Teorema di Bernstein sulle funzioni totalmente monotone

In analisi funzionale , un ramo della matematica , di Bernstein teorema afferma che qualsiasi reale valore funzione sulla semiretta dei reali positivi che è completamente monotona è una combinazione (in un caso importante, una media ponderata o una speranza matematica ) di ' esponenziale .

stati

La "monotonia totale" di una funzione $f$ su $] 0, + \infty [$ significa che è indefinitamente differenziabile su questo intervallo e che per qualsiasi numero naturale $n$ ,

{\ displaystyle (-1) ^ {n} {\ mathrm {d} ^ {n} \ over \ mathrm {d} t ^ {n}} f \ geq 0}

Diciamo anche che $f$ è completamente monotono su $] 0, + \infty [$ . Diciamo che è completamente monotono su $[0, + \infty [$ se è inoltre definito e continua a destra in $0$ .

La media ponderata può quindi essere caratterizzata:

Teorema - Una funzione $f$ è completamente monotona su $] 0, + \infty [$ (risp. $[0, + \infty [$ ) (se e) solo se esiste una funzione crescente (rispettivamente crescente e limitata ) tale che per ogni $x$ $> 0$ (risp. $X$ $\geq 0$ ): ${\ displaystyle g: \ left [0, + \ infty \ right [\ to \ mathbb {R}}$

{\ Displaystyle f (x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ operatorname {e} ^ {- xt} ~ \ mathrm {d} g (t)}

In un linguaggio più astratto, il teorema caratterizza le trasformate di Laplace di misure positive di Borel su $[0, + \infty [$ . In questa forma, è noto come teorema di Bernstein-Widder o Hausdorff-Bernstein-Widder . Felix Hausdorff , nella sua soluzione al problema dei momenti , aveva già caratterizzato sequenze completamente monotone.

Dimostrazione

Per prima cosa riformuliamo il teorema in un linguaggio più contemporaneo, senza l'integrale di Stieltjes. Per prima cosa affermeremo e dimostreremo il teorema con la giusta condizione di continuità a zero; dedurremo quindi il caso generale.

Teorema di Bernstein

Una funzione di in è totalmente monotona (se e) solo se è la trasformata di Laplace di una misura boreliana positiva finita su : $f$ $\ R_ +$ $\ mathbb {R}$ $\ R_ +$

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} _ {+} \ quad f (x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ operatorname {e} ^ {- xt} \, \ mathrm { d} \ nu (t)}

(Il "se" è immediato.) Per provare il "solo se", supponiamo che $f sia$ totalmente monotono. L'ipotesi implica che per ogni numero naturale $n$ , sia positivo in diminuzione. Tutti i derivati hanno dei limiti , che noteremo . ${\ displaystyle (-1) ^ {n} f ^ {(n)}}$ $+ \ infty$ ${\ displaystyle f ^ {(n)} (+ \ infty)}$

Per prima cosa lo dimostriamo (elementare)

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} _ {+} \ quad \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad f (x) -f (+ \ infty) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ phi _ {n} (xt) \, \ mathrm {d} \ mu _ {n} (t)}

{\ displaystyle \ phi _ {n} (x) = (1-x / n) ^ {n} \ mathbb {1} _ {[0, n]} (x)}

e $μ n$ è la misura avente per densità (rispetto alla misura di Lebesgue ) la funzione positiva . $\ R_ +$ ${\ displaystyle t \ mapsto {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {(n-1)!}} (n / t) ^ {n} f ^ {(n + 1)} (n / t) {\ frac {1} {t ^ {2}}}}$

Dimostrazione

Per tutti gli $n > 0$ , con una diminuzione di , ${\ displaystyle (-1) ^ {n} f ^ {(n)} = \ sinistra | f ^ {(n)} \ destra |}$

{\ displaystyle \ forall x> 0 \ quad \ left | f ^ {(n)} (x) \ right | \ leqslant {\ frac {2} {x}} \ int _ {x / 2} ^ {x} (-1) ^ {n} f ^ {(n)} (y) \, \ mathrm {d} y = {\ frac {2} {x}} \ left | f ^ {(n-1)} ( x) -f ^ {(n-1)} (x / 2) \ right |}

In particolare (per $n = 1$ ) quindi (per induzione) ${\ Displaystyle \ left | f '(x) \ right | = _ {x \ to + \ infty} {\ frac {2} {x}} o (1) = o (1 / x)}$

{\ displaystyle \ forall n> 0 \ quad \ left | {f ^ {(n)} (x)} \ right | = _ {x \ to + \ infty} o (1 / x ^ {n})}

