Teorema di Blichfeldt

In matematica , il teorema di Blichfeldt è il seguente teorema , dimostrato nel 1914 da Hans Blichfeldt (de) :

Sia un numero intero $k> 0$ . In qualsiasi regione di ℝ n di volume strettamente maggiore di , e in qualsiasi compatto di volume , esistono punti distinti le cui differenze sono a coordinate intere . $K$ $K$ $k + 1$

Oppure, che è equivalente:

Sia una rete di ℝ n di covolume . In ogni regione di ℝ n di volume strettamente maggiore di , e in ogni compatto di volume , esistono punti distinti a cui appartengono le differenze . $\ Lambda$ $V$ ${\ displaystyle kV}$ ${\ displaystyle kV}$ $k + 1$ $\ Lambda$

Gran parte della geometria dei numeri risulta da questo, a partire dal teorema di Minkowski , che è sufficiente per dimostrare molto rapidamente. $k = 1$

Dimostrazioni

Consideriamo prima una "regione" di ℝ n (da prendere qui nel senso: parte Lebesgue - misurabile ), di "volume" (nel senso della misura di Lebesgue ) . $M$ ${\ displaystyle \ lambda _ {n} (M)> k}$

Le prime due delle tre prove seguenti sono basate sul seguente lemma (che, per , è immediato): $k = 1$

Principio dei cassetti per le misurazioni . - Sia uno spazio misurato e una famiglia più numerabile di parti misurabili di . ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu)}$ ${\ displaystyle (N _ {\ alpha})}$ $X$

Se poi c'è un punto che appartiene almeno a queste parti. ${\ Displaystyle \ sum _ {\ alpha} \ mu (N _ {\ alpha})> k \, \ mu (\ cup _ {\ alpha} N _ {\ alpha})}$ $X$ $k + 1$

La dimostrazione è semplice: annotando l' indicatrice di una qualsiasi parte di , si ha quindi la funzione strettamente maggiore di almeno un punto. ${\ displaystyle \ mathbb {1} _ {N}}$ $NON$ $X$ ${\ displaystyle \ int _ {\ cup _ {\ beta} N _ {\ beta}} \ sum _ {\ alpha} \ mathbb {1} _ {N _ {\ alpha}} \ \ mathrm {d} \ mu > \ int _ {\ cup _ {\ beta} N _ {\ beta}} k \ \ mathrm {d} \ mu}$ ${\ Displaystyle \ sum _ {\ alpha} \ mathbb {1} _ {N _ {\ alpha}}}$ $K$

Le traduzioni del dominio fondamentale da parte dei vettori con coordinate intere formano una partizione di ℝ n , quindi le loro intersezioni con formano una partizione di . Tuttavia, la misura di Lebesgue è invariante per traduzione . Perciò : ${\ displaystyle D: = \ sinistra [0,1 \ destra [^ {n}}$ $M$ $M$ ${\ Displaystyle \ sum _ {\ alpha \ in \ mathbb {Z} ^ {n}} \ lambda _ {n} (D \ cap (M- \ alpha)) = \ sum _ {\ alpha \ in \ mathbb { Z} ^ {n}} \ lambda _ {n} ((D + \ alpha) \ cap M) = \ lambda _ {n} (M)> k = k \, \ lambda _ {n} (D) \ geq k \, \ lambda _ {n} (\ cup _ {\ alpha \ in \ mathbb {Z} ^ {n}} (D \ cap (M- \ alpha))}$ .Secondo il principio dei cassetti, c'è quindi almeno un punto e vettori distinti come . I punti sono quindi distinti e le loro differenze sono effettivamente a coordinate intere, il che conclude la prima dimostrazione. ${\ displaystyle z \ in D}$ $k + 1$ ${\ displaystyle \ alpha _ {0}, \ dots, \ alpha _ {k} \ in \ mathbb {Z} ^ {n}}$ ${\ displaystyle z \ in M- \ alpha _ {i}}$ $k + 1$ ${\ displaystyle m_ {i}: = z + \ alpha _ {i} \ in M}$ ${\ displaystyle m_ {i} -m_ {j} = \ alpha _ {i} - \ alpha _ {j}}$

