Omologia singolare

Nella topologia algebrica , l' omologia singolare è una costruzione che consente di associare uno spazio topologico X a una sequenza omologica di gruppi o moduli abeliani liberi . Questa associazione è un invariante topologico non completo, vale a dire che se due spazi sono omeomorfi allora hanno gli stessi gruppi di omologia singolare in ogni grado ma il contrario è falso.

Origine: integrazione di forme differenziali chiuse

Il teorema di Stokes applicato a forme chiuse fornisce integrali nulli. Tuttavia, si basa su un presupposto cruciale di compattezza. In presenza di fori nella varietà sottostante, possiamo costruire forme chiuse con integrali di bordo diversi da zero. Per esempio,

\ omega (x, y) = - {\ frac y {x ^ {2} + y ^ {2}}} {\ mathrm d} x + {\ frac x {x ^ {2} + y ^ {2} }} {\ mathrm d} y

Forma 1 definita su ℝ 2 \ {(0, 0)}. Controlliamo la sua chiusura:

{\ mathrm d} \ omega = \ left ({\ frac {\ partial \ omega _ {y}} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial \ omega _ {x}} {\ partial y}} \ right) {\ mathrm d} x \ wedge {\ mathrm d} y = \ left ({\ frac {y ^ {2} -x ^ {2}} {(x ^ {2} + y ^ {2} ) ^ {2}}} + {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}}} \ right) {\ mathrm d} x \ wedge {\ mathrm d} y = 0.

Tuttavia, la sua circolazione lungo il cerchio unitario è diversa da zero:

\ anint _ {{S ^ {1}}} \ omega = \ int _ {0} ^ {{2 \ pi}} \ omega (\ cos \ theta, \ sin \ theta) \ cdot (- \ sin \ theta , \ cos \ theta) ~ {\ mathrm d} \ theta = \ int _ {0} ^ {{2 \ pi}} 1 ~ {\ mathrm d} \ theta = 2 \ pi.

È infatti il buco all'origine che impedisce l'applicazione del teorema di Stokes. Se disegniamo il cerchio altrove nel piano, in modo che non circondi più l'origine, la circolazione di ω verrà annullata. I contorni di integrazione chiusi e le forme differenziali chiuse consentono quindi di misurare le caratteristiche topologiche del collettore sottostante.

Tuttavia, i contorni dell'integrazione hanno una struttura algebrica di un gruppo abeliano . Possiamo aggiungere due contorni; questo significa che integreremo le forme su ciascuna e che aggiungeremo i risultati. Vogliamo invece dichiarare nulli i contorni che integrano a 0 tutte le forme chiuse; dal teorema di Stokes, questi sono tutti contorni che racchiudono un compatto. Questi contorni chiamati bordi formano un sottogruppo , dal quale si può quoziente ottenere l'informazione topologica ricercata: i diversi modi di integrare le forme differenziali chiuse.

L'omologia singolare astrae questa misura algebrica dalle proprietà topologiche di uno spazio, rompendo le nozioni analitiche di varietà differenziale, integrale e forma differenziale.

Il complesso

Prima di definire l'omologia singolare di uno spazio topologico X , è necessario introdurre alcune definizioni.

Semplici

Chiamiamo livello simplex Δ n di dimensione n della busta convesso in ℝ n dei punti all'e 0 , e 1 , ..., e n , dove e 0 = (0, ..., 0) ed e i = (0, ..., 0 , 1, 0,…, 0), l'1 è posto nella i- esima posizione.

Un simplex singolare di dimensione n di X è una mappatura continua di Δ n in X . Così, un 0-simplex è identificato con un punto X . Un 1-simplex è un percorso che collega due punti (possibilmente confuso). Un 2-simplex è un triangolo riempito con X (o piuttosto un'applicazione del triangolo Δ 2 in X ).

Consideriamo quindi le somme formali di n -simplex, cioè le mappe a supporto finito, definite sull'insieme di n -simplexes di X e con valori interi. Si chiamano n - stringhe . Ad esempio, una stringa 0 viene scritta nella forma ∑ n P P dove n P è un numero intero relativo per ogni punto P di X , essendo la somma finita. L'insieme M n di n -catene costituisce un gruppo abeliano libero (o un modulo libero se ci poniamo su un anello diverso da ). $\ mathbb {Z}$

Per convenzione, M - 1 = 0 .

L'applicazione a bordo

Indichiamo con ∂ 0 la mappa (nulla) di M 0 in M –1 .

Se σ è un simplesso di X di dimensione n > 0, l' i -esima faccia orientata σ i di σ è la restrizione della mappa al simplex standard di dimensione n - 1, inviluppo convesso dei punti e 0 ,…, e i - 1 , e i + 1 ,…, e n . Il bordo ∂σ di σ è per definizione uguale a

\ partial \ sigma = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} (- 1) ^ {i} \ sigma _ {i}.

