In matematica , il logaritmo in base b di un numero reale strettamente positivo è la potenza a cui è necessario elevare la base b per ottenere quel numero. Nel caso più semplice, il logaritmo conta il numero di occorrenze dello stesso fattore in una moltiplicazione ripetuta: per esempio, come 1000 = 10 × 10 × 10 = 10 3 , il logaritmo in base 10 di 1000 è 3. Il logaritmo di x in base b è indicato log b ( x ). Quindi log 10 (1000) = 3.
John Napier logaritmi s' sviluppata nei primi anni del XVII ° secolo. Per tre secoli, la tavola di logaritmi e il regolo è stato utilizzato per il calcolo numerico , fino alla loro sostituzione alla fine del XX ° secolo da calcolatori .
Tre logaritmi sono notevoli:
Una scala logaritmica permette di rappresentare sullo stesso grafico numeri i cui ordini di grandezza sono molto diversi. I logaritmi sono comuni nelle formule utilizzate nella scienza, misurano la complessità di algoritmi e frattali e compaiono nelle formule per contare i numeri primi . Descrivono intervalli musicali o certi modelli di psicofisica .
Qualsiasi logaritmo si trasforma
Verso la fine del XVI ° secolo, lo sviluppo di astronomia e la navigazione da un lato, ed i calcoli della banca di interesse sugli altri composti, matematici spinta a cercare metodi di semplificazioni di calcolo e, in particolare, di sostituire moltiplicazioni da somme.
Utilizzando le tavole trigonometriche, i matematici Paul Wittich e Christophe Clavius (nel suo trattato su Astrolabio ) stabiliscono le corrispondenze tra prodotto o quoziente da un lato e somma, differenza e divisione per due dall'altro, per i numeri da 0 a 1 utilizzando relazioni trigonometriche , un metodo noto come prostaferesi .
Pochi anni dopo le tavole logaritmiche sostituirono le tavole trigonometriche. Simon Stévin , steward generale dell'esercito olandese, imposta le tabelle di calcolo degli interessi composti . Jost Bürgi continuò questo lavoro e pubblicò nel 1620, nel suo Aritmetische und geometrische Progress-tabulen , una tabella di corrispondenza tra n e 1.0001 n . Una somma nella prima colonna corrisponde quindi a un prodotto nella seconda colonna.
Nel 1614, John Napier (o Neper) pubblicò il suo trattato Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio . Non pensa di creare nuove funzioni, ma solo tabelle di corrispondenza ( logos = report, relazione, arithmeticos = numero) tra due serie di valori aventi la seguente proprietà: a un prodotto in una colonna corrisponde una somma in un'altra. Keplero utilizzerà qualche anno dopo queste tavole create inizialmente per semplificare i calcoli trigonometrici nei calcoli astronomici . La notazione Log come abbreviazione di logaritmo appare nel 1616 in una traduzione inglese dell'opera di Neper. Nel 1619 apparve la sua opera postuma Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio , in cui spiegava come costruire una tavola dei logaritmi .
Il matematico inglese Henry Briggs continuò questo lavoro e pubblicò nel 1624 le sue tavole dei logaritmi decimali ( Arithmetica logarithmica ) specificando i metodi di utilizzo delle tavole per calcolare i seni o gli angoli dalla loro tangente... Il logaritmo decimale è talvolta chiamato logaritmo di Briggs in suo onore. Lo stesso anno, Johann Kepler pubblicò Chilias logarithmorum costruito utilizzando un processo geometrico. La tabella di Briggs mostra i logaritmi a 14 cifre dei numeri tra 1 e 20.000 e tra 90.000 e 100.000. Ezechiel de Decker e Adriaan Vlacq hanno completato la tabella dei logaritmi nel 1627.
Nel 1647, Grégoire de Saint-Vincent , lavorando sulla quadratura dell'iperbole , mette in evidenza una nuova funzione, la primitiva della funzione che si annulla in 1. Huygens noterà nel 1661 che questa funzione risulta essere una particolare funzione logaritmica. : il logaritmo naturale .
La corrispondenza tra funzione esponenziale e funzione logaritmica appare solo dopo il lavoro di Leibniz sulla nozione di funzione (1697).
In questa sezione diamo le proprietà di una funzione logaritmica, qualunque sia la sua base b .
Le funzioni logaritmiche sono per definizione i morfismi continui non costantemente zero dei vermi .
Per ogni reale b strettamente positivo diverso da 1, il logaritmo in base b : log b è la funzione continua definita soddisfacendo l' equazione funzionale :
per tutti i reali strettamente positivi x e y ,e
Questa definizione permette di dedurre rapidamente le seguenti proprietà
per ogni numero naturale n , allora per ogni numero relativo n per ogni razionale r .Poiché ogni x reale strettamente positivo è il limite di una successione il cui termine generale è della forma b r n , dove ( r n ) è una successione di numeri razionali convergenti in un numero reale , determiniamo log b ( x ) come il limite di r n .
