Estensione ciclotomica

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In teoria algebrica dei numeri , chiamiamo estensione ciclotomica del campo dei numeri razionali qualsiasi campo di rottura di un polinomio ciclotomico , cioè qualsiasi campo della forma ℚ (ζ) dove è una radice dell'unità .

Questi campi giocano un ruolo cruciale, da un lato nella comprensione di alcune equazioni diofantee : per esempio, l'aritmetica ( gruppo di classi , in particolare) del loro anello di interi permette di mostrare l'ultimo teorema di Fermat in molti casi (vedi numero primo regolare ); ma anche, nella comprensione delle estensioni algebriche di , che possono essere considerate come una versione astratta del problema precedente: il teorema di Kronecker-Weber , ad esempio, assicura che qualsiasi estensione abeliana sia contenuta in un'estensione ciclotomica. Infine, la teoria di Iwasawa permette di studiare queste estensioni ciclotomiche, non più considerandole separatamente, ma come famiglie coerenti.

Le estensioni ciclotomiche possono essere definite anche per altri corpi:

per i campi finiti la teoria è sostanzialmente completa;
per i campi locali di caratteristica 0, si comprende meglio che per il caso globale;
per gli organi delle funzioni ...

Prime proprietà

Sia n l' ordine di , vale a dire che è un'ennesima radice primitiva dell'unità, o anche una radice del polinomio ciclotomico Φ n .

Se n divide m , l' n -esimo campo ciclotomico ℚ (ζ) è un sottocampo del m -esimo.
L' estensione ℚ (ζ) / ℚ è di grado φ ( n ), dove indica la funzione dell'indicatore di Eulero .
L'estensione ciclotomica è anche il campo di decomposizione del polinomio Φ n . Lei è quindi Galois .
Ciò significa che il campo più piccolo contenente una radice del polinomio contiene anche tutte le radici del polinomio. Dire che questo campo è un'estensione di Galois significa due cose: da un lato, i polinomi minimi di questo campo non hanno radici multiple (cosa che è sempre vera per le estensioni sui numeri razionali); e d'altra parte tutti i morfismi di questo corpo in numeri complessi hanno come immagine il corpo stesso. Sono quindi automorfismi .
Questa estensione è abeliana . Infatti, il suo gruppo di Galois (il gruppo dei suoi automorfismi) è abeliano , perché isomorfo a (ℤ / n ℤ) × .

Dimostrazioni

L'estensione ciclotomica è anche il corpo di decomposizione del polinomio. Lei è quindi Galois.

L'estensione contiene ζ e quindi tutte le sue potenze, ma le potenze di formano l'insieme delle n - esime radici dell'unità e quindi in particolare le radici primitive che sono le radici del polinomio ciclotomico. Ciò dimostra che (ζ) è il campo di scomposizione. In un campo perfetto come quello dei numeri razionali (un campo perfetto è un campo in cui tutti i polinomi irriducibili sono separabili, cioè non hanno radici multiple nella chiusura algebrica ) un campo di scomposizione è sempre un'estensione di Galois.

L'estensione ciclotomica è abeliana.

Sia d un intero minore di n e primo di n . Allora ζ d è una radice del polinomio ciclotomico quindi esiste un (ovviamente unico) ℚ-automorfismo m d del campo di decomposizione ℚ (ζ) che manda ζ su ζ d . Consideriamo allora l'applicazione del gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili di ℤ / n ℤ nel gruppo di Galois che, alla classe di d associa l'automorfismo m d . Questa mappa è chiaramente un isomorfismo di gruppi. Questo isomorfismo mostra che il gruppo di Galois è abeliano, il che conclude la dimostrazione.

Secondo il teorema di Gauss-Wantzel , questa estensione si scompone in una torre di estensioni quadratiche se e solo se n è della forma: $n = 2 ^ {k} \ prod _ {i} F_ {i},$ dove le F i sono distinti primi di Fermat (un numero primo si dice Fermat se è della forma 2 (2 k ) + 1 per qualche intero k ).
Tuttavia, un punto è costruibile se e solo se l'estensione associata verifica questa proprietà. Questo teorema fornisce quindi in teoria la lista di interi n per cui il poligono regolare con n vertici è costruibile, e rende possibile, per valori “piccoli” di n , determinare se n appartiene o meno a tale lista. (I numeri primi di Fermat noti sono 3, 5, 17, 257 e 65.537.)
L' anello degli interi del campo ℚ (ζ) è l'anello ℤ [ζ]
Un numero primo p è ramificato in ℚ (ζ n ) se e solo se divide n , tranne nel caso p = 2 = (4, n ); un numero primo p ≠ 2 è completamente scomposto in ℚ (ζ n ) se e solo se p ≡ 1 mod n .
Il discriminante del campo ℚ (ζ) (o del polinomio Φ n ) è: dove φ è l' indicatrice di Eulero . $(-1) ^ {{\ varphi (n) / 2}} {\ frac {n ^ {{\ varphi (n)}}} {\ prod _ {{p {\ text {first}} \ atop {\ testo {divisione}} n}} p ^ {{\ varphi (n) / (p-1)}}}}$
Il campo ℚ (ζ) ha moltiplicazioni complesse : è un campo totalmente immaginario, estensione quadratica del campo totalmente reale ℚ (ζ + ζ −1 ).
Quando n = p prima dispari, il campo ℚ (ζ) contiene il campo quadratico ℚ ( $\sqrt (-1) ( p -1) / 2 p$ ). Ad esempio per p = 5, ℚ (ζ) contiene ℚ ( √ 5 ) e per p = 3, ℚ (ζ) contiene ℚ ( $\sqrt -3$ ).
I campi quadratici ℚ ( √ 2 ) e ℚ ( $\sqrt -2$ ) sono contenuti in ℚ (ζ) per n = 8.

