In matematica , un gruppo di tipo Lie G (k) è un gruppo (non necessariamente finito) di punti razionali di un gruppo algebrico lineare riduttivo G con valore nel campo commutativo k . La classificazione dei gruppi semplici finiti mostra che i gruppi di tipi di Lie finiti formano la maggior parte dei gruppi semplici finiti . Casi speciali includono i gruppi classici , i gruppi di Chevalley , i gruppi Steinberg e i gruppi Suzuki-Ree .
Un primo approccio è la definizione e lo studio dettagliato dei cosiddetti gruppi classici su campi finiti e simili. Molto lavoro è stato fatto su questo, dai tempi di LE Dickson al lavoro di Jean Dieudonné . Ad esempio, Emil Artin ha studiato gli ordini di tali gruppi, al fine di classificare i casi di coincidenza.
Un gruppo classico è grosso modo un gruppo speciale lineare , ortogonale , simplettico o unitario . Ci sono parecchie variazioni minori di queste, ottenute prendendo sottogruppi o quozienti derivati attraverso il centro . Possono essere costruiti su campi finiti (o qualsiasi altro campo) più o meno nello stesso modo in cui sono stati costruiti su numeri reali . Corrispondono alle serie A n , B n , C n , D n , 2 A n e 2 D n dei gruppi Chevalley e Steinberg.
La teoria è stata chiarita dalla teoria dei gruppi algebrici e dal lavoro di Claude Chevalley a metà degli anni Cinquanta sulle algebre di Lie per mezzo dei quali è stato isolato il concetto di gruppo di Chevalley . Chevalley costruì una base chevalley (en) (una sorta di forma integrale) per tutti i semplici complessi di algebre di Lie (o meglio le loro algebre avvolgenti ), che possono essere utilizzate per definire i corrispondenti gruppi algebrici sugli interi . In particolare, potrebbe portare i loro punti a valori in qualsiasi campo finito. Per le algebre di Lie A n , B n , C n e D n , questo ha dato i ben noti gruppi classici, ma la sua costruzione ha dato anche i gruppi associati alle algebre di Lie eccezionali E 6 , E 7 , E 8 , F 4 e G 2 . (Alcuni di questi erano già stati costruiti da Dickson.)
La costruzione di Chevalley non ha fornito tutti i gruppi classici conosciuti: ha omesso i gruppi unitari e i gruppi ortogonali non dispiegati. Robert Steinberg ha trovato una modifica della costruzione di Chevalley che ha portato a questi gruppi e ad alcune nuove famiglie. La sua costruzione è simile alla costruzione usuale del gruppo unitario dal gruppo lineare generale . Il gruppo generale lineare su numeri complessi ha due automorfismi pendolari: una proposta automorfismo diagramma prendendo la trasposizione della inversa , e una data automorfismo campo prendendo il complesso coniugazione . Il gruppo di unità è il gruppo di punti fissi del prodotto di questi due automorfismi. Allo stesso modo, molti gruppi di Chevalley hanno automorfismi di diagramma indotti da automorfismi dei loro diagrammi Dynkin e automorfismi di campo indotti da automorfismi di un campo finito. Steinberg costruì famiglie di gruppi prendendo punti fissi di un prodotto di un automorfismo di diagramma e di un automorfismo di campo. Questi hanno dato
(I gruppi di tipo 3 D 4 non hanno analoghi sui numeri reali, perché i numeri complessi non hanno automorfismo di ordine 3.)
Intorno al 1960, Michio Suzuki (in) una sensazione scoprendo una nuova serie infinita di gruppi che sembravano, a prima vista, estranei ai gruppi algebrici conosciuti. Rimhak Ree (in) sapeva che il gruppo algebrico B 2 aveva un automorfismo "extra" nella caratteristica 2, il quadrato era l' automorfismo di Frobenius .
Ha scoperto che se un campo finito di caratteristica 2 ha anche un automorfismo il cui quadrato è la mappa di Frobenius, allora un analogo della costruzione di Steinberg fornisce i gruppi Suzuki. I corpi che possiedono un tale automorfismo sono quelli di ordine 2 2 n +1 , ei gruppi corrispondenti sono i gruppi Suzuki
2 B 2 (2 2 n +1 ) = Suz (2 2 n +1 )(A rigor di termini, il gruppo Suz (2) non è considerato un gruppo Suzuki perché non è semplice: è il gruppo Frobenius di ordine 20). Ree riesce a trovare due nuove famiglie simili
2 F 4 (2 2 n +1 ) e 2 G 2 (3 2 n +1 )di gruppi semplici usando il fatto che F 4 e G 2 hanno automorfismi aggiuntivi nelle caratteristiche 2 e 3. (Fondamentalmente, nella caratteristica p , possiamo ignorare le frecce di molteplicità p nel diagramma di Dynkin quando si considerano gli automorfismi del diagramma). Il gruppo più piccolo 2 F 4 (2) tipo 2 F 4 non è semplice, ma il suo sottogruppo derivato (di indice 2), chiamato gruppo Tits , lo è. Il gruppo più piccolo 3 G 2 (3) di tipo 3 G 2 non è semplice, ma ha un normale sottogruppo di indice 3, isomorfo a SL 2 (8). Nella classificazione dei gruppi semplici finiti , i gruppi di Ree
2 G 2 (3 2 n +1 )sono quelli la cui struttura è la più difficile da chiarire esplicitamente. Questi gruppi hanno anche svolto un ruolo nella scoperta del primo gruppo sporadico moderno. Hanno centralizzatori di involuzione della forma ℤ / 2ℤ × PSL 2 ( q ) per q = 3 n , e studiando gruppi con un centralizzatore di involuzione di forma simile ℤ / 2ℤ × PSL 2 (5)
Janko ha scoperto lo sporadico gruppo J 1 .
Molti dei gruppi più piccoli nelle famiglie di cui sopra hanno proprietà speciali non condivise dalla maggior parte dei membri della famiglia.
Per un elenco completo di queste eccezioni, vedere l' elenco dei gruppi finiti semplici . Molte di queste proprietà speciali sono legate ad alcuni singoli gruppi sporadici. L'esistenza di questi "piccoli" fenomeni non è del tutto una questione di " banalità "; si riflettono altrove, ad esempio nella teoria dell'omotopia .
I gruppi alternativi a volte si comportano come se fossero gruppi di tipi di Lie su un campo a 1 elemento (ma tale campo non esiste). Alcuni dei piccoli gruppi alternati hanno anche proprietà eccezionali. I gruppi alternati di solito hanno un gruppo automorfismo esterno di ordine 2, ma il gruppo alternato a 6 punti ha un gruppo automorfismo esterno di ordine 4. I gruppi alternati generalmente hanno un moltiplicatore Schur di ordine 2, ma quelli su 6 o 7 punti hanno un moltiplicatore Schur dell'ordine 6.
Sfortunatamente, non esiste una notazione standard per i gruppi di tipo Lie finiti e la letteratura contiene dozzine di sistemi di notazione incompatibili e confusi.