Teorema del punto fisso di Schauder
Il teorema del punto fisso di Schauder è una generalizzazione del teorema del punto fisso di Brouwer a spazi vettoriali topologici di dimensione infinita. È stato dimostrato per la prima volta nel caso degli spazi di Banach da Juliusz Schauder . Interviene nella dimostrazione dell'esistenza di soluzioni di equazioni differenziali .
stati
Lasciate E un ℝ- spazio vettoriale topologico separare e C un convesso chiuso non vuoto E .
Teorema - Se T è una mappa continua da C a C tale che T ( C ) è relativamente compatto , allora T ha un punto fisso .
Dimostrare se
E è
localmente convesso
L' inviluppo chiuso convesso di T ( C ) è incluso in C e precompatto . Sostituendo C con questa parte, possiamo d'ora in avanti supporre che il convesso C sia compatto .
- Per tale C , mostriamo che per ogni V aperto convesso contenente 0, esiste un sottospazio vettoriale di dimensione finita G V e una mappa continua tale che: ioV:VS→VS∩GV{\ displaystyle I_ {V}: C \ to C \ cap G_ {V}}
∀X∈VS,ioV(X)∈X+V.{\ displaystyle \ forall x \ in C, I_ {V} (x) \ in x + V.}
Per compattezza, esiste una parte finita F V di C tale che VS⊂⋃f∈FV(f-V){\ Displaystyle C \ subset \ bigcup _ {f \ in F_ {V}} (fV)}
e una partizione di unità ( ϕ f ) f ∈ F V subordinata a questa copertura finita. Notando G V il sottospazio vettoriale generato da F V , definiamo quindi l'applicazione desiderata I V da:∀X∈VSioV(X)=∑f∈FVϕf(X)f.{\ displaystyle \ forall x \ in C \ quad I_ {V} (x) = \ sum _ {f \ in F_ {V}} \ phi _ {f} (x) f.}
- Poiché la dimensione di G V è finita e questa è una stabile compatta convessa non vuota di , il teorema del punto fisso di Brouwer assicura che contenga un vettore v V tale cheVS∩GV{\ displaystyle C \ cap G_ {V}}
ioV∘T{\ displaystyle I_ {V} \ circ T}
ioV(T(vV))=vV,{\ displaystyle I_ {V} (T (v_ {V})) = v_ {V},}
così tale chevV∈T(vV)+V.{\ displaystyle v_ {V} \ in T (v_ {V}) + V.}
-
Poiché C è compatto , il risultato generale ( v V ) ha un valore di adesione , che è poi un punto C fisso T .
Storia
Questo teorema fu dimostrato per la prima volta nel 1930 da Schauder in casi particolari, come quello di spazi vettoriali topologici metrizzabili completi . Ha ipotizzato il caso generale nello Scottish Book . Nel 1934, Tychonoff ha dimostrato il teorema nel caso in cui C è compatto e E è localmente convesso. Questa versione è nota come Teorema del punto fisso di Tychonoff . BV Singbal ha generalizzato questo risultato al caso in cui C non è compatto. Il caso generale (senza l'ipotesi della convessità locale) è stato finalmente dimostrato da Robert Cauty nel 2001.
Nel 1951, James Dugundji notò, come corollario del suo teorema di estensione , che la generalizzazione "ingenua" in dimensione infinita del teorema di punto fisso di Brouwer è falsa: in ogni spazio vettoriale normalizzato di dimensione infinita, esistono mappature continue senza punto. della sfera dell'unità chiusa ( non compatta ) in sé.
Teorema del punto fisso di Schaefer
Una conseguenza, chiamata teorema del punto fisso di Schaefer , è particolarmente utile per dimostrare l'esistenza di soluzioni di equazioni alle derivate parziali non lineari . Questo teorema di Schaefer è in effetti un caso speciale di un teorema più ampio scoperto in precedenza da Schauder e Leray . Si legge come segue:
Teorema
- Sia
T una mappa continua e compatta di uno
spazio separato
localmente convesso E in sé, tale che l'insieme
{X∈E∣∃λ∈]0,1[, X=λT(X)}{\ Displaystyle \ {x \ in E \ mid \ exist \ lambda \ in \ left] 0,1 \ right [, ~ x = \ lambda T (x) \}}![{\ Displaystyle \ {x \ in E \ mid \ exist \ lambda \ in \ left] 0,1 \ right [, ~ x = \ lambda T (x) \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081a86a5bb3ad9d247aa106445af1e8c8819d7db)
è
limitato . Quindi per tutto , c'è tale che .
λ∈[0,1]{\ displaystyle \ lambda \ in \ sinistra [0,1 \ destra]}
X∈E{\ displaystyle x \ in E}
X=λT(X){\ displaystyle x = \ lambda T (x)}
Note e riferimenti
(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in
inglese intitolato
" Teorema del punto fisso di Schauder " ( vedere l'elenco degli autori ) .
-
(de) J. Schauder, “ Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen ” , Studia matematica. , vol. 2,1930, p. 171-180 ( leggi in linea ).
-
Per una variante nel caso particolare in cui E è da Banach e C delimitata e simmetrica, cf. Scuole superiori normali , soggetto comune Parigi-Lione , 1998, dichiarazione e una soluzione, di M. Tibouchi .
-
(de) A. Tychonoff, " Ein Fixpunktsatz " , Math. Ann. , vol. 111,1935, p. 767–776 ( leggi in linea ).
-
(in) FF Bonsall, Lectures Some Fixed Point Theorems of Functional Analysis , Mumbai,1962, Appendice.
-
Robert Cauty, " Solution of the Schauder Fixed Point Problem ", Fund. Matematica. , vol. 170,2001, p. 231-246.
-
(in) J. Dugundji, " Un'estensione del teorema di Tietze " , Pacific J. Math. , vol. 1,1951, p. 353-367 ( leggi in linea ), Teorema 6.3.
-
(in) Jane Cronin , Fixed Points and Topological Degree in Nonlinear Analysis , AMS ,1964, 198 p. ( ISBN 978-0-8218-1511-3 , leggi online ) , p. 133.
-
Si dice che un'applicazione è compatta se l'immagine di una qualsiasi parte delimitata è relativamente compatta.
Articoli Correlati
Teorema del punto fisso di Kakutani
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">