Sfera di omologia

Nella topologia algebrica , una sfera di omologia (o ancora, l'intera sfera di omologia ) è una varietà di dimensione che ha gli stessi gruppi di omologia della sfera standard , cioè: X{\ displaystyle X}non≥1{\ displaystyle n \ geq 1}non{\ displaystyle n} Snon{\ displaystyle S ^ {n}}

HK(X;Z)={ZSioK∈{0,non},0Sionononon.{\ displaystyle H_ {k} (X; \ mathbb {Z}) = \ left \ lbrace {\ begin {array} {rl} \ mathbb {Z} \ qquad & {\ rm {{si} \; k \ in \ {0, n \},}} \\ 0 \ qquad & {\ rm {altrimenti.}} \\\ end {array}} \ right.}

Tale varietà è riportate chiuso (cioè compatta e senza bordo ), orientabile , e (a parte ) un singolo Betti numero diverso da zero: . X{\ displaystyle X}b0=1{\ displaystyle b_ {0} = 1}bnon{\ displaystyle b_ {n}}

Le sfere di omologia razionale sono definite analogamente, con l' omologia dei coefficienti razionali . Qualsiasi intera sfera di omologia è una sfera di omologia razionale, ma non è vero il contrario.

Gruppo fondamentale

Infatti , la nullità di non implica che sia semplicemente connesso , ma solo che il suo gruppo fondamentale è perfetto (vedi il teorema di Hurewicz ). non>1{\ displaystyle n> 1}b1{\ displaystyle b_ {1}}X{\ displaystyle X}

L'unica 3 sfere di omologia che è semplicemente connessa è la solita 3 sfere (vedi Congettura di Poincaré ). A parte la sfera dell'omologia di Poincaré (cfr. Sotto), tutti gli altri hanno un gruppo fondamentale infinito. S3{\ displaystyle S ^ {3}}

L'esistenza di 3 sfere di omologia che non sono semplicemente connesse mostra che la congettura di Poincaré non può essere formulata in termini puramente omologici.

Sfera di omologia di Poincaré

La sfera dell'omologia di Poincaré (da non confondere con la sfera di Poincaré ) è una particolare 3-sfera dell'omologia. Il suo gruppo fondamentale è il gruppo binario icosaedrico  (en) . Questo gruppo ammette la presentazione , è di ordine 120 ed è isomorfo al gruppo SL (2, Z / 5Z ). Il gruppo binario icosaedrico è il gruppo di isometrie che lasciano invariante l' icosaedro elementare. È anche la perfetta doppia copertura del gruppo icosaedrico . io∗{\ displaystyle I ^ {*}} ⟨a,b|a2=b3=(b-1a)5⟩{\ displaystyle \ langle a, b | a ^ {2} = b ^ {3} = (b ^ {- 1} a) ^ {5} \ rangle}io∗{\ displaystyle I ^ {*}} io=A5{\ displaystyle I = A_ {5}}

La sfera dell'omologia di Poincaré è costruita in vari modi.

• Un primo è dal dodecaedro da identificazione di ciascuna faccia con la faccia opposta, scegliendo la rotazione minimo angolo che sovrappone queste due facce (vedi l'articolo Poincaré spazio dodecaedrico ). Si ottiene così una 3-varietà chiusa. (Le altre due possibili scelte di rotazione danno o una 3-varietà iperbolica  (in) - lo spazio di Seifert-Weber  (in) - o lo spazio proiettivo ).RP3{\ displaystyle \ mathbb {R} P ^ {3}}

• Un secondo è al quoziente SO (3) (che è omeomorfo a ) dal gruppo icosaedrico . Intuitivamente, ciò significa che la sfera dell'omologia di Poincaré è lo spazio di tutte le posizioni visivamente distinte che un icosaedro regolare di centro fisso può assumere , nello spazio euclideo di dimensione 3.RP3{\ displaystyle \ mathbb {R} P ^ {3}}io=A5{\ displaystyle I = A_ {5}}

• Un terzo, analogo al precedente, è al quoziente SU (2) (che è omeomorfo , la copertura universale di ) dal gruppo binario icosaedrico descritto sopra.S3{\ displaystyle S ^ {3}}SO(3){\ displaystyle SO (3)}io∗{\ displaystyle I ^ {*}}

• Un quarto è l' intervento di Dehn  (in)  : la sfera di omologia di Poincaré è un intervento chirurgico lungo il nodo trilobato a destra con inquadratura (in) uno.S3{\ displaystyle S ^ {3}} 

• Un quinto è incollando nuovamente due corpi con manici dello stesso tipo lungo il loro bordo in modo appropriato (vedi divisione di Heegaard  (en) ).

