In matematica , uno spazio di Eilenberg-MacLane è uno spazio topologico avente un singolo gruppo di omotopia non banale. Questo tipo di spazio gioca un ruolo di componente elementare nella teoria dell'omotopia , poiché gode di una forma di unicità e interviene nei processi di ricostruzione di spazi più complessi (si tratta quindi delle torri Postnikov. ).
Gli spazi Eilenberg-MacLane sono importanti in molti contesti di topologia algebrica , che consente di calcolare gruppi di omotopia di sfere e definire operazioni coomologiche (in) . Prendono il nome da Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane , che li introdussero alla fine degli anni '40.
Lasciate G sia un gruppo e n un strettamente positivo intero . Uno spazio connesso X è chiamato spazio Eilenberg-MacLane di tipo K ( G , n ) se il suo n- esimo gruppo di omotopia π n ( X ) è isomorfo a G e se tutti gli altri gruppi di omotopia sono banali . Se n > 1, G deve essere abeliano . Di conseguenza, c'è sempre un complesso CW di tipo K ( G , n ). È unico fino a una bassa omotopia di equivalenza , motivo per cui ogni spazio di questo tipo è semplicemente indicato con K ( G , n ).
Altri esempi possono essere dedotti da questo utilizzando la proprietà elementare: K ( G , n ) × K ( H , n ) = K ( G × H , n ).
Possiamo costruire un K ( G , n ) uno stadio dopo l'altro, come un CW complesso, iniziando con un mazzo di n- sfere , una per ogni generatore del gruppo G , quindi incollando le celle insieme passo dopo passo, in ogni dimensione , per uccidere l'omotopia in eccesso.
I gruppi di coomologia di K ( G , 1) coincidono con quelli del G gruppo .
Per gruppo abeliano G , il K ( G , n ) sono spazi (en) rappresentazione delle cohomology singolari coefficienti in G . Infatti, tramite
l'elemento u ∈ H n ( K ( G , n ); G ) corrispondente all'identità di G fornisce per funtorialità , per ogni complesso CW X , una biiezione naturale f ↦ f * u , dell'insieme [ X , K ( G , n )] applicazione continua classe omotopia X in K ( G , n ) in n ° gruppo di singolare cohomology H n ( X ; G ) di X .
Un'altra versione di questo risultato stabilisce una corrispondenza biunivoca con il n ° cohomology gruppo di Čech per X paracompatto e G numerabile , o X paracompatto e compatto generato e G arbitrario. Un ulteriore risultato stabilisce una corrispondenza biunivoca con il n ° " numerable " gruppo coomologia di Cech per arbitrario X e G (abeliano).
Ogni complesso CW ha una torre Postnikov , cioè è debolmente omotopicamente equivalente al limite proiettivo di una serie di fibrazioni le cui fibre sono spazi di Eilenberg-MacLane.
Un metodo dovuto a Jean-Pierre Serre consente, in teoria, di calcolare i gruppi di omotopia di qualsiasi spazio utilizzando una sequenza spettrale per tali fibrazioni.
I gruppi di coomologia degli spazi di Eilenberg-MacLane possono essere utilizzati per classificare tutte le operazioni coomologiche.
Spazi di Moore (in) , analogo degli spazi di Eilenberg-MacLane in omologia
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