In matematica , una 3-varietà è una varietà di dimensione 3, nel senso di varietà topologiche , PL (in) o differenziale (nella dimensione 3, queste categorie sono equivalenti ).
Alcuni fenomeni sono legati specificamente alla dimensione 3, per cui in questa dimensione prevalgono tecniche particolari, che non si generalizzano a dimensioni superiori. Questa specificità delle 3 varietà ha portato alla scoperta della loro stretta relazione con più aree come la teoria dei nodi , la teoria dei gruppi geometrici , la geometria iperbolica , la teoria dei numeri , la teoria di Teichmüller (in) , la teoria quantistica della topologia dei campi ( in) , le teorie di gauge , l' omologia di Floer e le equazioni alle derivate parziali .
La teoria delle 3-varietà fa parte della topologia a bassa dimensione , e quindi della topologia geometrica .
Un'idea fondamentale di questa teoria è studiare un 3-varietà M considerando superfici speciali immersioni in M . La scelta della superficie “ben posizionata” nella 3-varietà porta all'idea di superficie incomprimibile (en) e alla teoria delle varietà di Haken (en) ; Sceglierlo in modo che i pezzi del complemento siano il più "piacevoli" possibile porta a scomposizioni di Heegard (en) , utili anche nel caso non Haken.
Le 3-varietà hanno spesso una struttura aggiuntiva: una delle otto geometrie di Thurston (la più comune delle quali è iperbolica). L'uso combinato di questa geometria e delle superfici a tuffo si è dimostrato efficace.
Il gruppo fondamentale di una 3-varietà fornisce molte informazioni sulla sua geometria e topologia, da qui l'interazione tra teoria dei gruppi e metodi topologici .
(Queste classi non sono disgiunte.)
Alcuni di questi teoremi hanno mantenuto i loro nomi storici di congetture .
Partiamo dai risultati puramente topologici:
Teoremi in cui la geometria gioca un ruolo importante nella dimostrazione:
Risultati che collegano esplicitamente geometria e topologia: