Congettura di Poincaré

La congettura di Poincaré era una congettura matematica nel campo della topologia algebrica relativa alla caratterizzazione di una particolare varietà , la sfera tridimensionale ; è stato dimostrato nel 2003 dal russo Grigori Perelman . Può quindi essere chiamato anche “teorema di Perelman”.

Fino ad allora faceva parte dei problemi di Smale e dei sette “ problemi del Millennium Prize ” individuati e prezzati nel 2000 dal Clay Institute of Mathematics . Nel 2006 questa dimostrazione è stata convalidata dall'attribuzione di una medaglia Fields a Grigori Perelman (che l'ha rifiutata); Inoltre, nel marzo 2010, il Clay Institute ha assegnato ufficialmente il premio corrispondente a Perelman, che ha anche rifiutato, a causa di "disaccordo con le decisioni della comunità matematica".

Storico

Formulazione

La domanda fu posta per la prima volta da Henri Poincaré nel 1904 e recita quanto segue:

Ogni 3-varietà compatto senza confine e semplicemente connesso è omeomorfo alla 3-sfera ?

Poincaré ha aggiunto, con grande lungimiranza, un commento: "ma questa domanda ci porterebbe troppo lontano" .

Più comunemente, si tratta di determinare se un dato " oggetto tridimensionale " avente le stesse proprietà di quelle di una sfera 3D (in particolare tutte le spire possono essere "serrate" in un punto ) sia davvero solo una deformazione di ' una sfera tridimensionale (la sfera ordinaria - superficie nello spazio ordinario - ha solo due dimensioni).

Nessuna 3-varietà senza bordi diversa da ( spazio ordinario , non compatto) può essere disegnata in modo pulito come un oggetto nell'ordinario spazio tridimensionale. Questo è uno dei motivi per cui è difficile visualizzare mentalmente il contenuto della congettura. $\ mathbb {R} ^ {3}$

Progressi recenti

Verso la fine del 2002, pubblicazioni su arXiv di Grigory Perelman del Istituto Steklov di Matematica a San Pietroburgo, suggeriscono che egli potrebbe aver trovato la prova della " geometrizzazione congetture " (vedi sotto). Sotto ), l'attuazione di un programma precedentemente descritto da Richard S. Hamilton . Nel 2003 ha pubblicato un secondo rapporto e ha tenuto una serie di conferenze negli Stati Uniti . Nel 2006, un consenso di esperti ha concluso che il recente lavoro di Perelman nel 2003 ha risolto questo problema, quasi un secolo dopo la sua prima dichiarazione. Questo riconoscimento è stato annunciato ufficialmente al Congresso Internazionale dei Matematici il 22 agosto 2006 a Madrid , durante il quale gli è stata assegnata la Medaglia Fields insieme ad altri tre matematici. Tuttavia Perelman ha rifiutato la medaglia e ha lasciato intendere che avrebbe rifiutato anche il Premio Clay . Questo premio gli è stato assegnato il 18 marzo 2010, insieme a un premio di un milione di dollari, e di fatto lo ha rifiutato. Secondo Aleksandr Zabrovsky , che afferma di aver ottenuto un'intervista da lui, ha detto al quotidiano Komsomolskaya Pravda il 29 aprile 2011 :

"Perché ho impiegato così tanti anni per risolvere la congettura di Poincaré?" Ho imparato a rilevare i vuoti. Con i miei colleghi stiamo studiando meccanismi per colmare le lacune sociali ed economiche. I vuoti sono ovunque. Possiamo rilevarli e questo offre molte possibilità... So come far funzionare l'Universo. Dimmi allora, che senso ha inseguire un milione di dollari? "

Ma questa affermazione di Zabrovsky è controversa, con diversi giornalisti che negano l'autenticità di questa intervista.

Elementi relativi alla dimostrazione della congettura

Mentre la congettura ha portato a un lungo elenco di prove errate, alcune di esse hanno portato a una migliore comprensione della topologia a piccole dimensioni.

La sua risoluzione è legata al problema della classificazione delle varietà 3-dimensionali Una classificazione delle varietà 3-dimensionali è generalmente considerata come la produzione di un elenco di tutte le varietà 3-dimensionali fino ad un omeomorfismo (senza ripetizione).

Tale classificazione è equivalente a un algoritmo di riconoscimento, che potrebbe verificare se due varietà tridimensionali sono omeomorfe o meno.

La congettura di Poincaré può quindi essere considerata come un caso speciale della congettura di geometrizzazione di Thurston . Quest'ultima congettura, una volta provata (cosa fece Perelman nel 2003), completa la questione della classificazione delle varietà tridimensionali.

