Test di convergenza
In matematica , i test di convergenza sono metodi per testare la convergenza , la convergenza assoluta o la divergenza di una serie . Applicati a intere serie , forniscono mezzi per determinare il loro raggio di convergenza .
∑anon{\ displaystyle \ sum a_ {n}}![\ sum a_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2993f473f311220169d2c33a446013bc8d6ca2d7)
Elenco dei test
Limite di termini
Affinché la serie converga, è necessario che . Pertanto, se questo limite è indefinito o diverso da zero, la serie diverge.
limnon→∞anon=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = 0}![{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42e41a1150b9009115ca85dfbcda86b4586bcd12)
La condizione non è sufficiente e, se il limite dei termini è zero, non si può concludere nulla.
Test di convergenza assoluta
Ogni serie assolutamente convergente converge.
Test di confronto diretto
Se la serie è assolutamente convergente e per n sufficientemente grande, allora la serie converge assolutamente.
∑bnon{\ displaystyle \ sum b_ {n}}
|anon|≤|bnon|{\ displaystyle | a_ {n} | \ leq | b_ {n} |}
∑anon{\ displaystyle \ sum a_ {n}}![\ sum a_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2993f473f311220169d2c33a446013bc8d6ca2d7)
Applicazione a
suite equivalenti
Se e se , allora converge se e solo se converge.
anon,bnon>0{\ displaystyle a_ {n}, b_ {n}> 0}
anon∼bnon{\ displaystyle a_ {n} \ sim b_ {n}}
∑anon{\ displaystyle \ sum a_ {n}}
∑bnon{\ displaystyle \ sum b_ {n}}
D'Alembert e Cauchy dominano
La regola di D'Alembert
Questo test è noto anche come criterio di d'Alembert .
Supponiamo che ci sia tale
r{\ displaystyle r}
limnon→∞|anon+1anon|=r.{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | = r.}![{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | = r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09ad76fc956e34f6874910716e5da1e58587e2e6)
Se r <1, la serie è assolutamente convergente. Se r > 1, la serie diverge. Se r = 1, il test del rapporto è inconcludente e la serie può convergere o divergere.
La regola di Cauchy
Questo test è noto anche come test della radice n- esima .
È
r=lim supnon→∞|anon|non{\ displaystyle r = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}}}![{\ displaystyle r = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5519d513fafda63587f05002fddddc55f0cc8c1e)
,
dove indica il
limite superiore (che può essere ).
lim sup{\ displaystyle \ limsup}
+∞{\ displaystyle + \ infty}![+ \ infty](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bddbb0e4420a7e744cf71bd71216e11b0bf88831)
Se r <1, la serie converge. Se r > 1, la serie diverge. Se r = 1, il test è inconcludente e la serie può convergere o divergere.
Confronto delle due regole
La regola di Cauchy è più forte di quella di d'Alembert (perché la condizione richiesta è più debole): ogni volta che la regola di d'Alembert determina la convergenza o la divergenza di una serie infinita, anche la regola di Cauchy lo fa, ma il contrario è falso.
Ad esempio, per la serie
1+1+12+12+14+14+18+18+⋯=4{\ displaystyle 1 + 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {8}} + \ dots = 4}![{\ displaystyle 1 + 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {8}} + \ dots = 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5210f474ad50cc566f107cfa83b4842f1040a7b)
,
la convergenza può essere dedotta dalla regola di Cauchy, ma non da quella di d'Alembert.
Confronto di serie complete
La serie può essere paragonata a un integrale per stabilirne la convergenza o la divergenza. Sia una funzione monotona .
f:[1,∞[→R{\ displaystyle f: \ left [1, \ infty \ right [\ to \ mathbb {R}}![{\ displaystyle f: \ left [1, \ infty \ right [\ to \ mathbb {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a32cba4030b7e4e920d49df52d337b160f52462)
La serie converge se e solo se le integrale improprio converge.
∑f(non){\ Displaystyle \ sum f (n)}
∫1∞f(X)dX{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} f (x) \, \ mathrm {d} x}![{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} f (x) \, \ mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73d2c9ac702b4fe7069277db9b0b0580676c48f6)
Sì :
-
(anon){\ displaystyle (a_ {n})}
è una sequenza reale monotona di limite zero e
-
(bnon){\ displaystyle (b_ {n})}
è una sequenza di numeri complessi la cui sequenza di somme parziali è limitata ,(∑K≤nonbK)non{\ Displaystyle \ left (\ sum _ {k \ leq n} b_ {k} \ right) _ {n}}![{\ Displaystyle \ left (\ sum _ {k \ leq n} b_ {k} \ right) _ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aec1a06c96ef978c91c6323457b548998ba77ef0)
quindi converge.
∑anonbnon{\ displaystyle \ sum a_ {n} b_ {n}}![{\ displaystyle \ sum a_ {n} b_ {n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea375c732615d2361d7455eef810e742e1eb6686)
Questo teorema ha due importanti corollari :
Prova in serie alternativa
Sì :
-
(-1)nonanon{\ displaystyle (-1) ^ {n} a_ {n}}
è di segno costante,
-
limnon→∞anon=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = 0}
,
- il valore assoluto di ogni termine è inferiore al valore assoluto del termine precedente,
allora è convergente.