L'applicazione del bordo è estesa per linearità alle catene. Otteniamo quindi un morfismo ∂ n da M n in M n - 1 . Il bordo di una catena condivide analogie con la nozione di confine di una parte, ma quest'ultimo è una parte di X mentre il bordo è un oggetto puramente algebrico, su cui possiamo eseguire operazioni.

Ad esempio, il bordo di un punto di connessione 1-simplex P al punto Q è la catena 0 Q - P. Il bordo di un 2-simplex con vertici P, Q, R è 1-catena (QR) - (PR) + (PQ), annotando (QR) il percorso che collega Q a R, limitandosi al primo lato di Δ 2 . Nota che, se prendiamo il bordo di (QR) - (PR) + (PQ), otteniamo R - Q - R + P + Q - P = 0.

Più in generale, si mostra che la composizione successiva di due applicazioni di bordo è zero. In altre parole, ∂ n ∘ ∂ n + 1 = 0. Diciamo che la sequenza di gruppi o moduli M n , provvisti del bordo della mappa, forma un complesso di catene .

In generale, il complesso costruito è "molto grande" e incalcolabile nella pratica. Ad esempio, il primo gruppo di indice zero, è il gruppo formale sono, con coefficienti interi punti relativi della zona studiata: è un gruppo abeliano libero rango cardinale di X .

Cicli e bordi, gruppi di omologie

Poiché ∂ n ∘ ∂ n + 1 = 0, abbiamo Im (∂ n + 1 ) ⊂ Ker (∂ n ) . Gli elementi di Im (∂ n + 1 ) sono chiamati archi ; questi sono i canali che sono immagini di un altro canale dall'applicazione di bordo. Gli elementi di Ker (∂ n ) sono chiamati cicli ; queste sono le catene il cui bordo è zero. Ogni bordo è un ciclo.

Il gruppo quoziente o quoziente modulo Ker (∂ n ) / Im (∂ n + 1 ) è l' n -esimo gruppo H n di omologia singolare dello spazio topologico X . È un invariante topologico. Associamo quindi a qualsiasi spazio topologico una sequenza di gruppi abeliani.

Ad esempio per due punti P e Q, il ciclo P - Q sarà considerato zero nel gruppo di omologia zero H 0 se è un arco. Semplicemente è il bordo di un percorso da P a Q. Questo è il caso se P e Q sono nello stesso componente collegato da archi di X .

Risultati

Il calcolo effettivo dei gruppi di omologia H 0 , H 1 , H 2 , ... è in generale difficile. Diamo qui i risultati più classici. Versione semplificata dell'omologia singolare, l' omologia simpliciale permette di calcolare i gruppi di omologia di spazi topologici che ammettono una triangolazione .

Il punto : tutti i gruppi sono zero , tranne H 0 che è isomorfo a ℤ.
La palla B n di ℝ n : come il punto, poiché la palla è contrattile .
La sfera S n di ℝ n + 1 , per n ≥ 1: tutti i gruppi sono zero eccetto H 0 e H n che sono isomorfi a ℤ.
Il piano proiettivo reale P 2 (ℝ):
H 0 = ℤ
H 1 = ℤ / 2ℤ
H q = 0 se q ≥ 2.
Più in generale, il vero proiettivo spazio P n (ℝ):
H 0 = ℤ
H q = 0 se 1 < q ≤ n e q anche
H q = ℤ / 2ℤ se 1 ≤ q < n e q dispari
H n = ℤ se n dispari
H q = 0 se q > n .
Il complesso proiettivo spazio P n (ℂ):
H q = ℤ se 0 ≤ q ≤ n e q anche
H q = 0 altrimenti
Il toro T 2 :
H 0 = ℤ
H 1 = ℤ 2
H 2 = ℤ
H q = 0 se q > 2.

La tabella seguente fornisce i gruppi di omologia per alcuni spazi topologici usuali, con come coefficienti, interi, interi modulo 2 o reali.

Nome dello spazio topologico	Gruppi di omologia con coefficienti interi	Modulo 2 coefficienti interi gruppi di omologia	Gruppi di omologia con coefficienti reali
Spazio euclideo R n	H * ( R n , Z ) = 0	H * ( R n , Z 2 ) = 0	H * ( R n , R ) = 0
Sfera S n	H * ( S n , Z ) = Z [0] + Z [n]	H * ( S n , Z 2 ) = Z 2 [0] + Z 2 [n]	H * ( S n , R ) = R [0] + R [n]
Spazio proiettivo P n ( R )	H _p ( P n R , Z ) = Z se p = 0 o p = n dispari; Z / 2 Z se 0 <p <n + 1, 0 altrimenti	H * ( P n R , Z 2 ) = Z 2 [0] + Z 2 [1] + ... + Z 2 [n]

Proprietà

Omologia e connessione per archi

Se ( X k ) è la famiglia di componenti collegate da archi di X allora, per ogni q , H q ( X ) è la somma diretta di H q ( X k ). È quindi sufficiente cercare i gruppi di omologia degli spazi collegati da archi .

