Arco sinusale
Funzione arco seno
Rappresentazione grafica della funzione arcoseno.
| Valutazione |
arcsin(X){\ displaystyle \ arcsin (x)}
|
|---|
| Reciproco |
peccato(X){\ displaystyle \ sin (x)} sicuro [-π2,π2]{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}![{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54381f086ac9ffe8306d413f813abcb616e95dee)
|
|---|
| Derivato |
11-X2{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}
|
|---|
| Primitivi |
Xarcsin(X)+1-X2+VS{\ displaystyle x \ arcsin (x) + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C}
|
|---|
In matematica , l' arcoseno di un numero reale compreso (in senso lato) tra –1 e 1 è l'unica misura dell'angolo in radianti il cui seno è uguale a questo numero, e tra e .
-π2{\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}}}
π2{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}}}
La funzione che associa a qualsiasi numero reale compreso in senso lato tra –1 e 1 il valore del suo arco seno è annotata arcsin (Arcsin o Asin nella notazione francese, sin −1 , asin o asn nella notazione anglosassone). È quindi la reciproca biiezione della restrizione della funzione trigonometrica seno all'intervallo .
[-π2,π2]{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}
In un sistema di coordinate cartesiane ortonormale al piano, la curva rappresentativa della funzione arco seno è ottenuta dalla curva rappresentativa della restrizione della funzione seno all'intervallo dalla riflessione dell'asse la linea di equazione y = x .
[-π2,π2]{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}
Derivato
Come derivato di una biiezione reciproca , l'arcina è differenziabile su ] –1, 1 [ e soddisfa
arcsin′X=11-X2{\ displaystyle \ arcsin 'x = {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}
.
Questa formula è ottenuta grazie al teorema sulla derivata di una biiezione reciproca e alla relazione
cos(arcsinX)=1-X2{\ displaystyle \ cos (\ arcsin x) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}
.
Se ,
|z|≤1{\ displaystyle | z | \ leq 1}
arcsinz=z+12⋅z33+1⋅32⋅4⋅z55+1⋅3⋅52⋅4⋅6⋅z77+...=∑non=0∞(2non-1)!!(2non)!!⋅z2non+12non+1=∑non=0∞(2nonnon)z2non+14non(2non+1).{\ displaystyle {\ begin {align} \ arcsin z & = z + {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} \ cdot {\ frac {z ^ {5}} {5}} + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} \ cdot {\ frac {z ^ {7}} {7}} + \ dots \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2n-1) !!} {(2n) !!}} \ cdot {\ frac {z ^ {2n + 1}} {2n + 1}} \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {{\ binom {2n } {n}} z ^ {2n + 1}} {4 ^ {n} (2n + 1)}}. \ end {allineato}}}
(Vedi anche Funzione ipergeometrica # Casi speciali .)
Dimostrazione
Lo sviluppo del derivato è:
arcsin′(z)=(1-z2)-12=1+(-12)(-z2)+(-12)(-32)2(-z2)2+(-12)(-32)(-52)2⋅3(-z2)3+⋯=1+12z2+1⋅32⋅4z4+1⋅3⋅52⋅4⋅6z6+...,{\ displaystyle {\ begin {align} \ arcsin '(z) & = (1-z ^ {2}) ^ {- {\ frac {1} {2}}} \\ & = 1+ \ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) (- z ^ {2}) + {\ frac {\ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) \ left (- {\ frac {3} {2}} \ right)} {2}} (- z ^ {2}) ^ {2} + {\ frac {\ left (- {\ frac {1} {2}} \ right) \ sinistra (- {\ frac {3} {2}} \ right) \ left (- {\ frac {5} {2}} \ right)} {2 \ cdot 3}} (- z ^ {2}) ^ {3} + \ cdots \\ & = 1 + {\ frac {1} {2}} z ^ {2} + {\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4}} z ^ {4} + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} z ^ {6} + \ punti, \ end {allineato}}}
da qui il risultato, “ integrando ” termine per termine .
Forma integrale indefinita
Questa funzione può essere scritta sotto forma di integrale indefinito :
arcsinX=∫0X11-t2dt{\ displaystyle \ arcsin x = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {\ sqrt {1-t ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} t}
.
Primitivi
Le primitive dell'arco sinusoidale si ottengono per integrazione per parti :
∫arcsinXdX=XarcsinX+1-X2+VS{\ displaystyle \ int \ arcsin x \, \ mathrm {d} x = x \ arcsin x + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C}
.
Relazione tra arcoseno e arcoseno
Per qualsiasi x reale compreso tra –1 e 1 :
arccosX+arcsinX=π2{\ displaystyle \ arccos x + \ arcsin x = {\ frac {\ pi} {2}}}
.
Forma logaritmica
Possiamo esprimere la funzione arco seno con un logaritmo complesso :
arcsinX=-ioln(ioX+1-X2){\ displaystyle \ arcsin x = - {\ rm {i}} \ ln \ left ({\ rm {i}} x + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ right)}
.
Riferimento
-
Notazione dal programma di matematica in CPGE , p. 10 .
Vedi anche
Articoli Correlati
link esterno
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">