Topologia di interi con spaziatura uniforme

Nella topologia , una branca della matematica, la topologia degli interi uniformemente distanziati è la topologia sull'insieme degli interi relativi ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, ...} generato dalla famiglia di tutte le progressioni aritmetiche . È un caso speciale di topologia profinita su un gruppo. Questo particolare spazio topologico fu introdotto nel 1955 da Furstenberg che lo usò per dimostrare l'infinità dei numeri primi .

Costruzione

Una progressione aritmetica associata a due interi a e k , con k ≠ 0, è l'insieme degli interi

{\ displaystyle a + k {\ mathbf {Z}}: = \ {a + k \ lambda: \ lambda \ in {\ mathbf {Z}} \}.}

Costruire una topologia sull'insieme Z significa scegliere quali sottoinsiemi di Z sono dichiarati aperti , in modo che siano soddisfatti i seguenti assiomi :

L' unione di open set è un open set.
L' intersezione finita di insiemi aperti è un insieme aperto.
ℤ e l' insieme vuoto ∅ sono insiemi aperti.

La famiglia di tutte le progressioni aritmetiche non soddisfa questi assiomi: l'unione delle progressioni aritmetiche non è una progressione aritmetica in generale, ad esempio {1, 5, 9,…} ∪ {2, 6, 10,…} = {1, 2, 5, 6, 9, 10,…} non è una progressione aritmetica. In modo che la topologia degli interi spaziati uniformemente sia definita dalla topologia generata dalla famiglia delle progressioni aritmetiche. E 'la topologia più piccola che contiene come insiemi aperti la famiglia di tutte le progressioni aritmetiche: vale a dire che le progressioni aritmetiche formano un prebase di questa topologia. Poiché l'intersezione di una raccolta finita di progressioni aritmetiche è anche una progressione aritmetica, la famiglia delle progressioni aritmetiche è anche una base per la topologia, il che significa che qualsiasi insieme aperto è un'unione di progressioni aritmetiche.

Proprietà

Tutti gli insiemi per tutti i numeri interi e sono aperti e chiusi . ${\ displaystyle a + k {\ mathbf {Z}}}$ $a, k$ $k \ neq 0$
Questa topologia è rigorosamente meno fine della solita topologia discreta .
ℤ fornito con questa topologia è completamente discontinuo e metrizzabile . Non è localmente compatto .

Note e riferimenti

(it) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Topologia di interi a spaziatura uniforme " ( vedere l'elenco degli autori ) .

(a) Lynn Arthur Steen e J. Arthur Seebach, Jr. , Controesempi in topologia , Dover ,1995, 244 p. ( ISBN 978-0-486-68735-3 , leggi online ) , p. 80-81
(in) Harry Furstenberg , " Infinitude On the premiums of " , American Mathematical Monthly , vol. 62, n o 5,1955, p. 353 ( DOI 10.2307 / 2307043 )
Steen e Seebach 1995 , p. 3
Per le proprietà generali delle basi e delle basi, vedere articoli correlati o (ad esempio ) John L. Kelley , General Topology , Springer , coll. " GTM " ( n o 27)1975, 298 p. ( ISBN 978-0-387-90125-1 , leggi online ) , p. 46-50