Progressione aritmetica

In matematica , una sequenza aritmetica è una sequenza (il più delle volte una sequenza di numeri reali ) in cui ogni termine consente di dedurre il successivo aggiungendo una costante chiamata ragione .

Questa definizione può essere scritta sotto forma di relazione di ricorrenza, per ogni indice $n$ :

u _ {{n + 1}} = u_ {n} + r

Questa relazione è caratteristica della progressione aritmetica o della crescita lineare . Descrive bene i fenomeni la cui variazione è costante nel tempo, come l'evoluzione di un conto corrente bancario a semplice interesse .

Le sequenze aritmetiche soddisfano una formula generale per il calcolo dei termini nonché per le serie associate.

Termine generale

Se ( E , +) è un gruppo - o anche solo un insieme dotato di legge associativa - e se è una successione aritmetica di E di ragione r allora, per ogni numero naturale $n$ : $(u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}$

u_ {n} = u_ {0} + nr.

Più in generale, se la successione è definita solo dall'indice $n ₀$ e se n ≥ p ≥ $n ₀$ allora: $u_ {n} = u_ {p} + (np) r.$

Una successione aritmetica è quindi interamente determinata dai dati del suo primo termine $u n ₀$ e della sua ragione r .

Al contrario, una sequenza definita dall'indice $n ₀$ da $u_ {n} = u _ {{n_ {0}}} + (n-n_ {0}) r$ è l'aritmetica della ragione r .

Nell'analisi reale o complessa , la sequenza aritmetica è quindi l'aspetto discreto della funzione affine .

Direzione di variazione e convergenza

Questo paragrafo riguarda le sequenze aritmetiche con valori reali e utilizza che i reali formano un campo di Archimede .

Se r > 0, la sequenza è crescente ; se r <0, la sequenza è decrescente e se r = 0 la sequenza è costante.

In generale (se r non è zero), la sequenza aritmetica è divergente. Tuttavia, ammette un limite :

se il motivo è positivo ( r > 0), il limite è $+ \infty$ ;
se il motivo è negativo ( r <0), il limite è $-\infty$ ;
se il motivo è zero ( r = 0), la successione è costante e quindi converge verso la costante.

Somma dei termini

Se E = ℝ o ℂ e se è una sequenza aritmetica di E allora, qualsiasi somma di termini consecutivi è uguale al numero di questi termini moltiplicato per la media dei due termini estremi. $(u_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}$

Per esempio :

u_0 + u_1 + \ cdots + u_n = (n + 1) {u_0 + u_n \ over 2} = (n + 1) {2u_0 + nr \ over 2}.

Il caso speciale $u ₀$ = 0 er = 1 è la formula che dà la somma di interi da 1 a n , di cui vengono presentate varie dimostrazioni nei due articoli dettagliati. Permette di mostrare il caso generale:

u_p + u_ {p + 1} + \ cdots + u_n = (n-p + 1) {u_p + u_n \ over 2} = (n-p + 1) {2u_p + (np) r \ over 2}.

Dimostrazione

Sia $q = n - p$ . Allora, ${\ displaystyle {\ begin {align} u_ {p} + u_ {p + 1} + \ cdots + u_ {n} & = u_ {p} + (u_ {p} + r) + \ cdots + (u_ { p} + rq) \\ & = (q + 1) u_ {p} + r (1+ \ cdots + q) \\ & = (q + 1) u_ {p} + r {\ frac {q (q +1)} {2}} \\ & = (q + 1) {\ frac {2u_ {p} + rq} {2}} \\ & = (q + 1) {u_ {p} + u_ {n } \ over 2} \\ & = {\ text {Numero di termini}} \ times {{\ text {first term}} + {\ text {last term}} \ over 2}. \ end {align}}}$

Questa formula è vera per qualsiasi sequenza con valori in un modulo su un anello di caratteristica diversa da 2.

Notevoli sequenze aritmetiche

Insieme di numeri naturali

L'insieme ℕ di interi naturali è una sequenza aritmetica infinita, di rapporto 1.

Sequenza aritmetica dei numeri primi

Nel 2004 , Ben Joseph Green e Terence Tao hanno dimostrato che esistevano sequenze aritmetiche di numeri primi di lunghezza arbitraria finita, senza tuttavia fornire alcun mezzo per trovarle.

Per esempio :

sequenza aritmetica di tre numeri primi della forma 3 + 2 n , con n = 0 a 2: 3, 5, 7;
sequenza aritmetica di cinque numeri primi della forma 5 + 6 n , con n = 0 a 4: 5, 11, 17, 23, 29;
sequenza aritmetica di sette numeri primi della forma 7 + 150 n , con n = da 0 a 6: 7, 157, 307, 457, 607, 757, 907.

Le più lunghe sequenze aritmetiche di numeri primi conosciute in 23 febbraio 2014 sono in numero di tre e hanno 26 elementi ciascuno.

Valutazione e riferimento

(in) " Premi nei record di progressione aritmetica " .

Vedi anche