Inoltre, per ogni $x , a > 0$ , secondo la formula di Taylor con resto integrale ,

{\ Displaystyle f (x) = f (a) + {\ frac {f '(a)} {1!}} (xa) + {\ frac {f ^ {(2)} (a)} {2! }} (xa) ^ {2} + \ cdots + {\ frac {f ^ {(n)} (a)} {n!}} (xa) ^ {n} + \ int _ {a} ^ {x } {\ frac {f ^ {(n + 1)} (y)} {n!}} (xt) ^ {n} \, \ mathrm {d} y}

Abbiamo dedurre da questi due punti (da locazione $deve$ a $+ \infty$ poi fare il cambio di variabili ): ${\ displaystyle y = n / t}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ forall x> 0 \ quad f (x) -f (+ \ infty) & = {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {n!}} \ int _ {x} ^ {\ infty} (yx) ^ {n} f ^ {(n + 1)} (y) \, \ mathrm {d} y \\ & = {\ frac {(-1) ^ {n-1}} {(n-1)!}} \ int _ {0} ^ {n / x} \ left (1 - {\ frac {xt} {n}} \ right) ^ {n} ( n / t) ^ {n} f ^ {(n + 1)} (n / t) {\ frac {1} {t ^ {2}}} \, \ mathrm {d} t. \ end {allineato} }}

Abbiamo quindi:

{\ displaystyle \ forall x> 0 \ quad \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad f (x) -f (+ \ infty) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ phi _ {n } (xt) \, \ mathrm {d} \ mu _ {n} (t)}

Per convergenza monotona , questa uguaglianza è ancora vera per $x = 0$ . In altre parole :

{\ displaystyle f (0) -f (+ \ infty) = \ mu _ {n} (\ mathbb {R} _ {+})}

Tutti i $μ n$ hanno quindi per norma nello spazio misure finite di Radon su , spazio che è il duale dello spazio delle funzioni continue su cui tende da 0 all'infinito, provvisto della norma uniforme. ${\ displaystyle R = f (0) -f (+ \ infty)}$ $\ R_ +$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {0}}$ $\ R_ +$

In questo duale dotato della topologia debole * , la palla chiusa con centro $0$ e raggio $R$ è sequenzialmente compatta , perché è sia compatta ( teorema di Banach-Alaoglu ) che metrizzabile (perché è separabile ). Dalla sequenza $($ $μ$ $n$ $)$ , possiamo quindi estrarre una convergenti sottosequenza . Nota il suo limite. Allora, $f$ è la trasformata di Laplace della misura $B '$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ {0}}$ ${\ displaystyle (\ mu _ {n_ {k}})}$ $\ mu$

{\ displaystyle \ nu = f (+ \ infty) \ delta _ {0} + \ mu}

dove è la misura di Dirac a $0$ . $\ delta _ {0}$

Dimostrazione

Dal momento che * - debolmente, ${\ displaystyle \ mu _ {n_ {k}} \ to \ mu}$ ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ operatorname {e} ^ {- xt} \, \ mathrm {d} \ mu _ {n_ {k}} (t) \ to \ int _ {0 } ^ {\ infty} \ operatorname {e} ^ {- xt} \, \ mathrm {d} \ mu (t)}$ .
Poiché la convergenza dei versi ${\ displaystyle \ phi _ {n} (u)}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {e} ^ {- u}}$ è uniforme $\ R_ +$ , ${\ displaystyle \ left | \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left (\ phi _ {n} (xt) - \ operatorname {e} ^ {- xt} \ right) \, \ mathrm {d} \ mu _ {n} (t) \ right | \ leq R \ left \ | u \ mapsto \ phi _ {n} (u) - \ operatorname {e} ^ {- u} \ right \ | _ {\ infty } \ a 0}$ .

Perciò,

{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} _ {+} \ quad f (x) = f (+ \ infty) + \ int _ {0} ^ {\ infty} \ operatorname {e} ^ {- xt} \, \ mathrm {d} \ mu (t) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ operatorname {e} ^ {- xt} \, \ mathrm {d} \ left (f (+ \ infty) \ delta _ {0} + \ mu \ right) (t)}

Se abbandoniamo l'assunzione di giusta continuità a zero per $f$ , l'equivalenza rimane vera, ma solo su $] 0, + \infty [$ , e per una misura di Borel positiva non necessariamente finita ma tale che tutte le misure siano finite. $\nudo$ ${\ Displaystyle \ operatorname {e} ^ {- at} \ mathrm {d} \ nu (t), a> 0}$

