Prova di condensazione di Cauchy

In analisi matematica , il test di condensazione di Cauchy , dimostrato da Augustin Louis Cauchy , è un criterio di convergenza per le serie : per ogni sequenza reale positiva decrescente $( a n )$ , abbiamo

{\ displaystyle S: = \ sum _ {n \ geq 1} a_ {n} <+ \ infty {\ text {if e only if}} T: = \ sum _ {k \ geq 0} 2 ^ {k} a_ {2 ^ {k}} <+ \ infty}

e più precisamente

{\ displaystyle S \ leq T \ leq 2S}

Esempi di applicazioni

Per ogni $α$ reale positivo ,

la serie Riemann ${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 1} {\ frac {1} {n ^ {\ alpha}}}}$ ha lo stesso comportamento della sua "serie condensata" ${\ displaystyle \ sum _ {k \ geq 0} 2 ^ {k} {\ frac {1} {(2 ^ {k}) ^ {\ alpha}}} = \ sum _ {k \ geq 0} (2 ^ {1- \ alpha}) ^ {k}.}$ Quest'ultima è una serie geometrica , che converge se e solo se $α> 1$ .
Per $α = 1$ , è la dimostrazione di Oresme della divergenza della serie armonica ;
la serie Bertrand ${\ Displaystyle \ sum _ {n \ geq 2} {1 \ over n \, (\ ln n) ^ {\ alpha}}}$ converge se e solo se è "condensato" ${\ Displaystyle \ sum _ {k \ geq 1} {2 ^ {k} \ over 2 ^ {k} \, (\ ln (2 ^ {k})) ^ {\ alpha}} = \ sum _ {k \ geq 1} {1 \ over (k \ ln 2) ^ {\ alpha}}}$ converge, cioè (secondo lo studio della serie di Riemann) se $α> 1$ ;
è lo stesso per la serie ${\ Displaystyle \ sum _ {n \ geq 3} {1 \ over n \, \ ln n \, (\ ln \ ln n) ^ {\ alpha}},}$ eccetera.

Generalizzazione

Possiamo sostituire le potenze di 2 con quelle di qualsiasi numero intero strettamente maggiore di 1. Più in generale, Jan Cornelis Kluyver (de) dimostrò nel 1909 che per ogni sequenza reale positiva decrescente $( a n )$ , la serie

{\ Displaystyle \ sum a_ {n}, \ quad \ sum (n_ {k + 1} -n_ {k}) a_ {n_ {k}}, \ quad \ sum (n_ {k} -n_ {k-1 }) a_ {n_ {k}} \ quad {\ rm {e}} \ quad \ sum N_ {k} a_ {n_ {k}}}

sono simultaneamente convergenti o divergenti , per tutte le sequenze di interi positivi $( n k )$ e $( N k )$ tali che $( n k )$ è strettamente crescente e $(( n k +1 - n k ) / N k )$ e $( N k + 1 / N k )$ sono limitati . ( Schlömilch aveva stabilito il caso speciale $n k = k 2$ , $N k = k$ .)

Note e riferimenti

A.-L. Cauchy, Cours d'Analyse (en) , 1821 - Opere complete , 2 ° serie, t. 3, 1897, c. VI, § 2 [ leggi in linea ] .
Per una dimostrazione, vedi ad esempio questo esercizio corretto su Wikiversità .
Émile Borel , Lezioni sulla serie a termini positivi , Gauthier-Villars ,1902( leggi in linea ) , p. 3-6.
(in) " Jan Cornelis Kluyver " su proofwiki.org .
Thorild Dahlgren (sv) , Sul teorema di condensazione di Cauchy , Lund,1918( leggi online ), cap. III, p. 48-49 .
(de) O. Schlömilch, " Ueber die gleichzeitige Convergenz oder Divergenz zweier Reihen " , Zeitschr. f. Matematica. u. Phys. , vol. 18, n o 4,1873, p. 425-426 ( leggi in linea ).