Gruppo gratuito
Nella teoria dei gruppi , il gruppo libero su un insieme S è il gruppo F contenente S e caratterizzato dalla seguente proprietà universale : per ogni gruppo G e qualsiasi mappa f : S → G , esiste un unico morfismo di gruppi da F a G che si estende f .
O ancora, si dice che un gruppo G sia libero su un sottoinsieme S di G se ogni elemento di G è scritto in modo univoco come prodotto ridotto di elementi di S e inverse di elementi di S ( significato ridotto : senza occorrenza di un sottoprodotto della forma xx −1 ). Un tale gruppo è unico tranne che per l'isomorfismo che giustifica il qualificatore le nella definizione. In generale, sarà indicato con F S o L ( S ). Intuitivamente, F S è il gruppo generato da S , senza relazioni tra gli elementi di S diverse da quelle imposte dalla struttura del gruppo.
Storia
Walther von Dyck studiò nel 1882 il concetto di gruppo libero, senza dargli un nome, nel suo articolo Gruppentheoretische Studien (Studi sulla teoria dei gruppi) pubblicato su Mathematische Annalen . Il termine gruppo libero è stato introdotto nel 1924 da Jakob Nielsen , che ha definito le trasformazioni (en) che generano il gruppo di automorfismi di questo gruppo (en) .
Costruzione
Sia S ' un insieme equipotente a S e disgiunto da S , dotato di biiezione da S a S'. Per ogni elemento s di S , indichiamo con s ' l'elemento corrispondente in S'.
Indichiamo con M l' insieme di parole sull'unione di S e S ' , vale a dire le stringhe finite di caratteri costituite da elementi di S e S'. Si dirà che due di queste catene sono equivalenti se possiamo passare da una all'altra rimuovendo o aggiungendo, in qualsiasi posizione, catene della forma ss o s. Ciò definisce un rapporto di equivalenza R su M . Definiamo F S come l'insieme di modulo R classi di equivalenza . Identificare ogni elemento s di S con la sua classe F S per l'inclusione S ⊂ F S .
La concatenazione di due parole definisce una legge su M preservata per equivalenza. Passando al quoziente, si ottiene una legge di gruppo su E S . L'elemento neutro è la classe della parola vuota, e l'inverso della classe di s 1 s 2 ... s n è la classe di s ' n ... s' 2 s ' 1 , e ogni classe contiene un rappresentante canonico , di minimo lunghezza: una parola "ridotta", vale a dire che non contiene alcuna sottoparola della forma ss o s.
Verifica della proprietà universale : Se G è un gruppo, qualsiasi insieme di mappe f : S → G si estende in un morfismo di monoidi φ: M → G definito da φ ( s 1 s 2 … s n ) = f ( s 1 ) f ( s 2 )… f ( s n ). Questo morfismo è costante sulle classi di equivalenza, e quindi induce un morfismo di gruppi φ: F S → G che estende f . Inoltre, φ è l'unico morfismo dei gruppi F S → G che estende f , perché qualsiasi elemento di F S può essere scritto come la classe di una parola.
Prime proprietà
- Se S e T hanno la stessa cardinalità , allora F S e F T sono isomorfi (per funtorialità di S ↦ F S ). Viceversa, se F S e F T sono isomorfi, possiamo dimostrare che S e T hanno la stessa cardinalità (la cardinalità di S è infatti il rango del gruppo F S ). Inoltre, se S è infinito, F S ha la stessa dimensione di S e S è finito o no, tutti i morfismi F S in ℤ / 2ℤ anche cardinale che tutte le parti della S .
- Qualsiasi gruppo generato da una porzione S è un quoziente del gruppo libero F S su S . In particolare, qualsiasi gruppo è il quoziente di un gruppo libero, da qui la nozione di presentazione di un gruppo (per generatori e relazioni).
- L' oggetto libero del funtore a qualsiasi insieme S combina il gruppo libero F S è il sostituto lasciato dal funtore smemorato dai gruppi di categorie negli insiemi.
- Se S ha una cardinalità maggiore o uguale a due, F S è non commutativa. Infatti, per ogni x , y ∈ S distinto, xy ≠ yx per unicità della scrittura.
Esempi
- Il gruppo libero sull'insieme vuoto è il gruppo banale e il gruppo libero su un singleton è isomorfo a ℤ.
- Sia n un numero naturale. Il gruppo fondamentale del piano privato di n punti è un gruppo libero su un insieme di cardinali n .
Sottogruppi di un gruppo libero
- Secondo il teorema Nielsen-Schreier , ogni sottogruppo di un gruppo libero F S è un gruppo libero F T , ma il cardinale di T non è necessariamente inferiore o uguale a quella del S . Ad esempio, nel gruppo libero F { a , b } con due generatori, il sottogruppo generato da a n ba –n (per tutti gli interi n ) non ammette alcun sistema finito di generatori: è un gruppo libero su un numerabile infinità di generatori.
- Il gruppo derivato da F { a , b } è anche un gruppo libero su un'infinità numerabile di generatori: i commutatori [ a m , b n ] per tutti gli interi diversi da zero m , n .
Quindi, anche per i sottogruppi distinti, non abbiamo un analogo non abeliano del seguente risultato: qualsiasi sottogruppo di un gruppo abeliano libero è un gruppo abeliano libero il cui rango è un cardinale inferiore o uguale al rango del gruppo.
Riferimento
(it) Marshall Hall, Jr. , The Theory of Groups [ dettaglio delle edizioni ], capitolo 7