Nel caso particolare di uno spazio X non vuoto connesso da archi, il gruppo di omologia zero H 0 ( X ) è canonicamente isomorfo a ℤ (o ad A se consideriamo i moduli su un anello A ).

Dimostrazione

La forma lineare ε su Ker (∂ 0 ) = M 0 che in qualsiasi punto di X associa 1 è suriettiva (perché X è non vuoto) e svanisce su Im (∂ 1 ). Viceversa, qualsiasi elemento c = ∑ n P P del suo nucleo è uno spigolo perché fissando un punto Q di X e scegliendo, per ogni P , un cammino σ P da Q a P , troviamo ∂ 1 (∑ n P σ P ) = ∑ n P ( P - Q ) = c - ε ( c ) Q = c . Concludiamo con il teorema di fattorizzazione .

Nel caso generale, H 0 ( X ) è il gruppo libero abeliano (o modulo libero) sul set di archi di componenti collegati X .

Sia X uno spazio connesso da archi. Un ciclo 1 di X è una catena 1 con bordo zero. Intuitivamente, possiamo vederlo come un sentiero che si chiude, o un laccio . A proposito, un bordo 1 è il bordo di una catena 2. Se questo arco si divide in due cicli, questi due cicli saranno considerati uguali nel gruppo di omologia H 1 ( X ), essendo quest'ultimo il quoziente dell'insieme dei cicli per l'insieme degli archi. Resta inoltre inteso che è possibile deformare in modo continuo uno dei cicli nell'altro passando per la superficie di cui costituiscono i bordi. Riconosciamo quindi la nozione di omotopia . Non sorprende quindi che esista una relazione tra il primo gruppo di omotopia o gruppo di Poincaré fondamentale $π$ 1 ( X ) e il primo gruppo di omologia H 1 . Il teorema di Hurewicz afferma che l'applicazione, ad una classe di omotopia di imbardata associa la classe di omologia della catena 1 corrispondente a questa imbardata è un morfismo suriettivo $π$ 1 ( X ) su H 1 ( X ), il cui kernel è il sottogruppo degli interruttori di $π$ 1 ( X ). Ne consegue che H 1 ( X ) è l'abelianizzato di $π$ 1 ( X ), cioè isomorfo a $π$ 1 ( X ) dopo aver fatto la legge di composizione del gruppo commutativa. Ad esempio, il gruppo fondamentale di uno spazio X a forma di 8 è il gruppo libero generato da due elementi. Il suo gruppo di omologia H 1 è il gruppo abeliano libero generato da due elementi.

Due aree con lo stesso tipo di omotopia (per non parlare di due spazi omeomorfi) sono quasi isomorfe quindi hanno gli stessi gruppi di omologia ma il contrario non è vero: ad esempio, se G è un gruppo perfetto non banale , l'omologia dello spazio Eilenberg-MacLane K ( G , 1) è uguale a quello del punto, ma non il suo gruppo fondamentale.

Numeri di Betti e caratteristica di Eulero

L' n- esimo numero di Betti b n dello spazio X è il rango (en) del suo n- esimo gruppo di omologia H n . (Quando questo gruppo è di tipo finito , è il numero di generatori del gruppo abeliano libero ottenuto quoziente H n dal suo sottogruppo di torsione , costituito dai suoi elementi di ordine finito.)

Definiamo quindi la caratteristica di Eulero di X come uguale a:

\ chi (X) = \ sum _ {n} (- 1) ^ {n} b_ {n}

se questa somma ha un senso.

Nel caso di uno spazio X costruito da $un$ 0 punti, collegati da $un$ 1 percorsi, collegato da $un$ 2 facce, etc. (vedere " Omologia cellulare " e " Complesso CW " per una descrizione più completa) dimostriamo che:

\ chi (X) = \ sum _ {n} (- 1) ^ {n} a_ {n}.

Generalizzazioni

Infine, ricordiamo che i metodi ispirati dall'omologia singolare sono applicati alla geometria algebrica , nell'ambito delle teorie omotopiche dei diagrammi ( fr ) . Mirano a definire una coomologia motivica e hanno ripercussioni spettacolari in aritmetica .

Note e riferimenti

Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo intitolato “ Elenco dei gruppi di omologia ” (vedi elenco degli autori ) .

(it) Allen Hatcher , topologia algebrica , New York, CUP ,2001, 544 p. ( ISBN 978-0-521-79540-1 , leggi online ) , p. 109.

Vedi anche

Bibliografia

(en) Glen E. Bredon (en) , Topology and Geometry [ dettaglio dell'edizione ]
(en) Marvin Greenberg, Lezioni sulla topologia algebrica , WA Benjamin, New-York
(en) Edwin Spanier , Topologia algebrica , McGraw-Hill
Michel Zisman , Topologia algebrica elementare , Armand Colin ,1972