• Un sesto è la sfera di Brieskorn (vedi sotto).Σ(2,3,5){\ displaystyle \ Sigma (2,3,5)}

• Un settimo è di Seifert bundle (vedi sotto).

• Altri modi sono descritti in.

Costruzioni ed esempi

Come quella di Poincaré, le sfere dell'omologia possono essere costruite in vari modi.

• Qualsiasi intervento chirurgico lungo un nodo con inquadratura ± 1 dà una 3-sfera di omologia.S3{\ displaystyle S ^ {3}}
• Più in generale, anche un intervento lungo un intreccio , a condizione che la matrice composta dai numeri di intersezione (fuori diagonale) e dalle inquadrature (sulla diagonale) abbia come determinante ± 1.
• Se , e sono due per due interi positivi primi l'uno rispetto all'altro, allora l'intreccio della singolarità (cioè l'intersezione di questa varietà 2- complessa con una piccola 5-sfera centrata su 0) è l'omologia delle 3-Sfere di Brieskorn . È omeomorfo alla 3-sfera standard se , o è uguale a 1. La sfera dell'omologia di Poincaré è .p{\ displaystyle p}q{\ displaystyle q}r{\ displaystyle r}Xp+yq+zr=0{\ displaystyle x ^ {p} + y ^ {q} + z ^ {r} = 0}Σ(p,q,r){\ displaystyle \ Sigma (p, q, r)}S3{\ displaystyle S ^ {3}}p{\ displaystyle p}q{\ displaystyle q}r{\ displaystyle r}Σ(2,3,5){\ displaystyle \ Sigma (2,3,5)}
• La somma connessa di due 3 sfere di omologia orientata è una 3 sfere di omologia. Viceversa, nella decomposizione Milnor ( essenzialmente unica ) di una 3-sfera di omologia di somma connessa di 3-varietà indecomponibili, i componenti sono sfere di omologia.
• Se sono due o due primi tra di loro, allora la varietà di Seifert fibrata su corrispondente alla lista è una sfera di omologia se e sono scelti in modo tale da essere verificato. (Una tale scelta di e di è sempre possibile, e tutte le scelte danno la stessa sfera di omologia.) Sì , è semplicemente la solita 3-sfera. Sì , sono 3 sfere di omologia distinte e non banali. Il caso dove e dove dà la sfera di Poincaré. In tutti gli altri casi, la 3-sfera di omologia ottenuta è uno spazio di Eilenberg-MacLane (cioè uno spazio asferico ) e la sua geometria di Thurston è modellata sulla copertura universale di SL 2 ( R ) .a1,...,ar∈NON≥2{\ displaystyle a_ {1}, ..., a_ {r} \ in \ mathbb {N} _ {\ geq 2}}S2{\ displaystyle S ^ {2}}(b,(o1,0);(a1,b1),...,(ar,br)){\ displaystyle (b, (o_ {1}, 0); (a_ {1}, b_ {1}), ..., (a_ {r}, b_ {r}))}b{\ displaystyle b}bK{\ displaystyle b_ {k}}b+b1/a1+...+br/ar=1/(a1...ar){\ displaystyle b + b_ {1} / a_ {1} + ... + b_ {r} / a_ {r} = 1 / (a_ {1} ... a_ {r})}b{\ displaystyle b}bK{\ displaystyle b_ {k}}r≤2{\ displaystyle r \ leq 2}r>2{\ displaystyle r> 2}r=3{\ displaystyle r = 3}{a1,a2,a3}={2,3,5}{\ displaystyle \ {a_ {1}, a_ {2}, a_ {3} \} = \ {2,3,5 \}} K(π,1){\ displaystyle K (\ pi, 1)}

