Processo convesso

Un processo convesso è una multifunzione il cui grafico è un cono convesso appuntito . Un processo convesso estende la nozione di mappa lineare (di cui il grafico è un sottospazio vettoriale ), poiché un processo convesso univoco è una mappa lineare. Possiamo associarvi uno standard.

Questa nozione è stata introdotta da Rockafellar (1967 e 1970). Interviene, ad esempio, nella generalizzazione del teorema delle funzioni implicite a quelle multifunzionali .

Conoscenza presunta  : le basi dell'analisi multifunzionale e dell'analisi convessa .

Definizioni ed esempio

Definizioni

Siano e due spazi vettoriali reali. Un processo convesso è una multifunzione il cui grafico è un cono convesso appuntito (è quindi una particolare multifunzione convessa ). È lo stesso dire (ea volte sarà più facile verificare) che un processo convesso è una multifunzione che soddisfa le seguenti proprietà: E{\ displaystyle \ mathbb {E}}F{\ displaystyle \ mathbb {F}} T:E⊸F{\ displaystyle T: \ mathbb {E} \ multimap \ mathbb {F}}G(T): ={(X,y)∈E×F:y∈T(X)}{\ displaystyle {\ mathcal {G}} (T): = \ {(x, y) \ in \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F}: y \ in T (x) \}} T:E⊸F{\ displaystyle T: \ mathbb {E} \ multimap \ mathbb {F}}

• per tutti , era ,X1{\ displaystyle x_ {1}}X2∈E{\ displaystyle x_ {2} \ in \ mathbb {E}}T(X1+X2)⊃T(X1)+T(X2){\ displaystyle T (x_ {1} + x_ {2}) \ supset T (x_ {1}) + T (x_ {2})}
• per tutto e per tutto , abbiamo ,α>0{\ displaystyle \ alpha> 0}X∈E{\ displaystyle x \ in \ mathbb {E}}T(αX)=αT(X){\ displaystyle T (\ alpha x) = \ alpha T (x)}
• 0∈T(0){\ displaystyle 0 \ in T (0)}.

Diciamo che un processo convesso è chiuso se il suo grafico è chiuso nello spazio del prodottoT:E⊸F{\ displaystyle T: \ mathbb {E} \ multimap \ mathbb {F}}G(T){\ displaystyle {\ mathcal {G}} (T)}E×F.{\ displaystyle \ mathbb {E} \ times \ mathbb {F}.}

Promemoria di analisi multifunzionali

Ricordiamo alcuni concetti relativi a una multifunzione che ci saranno utili. T:E⊸F{\ displaystyle T: \ mathbb {E} \ multimap \ mathbb {F}}

• Il dominio di è definito e denotato da  ; è la proiezione canonica di sur .T{\ displaystyle T}dom⁡T: ={X∈E:T(X)≠∅}{\ Displaystyle \ operatorname {dom} T: = \ {x \ in \ mathbb {E}: T (x) \ neq \ varnothing \}}G(T){\ displaystyle {\ mathcal {G}} (T)}E{\ displaystyle \ mathbb {E}}
• L' immagine di è definita e denotata da  ; è la proiezione canonica di sur .T{\ displaystyle T}R(T): ={y∈F:∃X∈E ad esempio y∈T(X)}{\ displaystyle {\ mathcal {R}} (T): = \ {y \ in \ mathbb {F}: \ exist \, x \ in \ mathbb {E} ~ {\ mbox {come}} ~ y \ in T (x) \}}G(T){\ displaystyle {\ mathcal {G}} (T)}F{\ displaystyle \ mathbb {F}}
• La funzione reciproca di è la multifunzione definita da . Quindi se, e solo se .T{\ displaystyle T}T-1:F⊸E{\ displaystyle T ^ {- 1}: \ mathbb {F} \ multimap \ mathbb {E}}T-1(y): ={X∈E:y∈T(X)}{\ displaystyle T ^ {- 1} (y): = \ {x \ in \ mathbb {E}: y \ in T (x) \}}y∈T(X){\ displaystyle y \ in T (x)}X∈T-1(y){\ displaystyle x \ in T ^ {- 1} (y)}
• Diciamo che è semi-continuo inferiormente in rispetto ad una contenente parte , se per ogni aperto di modo che esiste un open di (fornito sua topologia indotta da quella di ) contenente tale che, per tutto , abbiamo .T{\ displaystyle T}X0∈E{\ displaystyle x_ {0} \ in \ mathbb {E}}P0⊂E{\ displaystyle P_ {0} \ subset \ mathbb {E}}X0{\ displaystyle x_ {0}}V{\ displaystyle V}F{\ displaystyle \ mathbb {F}}V∩T(X0)≠∅{\ Displaystyle V \ cap T (x_ {0}) \ neq \ varnothing}U{\ displaystyle U}P0{\ displaystyle P_ {0}}E{\ displaystyle \ mathbb {E}}X0{\ displaystyle x_ {0}}X∈U{\ displaystyle x \ in U}V∩T(X)≠∅{\ Displaystyle V \ cap T (x) \ neq \ varnothing}
• Si dice che è aperto in , se per qualsiasi apertura di contenente 0, è un intorno di 0 a (con topologia indotta ).T{\ displaystyle T}0{\ displaystyle 0}U{\ displaystyle U}E{\ displaystyle \ mathbb {E}}T(U){\ displaystyle T (U)}R(T){\ displaystyle {\ mathcal {R}} (T)}F{\ displaystyle \ mathbb {F}}

Esempio

Ecco un esempio istruttivo di processo convesso , ed è definito da E=Rnon{\ displaystyle \ mathbb {E} = \ mathbb {R} ^ {n}}F: =Rm{\ displaystyle \ mathbb {F}: = \ mathbb {R} ^ {m}}T:Rnon⊸Rm{\ displaystyle T: \ mathbb {R} ^ {n} \ multimap \ mathbb {R} ^ {m}}X∈Rnon{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n}}

T(X)={{y∈Rm:y⩽BX}Se AX⩾0∅altrimenti,{\ displaystyle T (x) = \ left \ {{\ begin {array} {ll} \ {y \ in \ mathbb {R} ^ {m}: y \ leqslant Bx \} & {\ mbox {si}} ~ Ax \ geqslant 0 \\\ varnothing & {\ mbox {altrimenti}} \ end {array}} \ right.}

dove e sono mappe lineari. Vediamo che il processo convesso reciproco ha il valore in  : A:Rnon→Rp{\ displaystyle A: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {p}}B:Rnon→Rm{\ displaystyle B: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}y∈Rm{\ displaystyle y \ in \ mathbb {R} ^ {m}}

T-1(y)={X∈Rnon:AX⩾0, BX⩾y}.{\ displaystyle T ^ {- 1} (y) = \ {x \ in \ mathbb {R} ^ {n}: Ax \ geqslant 0, ~ Bx \ geqslant y \}.}

Pertanto, fornire l'insieme di soluzioni di un certo sistema di disuguaglianze lineari, di cui parte delle disuguaglianze è disturbata dal vettore . T-1(y){\ displaystyle T ^ {- 1} (y)}y{\ displaystyle y}

Proprietà immediate

Per un processo convesso , abbiamoT:E⊸F{\ displaystyle T: \ mathbb {E} \ multimap \ mathbb {F}}

• per tutti convessa , è convessa in (perché è una multifunzione convessa ),VS⊂E{\ displaystyle C \ subset \ mathbb {E}}T(VS){\ displaystyle T (C)}F{\ displaystyle \ mathbb {F}}T{\ displaystyle T}
• dom⁡T{\ Displaystyle \ operatorname {dom} T} è un cono convesso appuntito,
• T(0){\ displaystyle T (0)}è un cono convesso e per tutti ,T(0)={y∈F:T(X)+y⊂T(X){\ displaystyle T (0) = \ {y \ in \ mathbb {F}: T (x) + y \ sottoinsieme T (x)}X∈E}{\ displaystyle x \ in \ mathbb {E} \}}
• T-1{\ displaystyle T ^ {- 1}} è un processo convesso,
• T-1(0)={X∈E:T(X′)⊂T(X′+X){\ displaystyle T ^ {- 1} (0) = \ {x \ in \ mathbb {E}: T (x ') \ subset T (x' + x)}per tutto ,X′∈E}{\ displaystyle x '\ in \ mathbb {E} \}}
• un processo convesso uno a uno è una mappa lineare.

Standard

Assumiamo in questa sezione che e siano spazi normati . E{\ displaystyle \ mathbb {E}}F{\ displaystyle \ mathbb {F}}

Possiamo definire la norma di un processo convesso daT:E⊸F{\ displaystyle T: \ mathbb {E} \ multimap \ mathbb {F}}

‖T‖: =sup‖X‖⩽1X∈dom⁡Tinfy∈T(X)‖y‖.{\ displaystyle \ | T \ |: = \ sup _ {\ | x \ | \ leqslant 1 \ atop x \ in \ operatorname {dom} T} \, \ inf _ {y \ in T (x)} \ | y \ |.}

A differenza delle mappe lineari, la norma di un processo convesso tra spazi di dimensione finita non è necessariamente finita, anche se chiusa. Ad esempio, la multifunzione definita al par T:R⊸R2{\ displaystyle T: \ mathbb {R} \ multimap \ mathbb {R} ^ {2}}X∈R{\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}

T(X)={{y∈R2:y12⩽Xy2, y2⩾0}Se X⩾0∅altrimenti,{\ displaystyle T (x) = \ left \ {{\ begin {array} {ll} \ {y \ in \ mathbb {R} ^ {2}: y_ {1} ^ {2} \ leqslant xy_ {2} , ~ y_ {2} \ geqslant 0 \} & {\ mbox {si}} ~ x \ geqslant 0 \\\ varnothing & {\ mbox {altrimenti,}} \ end {array}} \ right.}

è un processo convesso chiuso e la sua mappa reciproca assume il valore T-1:R2⊸R{\ displaystyle T ^ {- 1}: \ mathbb {R} ^ {2} \ multimap \ mathbb {R}}y∈R2{\ displaystyle y \ in \ mathbb {R} ^ {2}}

T-1(y)={{X∈R:X⩾y12/y2}Se y2>0R+Se y=0∅altrimenti.{\ displaystyle T ^ {- 1} (y) = \ left \ {{\ begin {array} {ll} \ {x \ in \ mathbb {R}: x \ geqslant y_ {1} ^ {2} / y_ {2} \} & {\ mbox {si}} ~ y_ {2}> 0 \\\ mathbb {R} _ {+} & {\ mbox {si}} ~ y = 0 \\\ varnothing & {\ mbox {altrimenti.}} \ end {array}} \ right.}

Tuttavia , perché se , con , abbiamo ‖T-1‖=+∞{\ displaystyle \ | T ^ {- 1} \ | = + \ infty}yK: =(1,1/K){\ displaystyle y_ {k}: = (1,1 / k)}K∈NON∗{\ displaystyle k \ in \ mathbb {N} ^ {*}}

‖T-1‖⩾supK→∞infX∈T(yK/‖yK‖)|X|=supK→∞(K/‖yK‖)=+∞.{\ displaystyle \ | T ^ {- 1} \ | \ geqslant \ sup _ {k \ to \ infty} \ inf _ {x \ in T (y_ {k} / \ | y_ {k} \ |)} \ , | x | = \ sup _ {k \ to \ infty} (k / \ | y_ {k} \ |) = + \ infty.}

Norma finita  -  Sia un processo convesso. Quindi le seguenti proprietà sono equivalenti: T:E⊸F{\ displaystyle T: \ mathbb {E} \ multimap \ mathbb {F}}

1. ‖T‖<+∞{\ displaystyle \ | T \ | <+ \ infty},
2. T{\ displaystyle T}è semicontinuo inferiore a 0, relativamente a ,dom⁡T{\ Displaystyle \ operatorname {dom} T}
3. T-1{\ displaystyle T ^ {- 1}} è aperto in 0.

Appendici

Appunti

1. Rockafellar (1967).
2. Rockafellar (1970), capitolo 39.
3. S.M. Robinson (1972).

Articolo correlato

• Multifunzione convesso

Bibliografia

• (en) SM Robinson (1972). Processi convessi normati. Traduzioni dell'American Mathematical Society , 174, 127-140.
• (en) RT Rockafellar (1967). Processi monotoni di tipo convesso e concavo . Memoirs of the American Mathematical Society, 77. American Mathematical Society, Providence, RI, USA.
• (en) RT Rockafellar (1970). Analisi convessa . Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.

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