In matematica , precisamente in topologia , la topologia iniziale su un set con una famiglia di applicazioni con valori degli spazi topologici , è la topologia meno fine per cui queste applicazioni sono in corso . Due importanti casi speciali di topologie iniziali sono la topologia indotta e la topologia del prodotto . La doppia nozione è quella di topologia finale .
Sia X un insieme e ( f i ) i ∈ I una famiglia di mappe, ciascuna definita su X e con valori in uno spazio topologico Y i . La topologia iniziale associata a questi dati è la topologia meno fine su X per la quale tutti i f i sono continui.
In altre parole, è la topologia generata dall'insieme di tutte le parti di X della forma f i −1 ( U ) , dove i appartiene a I e dove U è un'apertura dello spazio corrispondente Y i .
Questa topologia iniziale su X è caratterizzata dalla seguente proprietà universale : per ogni spazio topologico Z , una mappa g : Z → X è continua ( X essendo dotato della topologia iniziale) se - e ovviamente solo se - tutte le mappe f i ∘ g : Z → Y io sono.
Ciò risulta immediatamente dalla definizione della topologia iniziale da parte di un prebase e dal relativo criterio di continuità .
La topologia iniziale su X è la meno fine per cui la mappa canonica f , di X nel prodotto di Y i , è continua. Questa mappa f è quindi un incorporamento se (e solo se) è iniettiva , in altre parole se la famiglia di f i si sta separando (in) , cioè se per tutti i punti distinti x e y in X , esiste un indice i tale che f i ( x ) ≠ f i ( y ).
Affinché una data topologia su X coincida con la topologia iniziale associata a f i , una condizione sufficiente è che f i −1 ( U ), per i ∈ I e U aperti di Y i , non solo formino un prebase ma un base . Dimostriamo che questa condizione è equivalente al fatto che la famiglia di f i separa i punti di quelli chiusi , vale a dire che per ogni F chiuso di X e ogni punto x di X non appartenente a F , esiste un indice i tale che f i ( x ) non aderisce a f i ( F ) .
Se inoltre X è uno spazio T 0 , f i separa anche i punti quindi X è immerso nel prodotto di Y i .