In matematica, l' assioma di Pasch è un assioma della geometria , enunciato nel 1882, e volto ad evidenziare una proprietà implicitamente utilizzata fino ad allora, in particolare negli Elementi di Euclide .
L'assioma di Pasch è affermato come segue:
Siano A , B e C tre punti non allineati e ( d ) una linea del piano ABC che non passa per nessuno dei punti A , B e C ; se la linea ( d ) passa per uno dei punti del segmento AB , passa o per un punto del segmento BC o per un punto del segmento AC .Questo assioma è ripreso da David Hilbert nei suoi Fondamenti della geometria pubblicati nel 1899 e costituisce il quarto degli assiomi dell'ordine . Nella settima edizione del lavoro, viene utilizzato da Hilbert per provare le seguenti proprietà:
L'assioma di Pasch gioca un ruolo cruciale nella nozione di semipiano . Una linea d divide i punti del piano che non appartengono a questa linea in due parti chiamate semipiani e aventi le seguenti proprietà: qualsiasi punto A della prima parte determina con qualsiasi punto B della seconda parte un segmento [ AB ] che interseca la retta d , e due punti della stessa parte determinano un segmento che non interseca la retta d . Abbiamo bisogno dell'assioma di Pasch per mostrare che, se B e C sono nello stesso semipiano di A , allora [ BC ] non interseca la retta d .
L'assioma di Pasch colma alcune lacune nelle dimostrazioni di Euclide, ad esempio la prop.16 del libro I che afferma che, avendo esteso un lato di un triangolo, l'angolo esterno così formato è maggiore di ciascuno degli angoli all'interno del triangolo e opposto all'angolo esterno