Le uniche parti della congettura di geometrizzazione che restavano da dimostrare dopo la sua formulazione da parte di Thurston intorno al 1980 furono chiamate congettura di "iperbolizzazione" e congettura di "ellittizzazione".

La congettura dell'"ellittizzazione" afferma che qualsiasi varietà 3-dimensionale chiusa avente un gruppo fondamentale finito ha una geometria sferica, cioè è coperta dalla 3-sfera. La congettura di Poincaré corrisponde al caso in cui il gruppo fondamentale è banale.

Problemi di matematica correlati

Si possono anche formulare congetture simili a quelle di Poincaré in dimensioni diverse da 3:

Qualsiasi varietà compatta di dimensione n che è omotopicamente equivalente alla sfera unitaria è omeomorfa alla sfera unitaria.

La congettura di Poincaré data in precedenza appare come il caso particolare n = 3.

La difficoltà della bassa dimensione in topologia è accentuata dal fatto che tutti i risultati simili erano stati dimostrati:

in dimensione n = 4, di gran lunga la più difficile, di Michael Freedman nel 1982;
in dimensione n = 5, di Erik Christopher Zeeman nel 1961;
in dimensione n = 6, di John R. Stallings nel 1962;
per n ≥ 7 di Stephen Smale nel 1961 (in seguito estese la sua dimostrazione a tutti gli n ≥ 5),

mentre la versione tridimensionale originale della congettura di Poincaré rimase irrisolta.

Note e riferimenti

(in) Descrizione della congettura di Poincaré del Clay Institute of Mathematics .
"Il matematico Perelman rifiuta un premio di un milione di dollari" , La Croix , 2 luglio 2010.
(in) G. Perelman, La formula dell'entropia per il flusso di Ricci e le sue applicazioni geometriche , 2002. " math.DG/0211159 " , testo liberamente disponibile su arXiv ..
(in) G. Perelman, Il flusso di Ricci con la chirurgia è a tre varietà , 2003. " math.DG/0303109 " , testo liberamente disponibile su arXiv ..
(in) G. Perelman il tempo di estinzione finito per le soluzioni del flusso di Ricci è alcune 3-varietà , 2003. " math.DG/0307245 " , testo liberamente disponibile su arXiv ..
(in) Bruce Kleiner (in) e John Lott (in) , Notes on Perelman's papers , 2006. " math.DG / 0605667 " , testo liberamente disponibile su arXiv ..
(in) John Morgan e Gang Tian , Ricci flow and the Poincaré conjecture , 2006. " math.DG/0607607 " , testo liberamente disponibile su arXiv ..
(in) Huai-Dong Cao e Xi-Ping Zhu (in) , " Una prova completa della congettura di Poincaré e della geometrizzazione - Applicazione della teoria di Hamilton-Perelman del flusso di Ricci " , Asian J. of Math , vol. 10, n o 2giugno 2006( leggi in linea ).
(in) Comunicato stampa del Clay Mathematics Institute .
" Matematica: un russo premiato per la congettura di Poincaré " , su RTL Info (RTL-TVI) ,18 marzo 2010(spedizione AFP ).
"Russia: parla il matematico che rifiuta milioni di dollari" , fr.sputniknews.com, 29 aprile 2011.
Masha Gessen, " 6 странных ошибок в" интервью Перельмана " " [ archivio di17 ottobre 2012] , su Snob.ru ,29 aprile 2011(consultato l'8 maggio 2012 ) .
" Интервью Перельмана - подделка? " [" Intervista a Perelman - falso? "] [ Archivio di26 dicembre 2012] , Versi,5 maggio 2011(consultato il 25 dicembre 2012 ) .
" L'intervista di Grigori Perelman piena di mismatch " [ archivio di archive22 gennaio 2013] , inglese Pravda.ru,5 giugno 2011(consultato il 25 dicembre 2012 ) .
(in) John Milnor , "The Poincaré Conjecture" in J. Carlson, A. Jaffe e A. Wiles , The Millennium Prize Problems , Clay Math. Istituto / AMS ,2006( leggi in linea ) , p. 71-86( p. 75 , o p. 4 di questo .pdf ).

Vedi anche

Bibliografia

John Milnor, “ Verso la congettura di Poincaré e la classificazione delle varietà tridimensionali ”, Gazette des mathématiciens , vol. 99,2004, pag. 13-25 ( leggi online )
Gérard Besson , “ Dimostrazione della congettura di Poincaré deformando la metrica per curvatura di Ricci ”, Séminaire Bourbaki , t. 47, 2004-2005, pag. 309-348 ( leggi in linea )

link esterno

Patrick Massot, " La congettura di Poincaré " , su Immagini della matematica ,2012
" Gruppo di lavoro sul lavoro di Perelman " , su Institut Fourier