Dimostrazione

Per ogni reale , la funzione soddisfa le ipotesi del teorema dimostrate sopra; annotare la misura associata: $a> 0$ ${\ displaystyle x \ mapsto f (a + x)}$ ${\ displaystyle \ nu _ {a}}$

{\ displaystyle \ forall x \ geqslant 0 \ quad f (a + x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ operatorname {e} ^ {- xt} \, \ mathrm {d} \ nu _ { a)}

Per , quindi abbiamo: ${\ displaystyle 0 <\ alpha <\ beta}$

{\ displaystyle \ forall x \ geqslant 0 \ quad \ int _ {0} ^ {\ infty} \ operatorname {e} ^ {- xt} \, \ mathrm {d} \ nu _ {\ beta} (t) = f (\ beta + x) = f (\ alpha + \ beta - \ alpha + x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ nome operatore {e} ^ {- (\ beta - \ alpha + x) t} \, \ mathrm {d} \ nu _ {\ alpha} (t)}

Poiché la trasformazione di Laplace delle misure è iniettiva, deduciamo che per tutti i numeri reali , ammette per densità rispetto a . Quindi esiste una misura Borel (unica) di densità rispetto a tutto , quindi ${\ displaystyle \ alpha, \ beta> 0}$ ${\ displaystyle \ nu _ {\ beta}}$ ${\ Displaystyle t \ mapsto \ operatorname {e} ^ {- (\ beta - \ alpha) t}}$ ${\ displaystyle \ nu _ {\ alpha}}$ $\nudo$ ${\ Displaystyle t \ mapsto \ operatorname {e} ^ {at}}$ ${\ displaystyle \ nu _ {a}}$ $a> 0$

{\ displaystyle \ forall x> 0 \ quad f (x) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ operatorname {e} ^ {- 0t} \, \ mathrm {d} \ nu _ {x} ( t) = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ operatorname {e} ^ {- xt} \, \ mathrm {d} \ nu (t)}

Si noti che la dimostrazione di cui sopra dimostra inoltre che i valori di una funzione totalmente monotona su $[ a , + \infty [$ per $a > 0$ determinano la funzione su tutti $] 0, + \infty [$ . Questa rigidità è da confrontare con l' analiticità di funzioni assolutamente monotone.

Possiamo dare un'altra interpretazione al teorema, almeno nel caso in cui la funzione è continua a destra a $0$ : possiamo quindi mostrare che l'insieme delle funzioni totalmente monotone tale che $f (0) = 1$ è convesso (è banale ) e compatto per la topologia della convergenza semplice. Gli esponenziali con esponente negativo sono i punti estremi di questo compatto convesso, e il teorema di Bernstein traduce la rappresentazione integrale di Choquet. I dettagli possono essere trovati nel libro di Peter Lax .

Note e riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Il teorema di Bernstein sulle funzioni monotone " ( vedi la lista degli autori ) .

Appunti

Una funzione $f$ è quindi completamente monotona se e solo se la funzione è "assolutamente monotona", cioè. ha tutti i suoi derivati positivi ( Widder 1946 , p. 145). ${\ displaystyle x \ mapsto f (-x)}$
In altre parole: una funzione di distribuzione di una misura Borel positiva (rispettivamente positiva e finita ) su $[0, + \infty [$ .
L'integrale è un integrale di Stieltjes ( $g$ è quindi crescente con variazione limitata ).
Questo è un esercizio classico; la dimostrazione più veloce usa il primo teorema di Dini , mostrando prima che la sequenza è in aumento.

Riferimenti

SN Bernstein , "On Absolutely Monotonic Functions", in Acta Math. , 1928, p. 1-66 ( leggi in linea ).
(a) David Vernon Widder , The Laplace Transform , PUP ,1946, 2 ° ed. ( 1 st ed. 1941) ( leggi in linea ) , p. 160-163, th. 12.a e 12.b.
Christiane Cocozza-Thivent, Processi stocastici e affidabilità del sistema , Springer ,1997( leggi in linea ) , p. 397.
(a) Marcelo G. Cruz, Gareth W. Peters e Pavel V. Shevchenko, Fundamental Aspects of Operational Risk and Insurance Analytics , Wiley ,2015( leggi in linea ) , p. 439.
() Peter D. Lax, Analisi funzionale , Wiley,2002( leggi in linea ) , p. 137.

link esterno

" Un problema di concorrenza (1998, MP, math1) su funzioni assolutamente monotone e completamente monotone " , su concours- centrale - supelec .fr e Michel Stainer, "il suo corretto "
(it) Djalil Chafaï, " Il teorema di Bernstein sulle funzioni completamente monotone " ,2013
(en) Eric W. Weisstein , " Completely Monotonic Function " , su MathWorld