Invarianti

• Rokhlin invariant  (en) - Ogni 3-sfera di omologia ha una struttura di spin unica , e ogni 3-varietà M di spin confina con una 4-varietà di spin, la cui firma  (en) è divisibile per 8 e il cui valore modulo 16 dipende solo da M. Ciò consente di associare a qualsiasi 3-sfera di omologia un elemento invariante di .μ{\ displaystyle \ mu}Z/2Z{\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}
• Casson invariant  (en) - Ad ogni 3-sfera di omologia orientata è associato un numero intero , additivo rispetto alla somma connessa, e segno che cambia quando l'orientamento è invertito. La sua riduzione modulo 2 è l'invariante di Rokhlin. L'invariante di Casson della 3-sfera standard è 0; quello della sfera dell'omologia di Poincaré è ± 1.λ{\ displaystyle \ lambda}
• Taubes invariante - Si tratta di una riformulazione analitica del Casson invariante . Taubes ha mostrato in questo .χ{\ displaystyle \ chi}λ{\ displaystyle \ lambda}χ=2λ{\ displaystyle \ chi = 2 \ lambda}
• Instanton Floer Homology - Instanton Floer Homology è un'omologia di tipo Morse a dimensione infinita basata sulla teoria di Chern-Simons. La caratteristica di Eulero dell'omologia di Floer degli istantoni è uguale all'invariante di Taubes (e quindi al doppio dell'invariante di Casson).χ{\ displaystyle \ chi}λ{\ displaystyle \ lambda}

Applicazioni

La sospensione di una 3-sfera di omologia non standard è una 4- varietà omologica (en) che non è una varietà topologica . La doppia sospensione è omeomorfa allo standard a 5 sfere , ma la sua triangolazione (indotta da una triangolazione ) non è una varietà lineare a tratti (in) . X{\ displaystyle X} X{\ displaystyle X}S5{\ displaystyle S ^ {5}}X{\ displaystyle X} 

La questione di sapere se una varietà chiusa di dimensione maggiore o uguale a 5 è omeomorfa a un complesso simpliciale è ancora aperta. Galewski e Stern hanno dimostrato che è equivalente al problema dell'esistenza di una 3-sfera di omologia , di invariante di Rokhlin diverso da zero, tale che la somma connessa confina con una 4-varietà aciclica (en) . Σ{\ displaystyle \ Sigma}Σ#Σ{\ displaystyle \ Sigma \ # \ Sigma} 

Vedi anche

Bibliografia

• (it) Emmanuel Dror , "  Homology spheres  " , Israel J. Math. , vol.  15,1973, p.  115-129 ( DOI  10.1007 / BF02764597 )
• ( fr ) David Galewski e Ronald Stern , "  Classificazione delle triangolazioni simpliciali di varietà topologiche  " , Ann. di matematica. , vol.  111, n o  1,1980, p.  1–34 ( leggi in linea )
• (en) Robion Kirby e Martin Scharlemann , "Eight faces of the Poincaré homology 3-sphere" , in Geometric topology (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977) , Academic Press ,1979, p.  113-146
• (en) Michel Kervaire , “  Sfere omologiche lisce e loro gruppi fondamentali  ” , Trans. Amaro. Matematica. Soc. , vol.  144,1969, p.  67-72, Collegamento  Recensioni matematiche
• (en) Nikolai Saveliev , "Invariants of Homology 3-Spheres" , in Encyclopaedia of Mathematical Sciences , vol.  140, topologia a bassa dimensione, I, Springer ,2002( ISBN  3-540-43796-7 )

Riferimenti

1. MA Kervaire, Sfere di omologia liscia e loro gruppi fondamentali, 1969
2. RC Kirby, MG Scharlemann, Otto facce della 3 sfere dell'omologia di Poincaré, 1977
3. CH Taubes, invariante e teoria di gauge di Casson, 1990

Link esterno

(en) Una triangolazione a 16 vertici dell'omologia di Poincaré a 3 sfere e sfere non PL con pochi vertici , di Anders Björner ( KTH ) e Frank H. Lutz ( TUB )

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato "  Homology sphere  " ( vedere l'elenco degli autori ) . <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">