Alcune domande di aritmetica

Consideriamo il campo ℚ (ζ p ), per p un numero primo. Quindi, possiamo mostrare che l'equazione x p + y p = z p non ammette una soluzione intera non banale ( x , y , z ) con xyz primo su p , nell'ipotesi che p non divida il numero di classi di (ζ p ). Un tale numero primo è detto numero primo regolare . Questo è spesso chiamato il primo caso dell'ultimo teorema di Fermat ed è stato studiato da Ernst Kummer . Kummer ha in particolare un criterio relativo ai numeri di Bernoulli per determinare se un numero primo è regolare. Attualmente è noto che un'infinità di numeri primi non sono regolari: d'altra parte, non sappiamo se esiste un'infinità di numeri regolari.

Più precisamente ci si può chiedere per quali valori di n l'anello ℤ [ζ n ] è principale , vale a dire che il numero delle classi è 1. Questo è noto: gli unici numeri n tali che ℤ [ ζ n ] è principale (o, che cosa è equivalente qui : fattoriale ), sono: 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21 , 24, 25 , 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84, nonché i doppi degli n dispari di questa lista da allora, ℚ (ζ 2 n ) = ℚ (ζ n ).

Azione di coniugazione complessa

Il fatto che il campo sia CM permette di far agire Gal (ℚ (ζ p ) / ℚ (ζ p + ζ p −1 )) ≃ ℤ / 2ℤ sui diversi oggetti aritmetici legati a ℚ (ζ p ). In particolare, questo permette (vedi rappresentazione dei gruppi ) di definire due parti nel numero di classi: la parte + e la parte -. L' ipotesi di Vandiver quindi afferma: "Per ogni primo p , p non divide il partito + il numero di classi". In particolare, un numero primo regolare soddisfa la congettura di Vandiver. Sotto questa ipotesi, e un'assunzione aggiuntiva sulle unità del sottocampo reale ℚ (ζ p + ζ p −1 ), possiamo mostrare il secondo caso del teorema di Fermat: x p + y p = z p non ammette non- soluzioni intere banali tali che p non divide xy e p divide z .

La congettura di Vandiver è ancora una congettura in questo momento . È stato verificato numericamente per p <2 27 = 134 217 728.

Estensioni ciclotomiche infinite

Per ogni campo di numeri e per ogni numero primo p , si può considerare una torre di estensione infinita: l' estensione ℤ p -ciclotomica. Se è dispari, l' estensione ℤ p -ciclotomica di ℚ è la torre di estensioni definita tramite la corrispondenza di Galois come la sottoestensione fissata dal sottogruppo isomorfo a ℤ / ( p –1) ℤ di Gal (ℚ ( ζ p n ) / ) ≃ ℤ / ( p –1) ℤ × ℤ / p n –1 ℤ. Il campo è quindi un'estensione di Galois di , e anche ciclico di ordine p n ; per definizione di limite proiettivo , l'unione di è quindi Galois su ℚ del gruppo di Galois ℤ p , da cui il nome. $p$ ${\ mathbb {B}} _ {n}$ ${\ mathbb {B}} _ {n}$ ${\ mathbb {B}} _ {n}$

L' estensione ℤ p -ciclotomica di qualsiasi campo numerico si ottiene per compositum con esso.

Note e riferimenti

(in) Jürgen Neukirch , Teoria algebrica dei numeri [ edizioni al dettaglio ], corno. 10.4, pag. 63 .
(in) Lawrence C. Washington (de) , Introduzione ai campi ciclotomici [ edizioni al dettaglio ], cap. 11 .
(in) David Harvey, " Verifica su larga scala della congettura di Vandiver " ,dicembre 2008( Seminario di teoria dei numeri del MIT ).

Vedi anche

Articolo correlato

Il teorema di Stickelberger

Link esterno

André Weil , “ Il passato e il passato della ciclotomia ”, Séminaire Bourbaki , vol. 16, n o 452, 1973-1974 ( leggi online )