Due funzioni logaritmiche differiscono solo da una costante moltiplicativa: per tutti i reali strettamente positivi a e b diversi da 1 e per tutti i reali x > 0 ,
.Tutte le funzioni logaritmiche possono quindi essere espresse utilizzandone una sola, ad esempio la funzione logaritmica naturale: per ogni reale b strettamente positivo diverso da 1 e per ogni reale x > 0 ,
.La funzione log b è differenziabile sulla derivata:
che ha lo stesso segno di ln( b ) .Quindi la funzione logaritmica b è strettamente monotona, cresce quando b è maggiore di 1, decresce altrimenti.
La funzione è la biiezione reciproca della funzione esponenziale con base b , talvolta chiamata antilogaritmo con base b :
.In altre parole, i due possibili modi di combinare (o comporre ) i logaritmi e l'elevazione a potenze restituiscono il numero originario:
Le funzioni reciproche sono strettamente legate alle funzioni originarie. I loro grafici , che corrispondono quando si scambiano le coordinate x e y (o per riflessione rispetto alla diagonale x = y ), sono riportati a destra nel caso in cui b sia un reale strettamente maggiore di 1: un punto ( u , t = b u ) sul grafico (rosso) della funzione antilogaritmo x ↦ b x fornisce un punto ( t , u = log b ( t )) sul grafico (blu) del logaritmo e viceversa. Poiché b > 1 , la funzione log b è crescente e quando x tende a + ∞ , log b ( x ) tende a + , mentre quando x tende a zero, log b ( x ) tende a -∞ . Nel caso in cui il reale b sia strettamente compreso tra 0 e 1, la funzione log b è decrescente e questi limiti sono invertiti.
In termini di calcolo, l'antilog riduce i logaritmi a valori. O valutare una formula F combinando moltiplicazioni, divisioni ed elevazioni a potenza, e sia f la formula che definisce il logaritmo di F combinando somme, differenze e prodotti di (logaritmi) dei dati. Il valore di F può essere ottenuto come antilogaritmo del valore di f , che conclude il calcolo. Possiamo così sostituire la valutazione
attraverso
.Il logaritmo naturale, o logaritmo naturale, è la funzione logaritmica la cui derivata è la funzione inversa di definita in : .
La funzione di Neper è per convenzione indicata con “ ln ” o “ log ”, una notazione comunemente usata nella teoria dei numeri e nell'informatica.La base della funzione logaritmica naturale, indicata con e , è chiamata numero di Neper o numero di Eulero.Un valore approssimativo è:
.È il logaritmo più pratico nei calcoli numerici manuali, si nota log o log 10 . Lo standard ISO 80000-2 afferma che log 10 dovrebbe essere annotato come lg , ma questa notazione è usata raramente.
Si trova nella creazione di scale logaritmiche , benchmark semilogaritmici o log-log , nel regolo calcolatore, nel calcolo del pH , nell'unità del decibel .
Specifica a quale potenza è necessario elevare 10 per trovare il numero iniziale: l' immagine di un numero per log è l' intero relativo a cui è necessario elevare 10 per ottenere l' antecedente . Per esempio :
Nella base 10:Il valore del logaritmo dei numeri diversi dalle potenze di 10 richiede un calcolo approssimativo. Il calcolo di log (2) ad esempio può essere fatto a mano, annotando che 2 10 ≈ 1000 quindi 10 log 10 (2) ≈ 3 quindi log 10 (2) ≈ 0.3 .
Per ogni reale b strettamente positivo diverso da 1 e per ogni reale x > 0 ,
.Lo standard ISO 80 000 raccomanda che lb sia il logaritmo in base 2.
Il logaritmo binario, di particolare utilità nel calcolo degli intervalli musicali da un rapporto di frequenze , per ottenere ottave , semitoni o centesimi , ha trovato molto più applicazione in informatica . Il sistema binario di lavoro dei computer , il calcolo di un logaritmo in base 2 è l'algoritmo più accurato ed efficiente.
Un numero x codificato in virgola mobile binaria si decompone in una mantissa m , compresa tra 1 (incluso) e 2 (escluso) e in un esponente p , che indica la potenza di 2 che moltiplica la mantissa per ottenere il numero. L'esponente è la parte intera del logaritmo binario, mentre il logaritmo binario della mantissa è compreso tra 0 (incluso) e 1 (escluso).
Questo riporta il calcolo a quello del logaritmo binario di un numero compreso tra 1 (incluso) e 2 (escluso). Se moltiplichiamo questo numero per se stesso, e il risultato è maggiore di 2, il numero è maggiore di the2: la cifra successiva, dopo la virgola, è un 1, altrimenti è uno 0. Continuiamo per iterazioni fino alla precisione desiderata è raggiunto.
I due logaritmi precedenti si deducono da questo:
.Il logaritmo negativo di un numero è il logaritmo negativo di questo numero e il logaritmo del suo inverso: .
Il logaritmo complesso è la funzione reciproca dell'esponenziale complesso e quindi generalizza la nozione di logaritmo ai numeri complessi. Il logaritmo discreto generalizza i logaritmi a gruppi ciclici e trova applicazioni nella crittografia a chiave pubblica .
Simone Trompler, Histoire des logarithmes , pubblicato online nel 2002 dall'Université libre de Bruxelles
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