In matematica , chiamiamo geometria non euclidea una teoria geometrica che utilizza tutti gli assiomi e i postulati posti da Euclide negli Elementi , tranne il postulato dei paralleli .
Le diverse geometrie non euclidee nascono dal desiderio di provare il quinto postulato ( il postulato di Euclide) che sembrava insoddisfacente in quanto troppo complesso, e forse ridondante.
Negli Elementi di Euclide , il postulato assomiglia alla conclusione di un teorema , ma che non comporterebbe una dimostrazione :
Se una linea che cade su due rette rende gli angoli interni sullo stesso lato più piccoli di due diritti , questi diritti, estesi indefinitamente , incontreranno il lato in cui gli angoli sono più piccoli di due diritti.
che può essere inteso come:
Attraverso un punto al di fuori di una linea, passa sempre un parallelo a questa linea, e solo una.
Per diversi secoli, la geometria euclidea è stata utilizzata senza mettere in dubbio la sua validità. È stato anche a lungo considerato l'archetipo del ragionamento logico-deduttivo . Aveva il vantaggio di definire le proprietà intuitive degli oggetti geometrici in una rigorosa costruzione matematica.
Nel 1902, Henri Poincaré propose un modello semplice in cui il quinto postulato di Euclide non era valido. La linea è qui definita per estensione come la curva del percorso più breve che unisce due punti dello spazio considerato.
“Supponiamo un mondo racchiuso in una grande sfera e soggetto alle seguenti leggi: la temperatura non è uniforme lì; è massimo al centro, e diminuisce man mano che ci si allontana da esso, per ridursi allo zero assoluto quando si raggiunge la sfera in cui è racchiuso questo mondo. [...] Un oggetto in movimento diventerà quindi sempre più piccolo man mano che ci si avvicina alla sfera limite. Osserviamo innanzitutto che, se questo mondo è limitato dal punto di vista della nostra solita geometria, apparirà infinito ai suoi abitanti. Quando queste, infatti, vogliono avvicinarsi alla sfera limite, si raffreddano e diventano sempre più piccole. I passi che compiono diventano quindi sempre più piccoli, in modo che non possano mai raggiungere la sfera limite. "Capitolo 4" Lo spazio della geometria "
- Henri Poincaré , Scienza e ipotesi
Étienne Ghys commenta questo testo come segue:
“Gli esseri che abitano questo mondo non possono sapere che stanno diventando più piccoli perché se si misurano con un metro a nastro, anche il metro si rimpicciolisce. Sappiamo che stanno diventando più piccoli, ma hanno vite molto normali e molto coerenti. Se vogliono andare da un punto all'altro per il percorso più breve, pensiamo che tenderanno ad avvicinarsi al centro, perché i loro passi sono piuttosto più grandi verso il centro.
Quindi possiamo mostrare che il percorso più breve da un punto a un altro in questa geometria immaginaria è un arco di cerchio perpendicolare al cerchio limite. I loro diritti sono i nostri circoli. E vedi che nella loro geometria, l'assioma di Euclide non è soddisfatto. La linea rossa è parallela alla linea verde ma anche la linea blu è parallela (due linee che non si intersecano sono infatti parallele).
C'è un'infinità di paralleli che passano per un punto. E queste persone sono ragionevoli, non sanno che stanno diventando più piccole. Ma sono ragionevoli quanto noi, che probabilmente ignorano molte altre cose.
La morale di questa piccola storia di Poincaré è che possiamo benissimo immaginare molti mondi estremamente ragionevoli, ognuno con la propria geometria, ciascuno con la propria logica e ognuno dei quali può portarci una visione del nostro mondo concreto […].
Il matematico di oggi per risolvere un problema, per studiare una domanda, utilizzerà una geometria, prenderà la sua cassetta degli attrezzi e sceglierà la geometria più adatta per comprendere il problema studiato.
Ecco la frase di Poincaré: una geometria non può essere più vera di un'altra, può semplicemente essere più conveniente. "
- Étienne Ghys
Le geometrie n- dimensionali e le geometrie non euclidee sono due rami separati della geometria, che possono essere combinati, ma non necessariamente. La confusione è sorta nella letteratura popolare su queste due geometrie. Poiché la geometria euclidea era bidimensionale o tridimensionale, si è concluso erroneamente che le geometrie non euclidee avevano necessariamente dimensioni superiori.