Supponiamo, senza perdita di generalità , che sia limitato . Consideriamo un intero m > 0, e ad ogni vettore α con coordinate intere comprese tra 0 e m , associamo il M + α tradotto . Per δ tale che M sia incluso in [–δ, δ] n , tutte queste traduzioni sono incluse nel blocco [–δ, m + δ] n , come illustrato nella figura. Per m abbastanza grande, abbiamo ( m + 1) n λ n ( M )> k ( m + 2δ) n , vale a dire: $M$ ${\ Displaystyle \ sum _ {\ alpha \ in \ {0, \ dots, m \} ^ {n}} \ lambda _ {n} (M + \ alpha)> k \, \ lambda _ {n} (\ sinistra [- \ delta, m + \ delta \ destra] ^ {n}) \ geq k \, \ lambda _ {n} \ sinistra (\ cup _ {\ alpha \ in \ {0, \ dots, m \} ^ {n}} (M + \ alpha) \ right)}$ .Concludiamo, come nella prima dimostrazione, grazie al principio dei cassetti.
Questa terza dimostrazione si applica solo se è cubabile . Per qualsiasi numero intero , indica il numero di punti a cui appartengono . Questo numero è equivalente a quando , quindi è strettamente maggiore di per sufficientemente grande. Tuttavia modulo , gli elementi delle sole classi di modulo . Uno di essi quindi contiene almeno i punti considerati, vale a dire che esiste in quanto contiene punti distinti di . Le differenze sono davvero in coordinate intere, il che conclude questa terza dimostrazione. $M$ $r> 0$ ${\ displaystyle N_ {r}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {r}} \ mathbb {Z} ^ {n}}$ $M$ ${\ displaystyle r ^ {n} \ lambda _ {n} (M)}$ $r \ a \ infty$ ${\ displaystyle r ^ {n} k}$ $r$ $\ mathbb {Z} ^ {n}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {r}} \ mathbb {Z} ^ {n}}$ ${\ displaystyle r ^ {n}}$ $k + 1$ ${\ displaystyle N_ {r}}$ ${\ displaystyle z \ in {\ frac {1} {r}} \ mathbb {Z} ^ {n}}$ ${\ displaystyle z + \ mathbb {Z} ^ {n}}$ $k + 1$ ${\ displaystyle m_ {0} = z + \ alpha _ {0}, \ dots, m_ {k} = z + \ alpha _ {k}}$ $M$ ${\ displaystyle m_ {i} -m_ {j} = \ alpha _ {i} - \ alpha _ {j}}$

Ora considera un volume compatto . Secondo quanto sopra, per qualsiasi numero intero , c'è una tupla come , . La sequenza (con valori nel prodotto compatto ) ha un valore di adesione , che è quindi anche un valore di adesione di . Perché , quindi , appartiene al chiuso . $M$ $K$ $t> 0$ $(k + 1)$ ${\ displaystyle m_ {t} = \ left (1 + {\ frac {1} {t}} \ right) p_ {t} \ in \ left (1 + {\ frac {1} {t}} \ right) M ^ {k + 1}}$ $io \ ne j$ ${\ displaystyle m_ {t, i} -m_ {t, j} \ in \ mathbb {Z} ^ {n} \ setminus \ {0 \}}$ ${\ displaystyle (p_ {t}) _ {t \ in \ mathbb {N} ^ {*}}}$ ${\ displaystyle M ^ {k + 1}}$ ${\ displaystyle p \ in M ^ {k + 1}}$ ${\ displaystyle (m_ {t}) _ {t \ in \ mathbb {N} ^ {*}}}$ $io \ ne j$ ${\ displaystyle p_ {i} -p_ {j}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n} \ setminus \ {0 \}}$

Note e riferimenti

(in) HF Blichfeldt, " Un nuovo principio nella geometria dei numeri, con alcune applicazioni " , Trans. Amaro. Matematica. Soc. , vol. 15,1914, p. 227-235 ( leggi in linea ).
(in) John WS Cassels , An Introduction to the Geometry of Numbers , Springer ,1971( 1 ° ed. 1959) ( linea di lettura ) , p. 69.
(en) Jesús A. De Loera, Raymond Hemmecke e Matthias Köppe, algebriche e idee geometrici nella teoria di Discrete Optimization , SIAM ,2013( leggi in linea ) , p. 41-42.
(a) Carl Douglas Olds , Anneli Lax e Giuliana Davidoff, The Geometry of Numbers , MAA ,2000, 174 p. ( leggi in linea ) , cap. 9 ("Un nuovo principio nella geometria dei numeri") , p. 119 : " Il merito di questa svolta va a Hans Frederik Blichfeldt, che nel 1914 pubblicò un teorema da cui segue gran parte della geometria dei numeri " .
(a) Pascale Gruber e Cornelis Gerrit Lekkerkerker , Geometry of Numbers , Wolters-Noordhoff e North-Holland,1987, 2 ° ed. ( 1 st ed. , 1969, 510 p.), 731 p. ( leggi in linea ) , p. 42-43.
(in) Pete L. Clark, " Geometria dei numeri con applicazioni alla teoria dei numeri " , dal 2011 al 2012 , Proposition 5.9, p. 30 .
Il caso del teorema di Blichfeldt è così dimostrato in (en) Carl Douglas Olds, Anneli Lax e Giuliana Davidoff, The Geometry of Numbers , MAA , ${\ displaystyle k = 1, n = 2}$ 2000, 174 p. ( leggi in linea ) , p. 69-73.
Gruber e Lekkerkerker 1987 , p. 48.
Cassels 1971 , p. 70.