Lemma di stima
In matematica , il lemma di stima (chiamato anche lemma di stima standard ) fornisce un limite superiore (del modulo) di un integrale curvilineo complesso. Questo lemma è ampiamente usato nell'analisi complessa per mostrare che l'integrale lungo una parte di un contorno tende a zero quando passa a un certo limite. Possiamo quindi calcolare esattamente certi integrali usando il teorema dei residui .
stati
Se f è una funzione di una variabile complessa e vale complex , prosegue sul cammino rettificabile γ , abbiamo:
|∫γf(z)dz|≤L(γ)maxz∈iomγ|f(z)|{\ displaystyle \ left | \ int _ {\ gamma} f (z) \ mathrm {d} z \ right | \ leq \ mathrm {L} (\ gamma) \ max _ {z \ in \ mathrm {Im} \ , \ gamma} | f (z) |}dove L (γ) è la lunghezza del cammino rettificabile . Si noti che il limite superiore esiste e viene raggiunto (è quindi un massimo) perché l'immagine di un cammino rettificabile è compatta e f è continua. Attenzione qui a non confondere Im γ che qui designa l'immagine del percorso γ , cioè un sottoinsieme di , con la parte immaginaria di γ .
VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
Possiamo giustificare intuitivamente il lemma come segue: suddividendo il cammino γ in n -1 piccoli archi finali successivi z 1 , ..., z n , ci avviciniamo all'integrale curvilineo con una somma di Riemann:
io=∫γf(z)dz≈ΣK=1non-1f(vsK)(zK+1-zK){\ displaystyle I = \ int _ {\ gamma} f (z) \ mathrm {d} z \ approx \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} f (c_ {k}) (z_ {k + 1} -z_ {k})}dove c k è un punto arbitrario dell'arco che unisce z k a z k +1 . Il modulo di ogni termine della somma è aumentato di M | z k +1 - z k | , dove M è il massimo di | f | su γ e | z k +1 - z k | è la lunghezza della corda che unisce z k a z k +1 . Poiché la somma delle lunghezze di queste stringhe si avvicina alla lunghezza del cammino γ , possiamo aspettarci l'aumento | io | ≤ M L (γ) .
Dimostrazione
O un percorso di classe a tratti , abbiamo:
γ:[a,b]→VS,t↦γ(t){\ displaystyle \ gamma: [a, b] \ to \ mathbb {C}, t \ mapsto \ gamma (t)}VS1{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {1}}
|io|=|∫γf(z)dz|=|∫abf(γ(t))γ'(t)dt|{\ displaystyle | I | = \ left | \ int _ {\ gamma} f (z) \ mathrm {d} z \ right | = \ left | \ int _ {a} ^ {b} f (\ gamma (t )) \ gamma '(t) \ mathrm {d} t \ destra |}che può essere aumentato come segue:
|io|≤∫ab|f(γ(t))||γ'(t)|dt{\ displaystyle | I | \ leq \ int _ {a} ^ {b} \ left | f (\ gamma (t)) \ right | \ left | \ gamma '(t) \ right | \ mathrm {d} t }Aumentando il modulo di f sulla traiettoria e per definizione della lunghezza di un arco , si ha:
|io|≤maxt∈[a,b]|f(γ(t))|∫ab|γ'(t)|dt e L(γ)=∫ab|γ'(t)|dt{\ displaystyle | I | \ leq \ max _ {t \ in [a, b]} | f (\ gamma (t)) | \ int _ {a} ^ {b} \ left | \ gamma '(t) \ right | \ mathrm {d} t {\ text {et}} \ mathrm {L} (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} \ left | \ gamma '(t) \ right | \ mathrm {d} t}quindi infine:
|io|≤L(γ)maxz∈iomγ|f(z)|{\ displaystyle | I | \ leq \ mathrm {L} (\ gamma) \ max _ {z \ in \ mathrm {Im} \, \ gamma} | f (z) |}
Esempio di utilizzo
Cerchiamo di dimostrarlo
∫-∞+∞1(X2+1)2dX=π2.{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {(x ^ {2} +1) ^ {2}}} \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ pi} {2}}.}Consideriamo per questo un merletto composto da due parti: una prima è il semicerchio di centro 0 e raggio a > 1 , contenuto nel piano superiore, percorso nella direzione diretta che indichiamo con γ a (mostrato nella figura 2 a lato ) e il secondo è il segmento [- una , una ] . Indichiamo con f l'integrando dell'integrale che cerchiamo di calcolare, vale a dire
f(z)=1(z2+1)2.{\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {(z ^ {2} +1) ^ {2}}}.}È una funzione meromorfa su cui i (doppi) poli si trovano in z = ± i . Solo il palo in z = i è all'interno del pizzo e il residuo a questo punto è:
VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
ReS(f,+io)=limiz→ioddz((z-io)2(z2+1)2)=14io{\ displaystyle \ mathrm {Res} (f, + i) = \ lim _ {z \ a i} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ left ({\ frac { (z- \ mathrm {i}) ^ {2}} {(z ^ {2} +1) ^ {2}}} \ destra) = {\ frac {1} {4 \ mathrm {i}}}}dove la derivata di ordine 1 deriva dal fatto che il polo è doppio.
Per il teorema dei residui , qualunque sia a > 1:
(*)∫-aadX(X2+1)2+∫γadz(z2+1)2=2πioReS(f,+io)=π2.{\ displaystyle (*) \ qquad \ int _ {- a} ^ {a} {\ frac {\ mathrm {d} x} {(x ^ {2} +1) ^ {2}}} + \ int _ {\ gamma _ {a}} {\ frac {\ mathrm {d} z} {(z ^ {2} +1) ^ {2}}} = 2 \ pi \ mathrm {i} \, \ mathrm {Res } (f, + \ mathrm {i}) = {\ frac {\ pi} {2}}.}Poi cerca di passare al limite quando si ha bisogno di trovare in base ad un limite superiore per:
a→+∞{\ displaystyle a \ a + \ infty}
|∫γadz(z2+1)2|{\ displaystyle \ left | \ int _ {\ gamma _ {a}} {\ frac {\ mathrm {d} z} {(z ^ {2} +1) ^ {2}}} \ right |}che otterremo grazie al lemma di stima. La lunghezza del percorso è metà del perimetro di un cerchio di raggio a ; Quindi abbiamo:
L(γa)=πa{\ displaystyle \ mathrm {L} (\ gamma _ {a}) = \ pi a}Cerchiamo quindi un limite superiore M a per il modulo dell'integrando sul cammino. Per disuguaglianza triangolare si ha:
|z|2=|z2+1-1|≤|z2+1|+1{\ displaystyle | z | ^ {2} = | z ^ {2} + 1-1 | \ leq | z ^ {2} +1 | +1}Pertanto, il percorso y una ,
|z2+1|≥|z|2-1=a2-1>0{\ displaystyle | z ^ {2} +1 | \ geq | z | ^ {2} -1 = a ^ {2} -1> 0}Quindi :
∀z∈γa{\ displaystyle \ forall z \ in \ gamma _ {a}}
|1(z2+1)2|≤1(a2-1)2=Ma{\ displaystyle \ left | {\ frac {1} {(z ^ {2} +1) ^ {2}}} \ right | \ leq {\ frac {1} {(a ^ {2} -1) ^ {2}}} = M_ {a}}Applicando il lemma si ha quindi:
|∫γadz(z2+1)2|≤πa(a2-1)2{\ displaystyle \ left | \ int _ {\ gamma _ {a}} {\ frac {\ mathrm {d} z} {(z ^ {2} +1) ^ {2}}} \ right | \ leq { \ frac {\ pi a} {(a ^ {2} -1) ^ {2}}}}Ne consegue che
limia→+∞∫γadz(z2+1)2=0.{\ displaystyle \ lim _ {a \ to + \ infty} \ int _ {\ gamma _ {a}} {\ frac {\ mathrm {d} z} {(z ^ {2} +1) ^ {2} }} = 0.}Passando al limite in , deduciamo la relazione annunciata.
a→+∞{\ displaystyle a \ a + \ infty}(*){\ stile di visualizzazione (*)}
Vedi anche
Appunti
-
utilizzando disuguaglianza triangolare , cioè solo per reale o complesso una k .|ΣK=1nonaK|≤ΣK=1non|aK|{\ displaystyle \ left | \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} \ right | \ leq \ sum _ {k = 1} ^ {n} | a_ {k} |}
Riferimenti
(in) Serge Lang , complessa analisi , Springer, 1999, 4 ° ed. ( ISBN 0-387-98592-1 )
-
Michèle Audin , Analisi complessa , dispense dell'Università di Strasburgo
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