Preordinare

In matematica , un preordine è una relazione binaria riflessiva e transitiva .

Cioè, se $E$ è un insieme , una relazione binaria su $E$ è un preordine quando: ${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$

${\ displaystyle \ forall x \ in E \ quad x {\ mathcal {R}} x}$ (riflessività);
${\ displaystyle \ forall (x, y, z) \ in E ^ {3}, (x {\ mathcal {R}} y \ land y {\ mathcal {R}} z) \ Rightarrow x {\ mathcal {R }} z}$ (transitività).

Esempi

Gli ordini sono i preordini antisimmetrici .
Le relazioni di equivalenza sono i preordini simmetrici .
In un anello commutativo , la relazione di " divisione " è una relazione di preordine. In generale, non è una relazione d'ordine perché non è antisimmetrica (ad esempio nell'insieme degli interi relativi, 1 divide –1 e –1 divide 1 mentre 1 e –1 sono diversi).
Sui vertici di un grafo orientato , la relazione “da cui accedere” è un preordine (è infatti la chiusura riflessiva e transitiva del grafo). Se il grafico è senza ciclo , questa relazione diventa un ordine.
Tra le norme sullo stesso spazio vettoriale reale, la relazione " è più sottile di " è un preordine.
Tra le funzioni reali di una variabile reale , il dominio è un preordine.
Sul set di dischi dell'aereo, la relazione "ha un'area al massimo uguale a quella di" è un preordine. Non è una relazione d'ordine perché non è antisimmetrica (due dischi diversi possono avere la stessa area). Questa stessa relazione, sull'insieme dei dischi chiusi (o quella dei dischi aperti) con centro fisso, è una relazione d'ordine.

Complementi

Se $( E , ℛ)$ e $( F , ?)$ sono due insiemi preordinati, una mappa $f$ da $E$ a $F$ si dice crescente se $x ℛ y \Rightarrow f ( x ) ? f ( y )$ .

Se $E$ è un insieme, $( F , ?)$ un insieme preordinato $ef$ una mappatura da $E$ a $F$ , la relazione $ℛ$ definita da $x ℛ y \Leftrightarrow f ( x ) ? f ( y )$ è un preordine su $E$ (cfr. Ultimo esempio sopra , dove $f$ , che a qualsiasi cerchio associa la sua area, ha valori in un insieme ordinato: i reali - o i reali positivi ).

Se $( E , ℛ)$ è un insieme preordinato, allora:

la relazione " $x ℛ y e non y ℛ x$ " è una relazione di ordine stretto ;
la relazione definita dalla ~ " $x ~ y se e solo se ( x ℛ y e y ℛ x )$ " è una relazione di equivalenza;
per due elementi X e Y dell'insieme quoziente di E per ~ , le due seguenti condizioni tornano allo stesso modo:
- per ogni elemento $x$ di $X$ e qualsiasi elemento $y$ di $Y$ , $x ℛ y$ ,
- esiste un elemento $x$ di $X$ e un elemento $y$ di $Y$ tali che $x ℛ y$ .
  Possiamo quindi definire una relazione d'ordine su questo quoziente $E / ~$ impostando: $X \leq Y$ se una delle condizioni precedenti è soddisfatta;
- se $F$ è un sottoinsieme di $E$ contenente esattamente un rappresentante di ciascuna classe di equivalenza , la restrizione $?$ da $ℛ$ a $F$ è un ordine e $( F , ?)$ è isomorfa a $( E / ~, \leq)$ (cfr. ultimo esempio sotto sopra ) .

Note e riferimenti

N. Bourbaki , Elementi di matematica : Teoria degli insiemi [ dettaglio delle edizioni ], Parigi, Masson, 1998, cap. III, § 1, n o 2, p. 2 e 5 , scritte "preorder" e "preordered".
Paul Ruff, "Rapporto d'ordine" Schede informative ai professori universitari , n . 15, 4 gennaio 1963.
Bourbaki 1998 , cap. III, § 1, n ° 5, p. 7 .
Antoine Rolland, Procedure di aggregazione delle preferenze ordinarie con punti di riferimento per il supporto decisionale , tesi di dottorato in informatica, Università Pierre-et-Marie-Curie , 2008.
Bourbaki 1998 , cap. III, § 1, n o 2, p. 3 .

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