quindi simmetrica in una e b ):
- b è semplificabile (o: non divisore di 0) nell'anello quoziente A / ( a );
- qualsiasi multiplo di un e b è un multiplo di ab ;
- la PPCM di un e b (esiste e) è pari al prodotto ab .
La definizione corrispondente è quindi:
- p si dice primo (o indissolubile ) se è diverso da zero, non invertibile e indissolubile con qualsiasi elemento che non divide.
Condizioni equivalenti:
- p è diverso da zero, non invertibile e per ogni prodotto ab divisibile per p , uno dei fattori a o b è divisibile per p ;
- p è diverso da zero e A / ( p ) è intero ;
- ( P ) è un primo A ideale diverso da zero .
Elementi estranei ed elemento estremale
La nozione di elementi estranei corrisponde alla caratterizzazione dei numeri primi tra di loro dal teorema di Bachet-Bézout .
- Si dice che un e b sono esteri se vi siano elementi u e v di A come in + bv = 1, che condizionano possono anche essere scritte come ( a ) + ( b ) = A .
La definizione corrispondente è quindi:
- Diciamo che p è estremo se è diverso da zero, non invertibile ed estraneo a qualsiasi elemento che non divide.
Condizioni equivalenti:
- p è diverso da zero e non invertibile, e qualsiasi elemento di A che non sia multiplo di p è invertibile modulo p ;
- ( p ) è un ideale massimale diverso da zero di A ;
- p è diverso da zero e A / ( p ) è un campo .
Collegamenti tra questi tre concetti
Nei controesempi seguenti, K denota un campo e A = K [ X 2 , XY , Y 2 ] il sottoanello di K [ X , Y ] formato da polinomi in cui ogni monomio è di grado totale pari (questo l'anello è isomorfo a K [ U , V , W ] / ( W 2 - UV ), tramite il morfismo indotto da U ↦ X 2 , V ↦ Y 2 e W ↦ XY ).
- estranei ⇒ indissolubili tra di loro ⇒ primi tra di loro .
Supponiamo che un e b sono non zero.
- Se un e b sono stranieri allora sono indissolubile tra di loro:
Se au + bv = 1 e se a divide bx , allora bx è scritto ay , così che x = ( au + bv ) x = aux + bxv = aux + ayv = a ( ux + yv ) è divisibile per a .
- Se un e b sono indissolubile tra di loro poi sono primi tra di loro:
Se ab è un PPCM di un e B , e se d è un comune divisore, poi una è scritto a'd e b è scritto b'd , in modo che a'b'd , comune multiplo di un e B , è divisibile per ab = a'b'd 2 , quindi d è invertibile.
Nota.L'integrità, usata alla fine di questa dimostrazione, è essenziale. Nell'anello non integrale ℤ 2 , l'elemento primo (1,0) non è irriducibile.
I reciproci sono falsi: In K [ X , Y ], X e Y sono indissolubili tra loro ma non estranei; Nell'anello A , gli elementi XY e X 2 sono primi tra loro ma non indissolubili tra loro (perché XY divide X 2 Y 2 ma non Y 2 ).- estremale ⇒ primo ⇒ irriducibile .
- In un anello MCD (anello dove ogni coppia di elementi ha un MCD), e quindi in particolare in un anello fattoriale , primo tra loro è equivalente a indissolubile tra loro (quindi irriducibile equivale a primo ).
- In un anello di Bézout (anello integrale in cui ogni ideale di tipo finito è principale), e quindi in particolare in un anello principale (come ℤ o K [ X ]), le tre nozioni ( estranee , indissolubili tra loro , prime tra loro ) sono equivalente (quindi irriducibile è equivalente a primo è equivalente a estremale ).
Note e riferimenti
Appunti
- Se uno dei due elementi a, b è zero, questa condizione è equivalente alla invertibilit'a dell'altro.
- La precedente definizione di "indissolubile tra loro" è limitata al caso in cui i due elementi sono diversi da zero, ma possiamo rendere vere queste due implicazioni affermando che se uno dei due elementi a , b è zero, allora sono indissolubili tra loro se e solo se l'altro è invertibile.
Riferimenti
- Dany-Jack Mercier, Fundamentals of Algebra & Arithmetic , Publibook, 2010 ( ISBN 978-2-74835410-2 ) , p. 108, definizione 60
- Dany-Jack Mercier, op. cit. , p. 106, definizione 57
Serge Lang , Algebra [ dettaglio delle edizioni ]