∑anon{\ displaystyle \ sum a_ {n}}![\ sum a_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2993f473f311220169d2c33a446013bc8d6ca2d7)
Questo test è noto anche come criterio di Leibniz .
Test di Abele
Sì :
-
(anon){\ displaystyle (a_ {n})}
è una sequenza monotona e limitata e
-
∑bnon{\ displaystyle \ sum b_ {n}}
è una serie convergente,
quindi è anche convergente.
∑anonbnon{\ displaystyle \ sum a_ {n} b_ {n}}![\ sum a_nb_n](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea375c732615d2361d7455eef810e742e1eb6686)
Sia una serie di reali strettamente positivi.
∑anon{\ displaystyle \ sum a_ {n}}![\ sum a_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2993f473f311220169d2c33a446013bc8d6ca2d7)
- Se per alcuni (indipendente da ), allora converge.anon+1anon≤1-bnon{\ displaystyle {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ leq 1 - {\ frac {b} {n}}}
b>1{\ displaystyle b> 1}
non{\ displaystyle n}
∑anon{\ displaystyle \ sum a_ {n}}![\ sum a_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2993f473f311220169d2c33a446013bc8d6ca2d7)
- Se , allora diverge.anon+1anon≥1-1non{\ displaystyle {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ geq 1 - {\ frac {1} {n}}}
∑anon{\ displaystyle \ sum a_ {n}}![\ sum a_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2993f473f311220169d2c33a446013bc8d6ca2d7)
Sia una serie di reali strettamente positivi.
∑anon{\ displaystyle \ sum a_ {n}}![\ sum a_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2993f473f311220169d2c33a446013bc8d6ca2d7)
- Se per alcuni (indipendente da ), allora converge.anonanon+1≥1+1non+bnonlnnon{\ displaystyle {\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} \ geq 1 + {\ frac {1} {n}} + {\ frac {b} {n \ ln n}}}
b>1{\ displaystyle b> 1}
non{\ displaystyle n}
∑anon{\ displaystyle \ sum a_ {n}}![\ sum a_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2993f473f311220169d2c33a446013bc8d6ca2d7)
- Se , allora diverge.anonanon+1≤1+1non+1nonlnnon{\ displaystyle {\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} \ leq 1 + {\ frac {1} {n}} + {\ frac {1} {n \ ln n}}}
∑anon{\ displaystyle \ sum a_ {n}}![\ sum a_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2993f473f311220169d2c33a446013bc8d6ca2d7)
Sia una sequenza positiva decrescente.
(anon){\ displaystyle (a_ {n})}![(anno)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18bc33c7c35d82b00f88d3a9103ed4738cde41f9)
Sii . Quindi . In particolare :
A=∑non≥1anon,A∗=∑K≥02Ka2K∈[0,+∞]{\ displaystyle A = \ sum _ {n \ geq 1} a_ {n}, A ^ {*} = \ sum _ {k \ geq 0} 2 ^ {k} a_ {2 ^ {k}} \ in \ sinistra [0, + \ infty \ right]}
A≤A∗≤2A{\ displaystyle A \ leq A ^ {*} \ leq 2A}![{\ displaystyle A \ leq A ^ {*} \ leq 2A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a9297a6c1897fc1a0ff4dd595ad0bfe2c80f78b)
∑anon{\ displaystyle \ sum a_ {n}}![\ sum a_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2993f473f311220169d2c33a446013bc8d6ca2d7)
converge se e solo se converge.
∑2Ka2K{\ displaystyle \ sum 2 ^ {k} a_ {2 ^ {k}}}![{\ displaystyle \ sum 2 ^ {k} a_ {2 ^ {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54f38827658afca4276b59167ae2a03d26fc0219)
Questo test è applicabile ad esempio allo studio di insiemi di serie di Riemann e Bertrand .
Convergenza del prodotto
Sia una serie di reali positivi. Allora il prodotto infinito converge se e solo se converge la serie . Allo stesso modo, se , allora il limite è diverso da zero se e solo se la serie converge.
(anon){\ displaystyle \ left (a_ {n} \ right)}
∏(1+anon){\ displaystyle \ prod (1 + a_ {n})}
∑anon{\ displaystyle \ sum a_ {n}}
0<anon<1{\ displaystyle 0 <a_ {n} <1}
∏(1-anon){\ displaystyle \ prod (1-a_ {n})}
∑anon{\ displaystyle \ sum a_ {n}}![\ sum a_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2993f473f311220169d2c33a446013bc8d6ca2d7)
Ciò può essere dimostrato prendendo il logaritmo del prodotto e utilizzando il test della serie equivalente ( vedi sopra ).
Articolo correlato
Teorema di Stolz-Cesàro
Riferimenti
(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in
inglese intitolato
" Test di convergenza " ( vedere l'elenco degli autori ) .
-
(in) Bert G. Wachsmuth , " MathCS.org - Real Analysis: Ratio Test " su www.mathcs.org .
-
(in) " Test CBR " .
-
Vedi questo esercizio corretto dalla lezione "Serie digitale" su Wikiversità .
-
(a) Jim Belk , " Convergence of Infinite Products " ,2008.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">