La preistoria della geometria non euclidea è la lunga serie di ricerche e tentativi di chiarire il quinto postulato di Euclide (il postulato dei paralleli). Questo postulato - in particolare perché fa appello al concetto di infinito - è sempre sembrato un po '"a parte" e non scontato ai matematici, che hanno cercato di sostituirlo con un postulato più semplice e diretto, o di dimostrarlo da Euclide altri postulati. Così, matematici arabi e persiani, tra cui Thābit ibn Qurra , Alhazen e soprattutto Omar Khayyam, hanno studiato i collegamenti tra il postulato dei paralleli e la somma degli angoli dei quadrilateri e dei triangoli. Khayyam e offerte del XI ° secolo, un'alternativa al quinto postulato di Euclide, e tentativi di dimostrazione questo postulato per assurdo .
Nel XVII ° secolo, John Wallis e soprattutto Giovanni Girolamo Saccheri sono stati ispirati dal lavoro di questi matematici e ha cercato di dimostrare il postulato delle parallele. Saccheri ha dedicato tutta la sua vita a cercare di dimostrare il postulato delle parallele attraverso l'assurdità, senza riuscirci. Ma postulare "l'ipotesi dell'angolo acuto", che postula che la somma degli angoli di un quadrilatero sia inferiore a quattro angoli retti , non solo non porta a nessuna flagrante contraddizione matematica, ma scopre anche tutto. , teoremi coerenti e ricchi. Sta per scoprire una geometria non euclidea (ad esempio la geometria iperbolica, in cui lo spazio può ammettere un'infinità di paralleli a una data linea e passa per un punto al di fuori di quella linea), ma non accetterà mai questi nuovi teoremi che considera "ripugnante".
Riprendendo l'opera di Saccheri nel 1766, Johann Heinrich Lambert riprende l'ipotesi dell'angolo acuto, ma non conclude che ci sia una contraddizione. Si rende conto, almeno negli ultimi anni della sua vita, che deve essere possibile costruire geometrie coerenti, sia dall'ipotesi dell'angolo acuto (geometria iperbolica), sia da quella dell'angolo ottuso (geometria ellittica).
Lambert ottiene in particolare la formula , dove C è una costante, che dà l'area Δ di un triangolo i cui tre angoli sono α , β e γ in una geometria basata sull'angolo acuto (oggi chiamata geometria iperbolica ).
Gauss , già nel 1813, formulò la possibilità che esistessero altre geometrie oltre a quella di Euclide. Tuttavia, non ha mai osato pubblicare i risultati delle sue riflessioni in questa direzione "per paura delle grida dei Beoti", come ha scritto lui stesso.
Distinguiamo le geometrie con curvatura negativa, come quella di Lobachevsky (1829) e Bolyai (1832) (somma degli angoli di un triangolo inferiore a 180 °, numero infinito di possibili paralleli a una linea per punto, ad esempio geometria iperbolica) , geometrie di curvatura positiva come quella di Riemann (1867) (somma degli angoli di un triangolo maggiore di 180 °, parallelo ai poli, ad esempio geometria ellittica).
La geometria comunemente chiamata “geometria di Riemann” è uno spazio sferico tridimensionale, uno spazio finito eppure senza limiti, con curvatura positiva regolare, alternativa al postulato euclideo delle parallele. Riemann ideò anche una teoria estesa delle geometrie n- dimensionali non euclidee (conferenza del 1854).
L'idea di "geometria non euclidea" di solito implica l'idea di uno spazio curvo, ma la geometria di una curva di spazio è una rappresentazione della geometria di non euclidea dice Duncan Sommerville (in) in The Elements of Non-Euclidean Geometry ( Londra, 1914). Ci sono spazi tridimensionali non euclidei.
Lobachevsky , Klein e Poincaré hanno creato modelli geometrici in cui possiamo disegnare un'infinità di paralleli a una data linea e passando per lo stesso punto.
È notevole che solo il quinto postulato di Euclide sia stato revocato; le geometrie non euclidee rispettano anche tutte le altre definizioni euclidee. In particolare, una linea è sempre definita come la linea del percorso più breve che unisce due punti su una superficie. Esistono diversi modelli di geometria iperbolica bidimensionale: il disco di Poincaré , il semipiano di Poincaré , ecc.
Riemann ha introdotto un altro modello di geometria non euclidea , la geometria sferica (a volte chiamata geometria ellittica sferica ). In questo caso, per un punto al di fuori di una linea, non possiamo tracciare alcun parallelo (in altre parole, tutte le linee che passano per un punto al di fuori di una data linea sono secanti a questa linea, o anche tutte le linee nello spazio si intersecano tra loro) . Il modello è molto semplice:
Questa geometria dà una curvatura positiva dello spazio (la somma degli angoli di un triangolo è maggiore di due diritti, o la somma di due angoli successivi di un quadrilatero è maggiore di due diritti, oppure esiste un triangolo di cui tutti gli angoli sono retti ).
Jean-Pierre Petit , Le Géométricon , fumetto dalla collezione Les Aventures d ' Anselme Lanturlu , ed. Belin, ( ISBN 2-7011-0372-X )