In matematica , più precisamente in algebra , un gruppo abeliano (dal nome di Niels Abel ), o gruppo commutativo , è un gruppo la cui legge interna di composizione è commutativa . Visto altrimenti, un gruppo commutativo può anche essere definito come un modulo sul anello commutativo ℤ di interi relativi ; lo studio dei gruppi abeliani appare quindi come un caso particolare della teoria del modulo.
Sappiamo come classificare in modo semplice e modo esplicito i gruppi abeliani di tipo finito fino a isomorfismo , e in particolare per descrivere i gruppi abeliani finiti .
Diciamo che un gruppo è abeliano, o commutativo, quando la legge di composizione interna del gruppo è commutativa , cioè quando:
per tuttiLa legge di un gruppo commutativo è talvolta annotata in modo additivo, cioè dal segno +. Quando viene adottata questa convenzione, l' elemento neutro è indicato con 0, il simmetrico di un elemento x del gruppo è indicato con - x e, per ogni intero relativo n , si denota:
Per l' elemento x di un gruppo abeliano indicato in modo additivo e n intero relativo, abbiamo definito sopra l'elemento nx del gruppo. Il gruppo appare così come un modulo sulla anello ℤ di numeri interi. Al contrario, qualsiasi modulo ℤ si ottiene in questo modo.
Questo processo permette di concepire la teoria dei gruppi commutativi come un caso particolare della teoria dei moduli; nella direzione opposta, alcuni risultati dichiarati nel contesto di gruppi commutativi possono essere generalizzati a classi di moduli più grandi, in particolare la classe di moduli su un anello principale . Quindi un riciclo della dimostrazione del teorema di struttura di gruppi abeliani di tipo finito permette di dimostrare un teorema analogo valido su qualsiasi anello principale, esso stesso applicabile a tutte le altre questioni - in particolare la classificazione con similarità vicino a matrici con coefficienti in a campo commutativo .
Chiamiamo un gruppo abeliano libero un gruppo abeliano che è libero come modulo ℤ (e non come gruppo ), vale a dire che ha una base .
Come gli spazi vettoriali , i gruppi abeliani liberi sono classificati (fino all'isomorfismo ) in base al loro rango, definito come il cardinale di una base, e qualsiasi sottogruppo di un gruppo abeliano libero è esso stesso abeliano libero. Qualsiasi gruppo abeliano è quindi isomorfo al quoziente di un gruppo abeliano libero da un sottogruppo abeliano libero.
Sono, per definizione, i gruppi abeliani che hanno una parte generatrice finita: quindi in particolare i gruppi abeliani finiti e le reti di uno spazio euclideo.
I prodotti finiti, i quozienti, ma anche i sottogruppi di gruppi abeliani di tipo finito sono essi stessi di tipo finito. Un teorema di struttura dei gruppi abeliani di tipo finito permette di chiarire l'elenco completo di questi gruppi fino all'isomorfismo; mostra in particolare che qualsiasi gruppo abeliano di tipo finito è un prodotto finito di gruppi ciclici . In particolare, un gruppo abeliano di tipo finito che non ha elementi di ordine finito (eccetto il neutro) è libero abeliano.
Un gruppo abeliano G si dice divisibile quando per ogni intero n > 0, G = nG . I suoi archetipi sono il gruppo additivo ℚ dei numeri razionali e i gruppi p - Prüfer . Un teorema di struttura dei gruppi abeliani divisibili mostra che ogni gruppo divisibile è una somma diretta (finita o infinita) di copie di questi modelli.
La categoria di tutti i gruppi abeliani è il prototipo di una categoria abeliana .
Wanda Szmielew (de) , una studentessa di Tarski , dimostrò nel 1955 che la teoria del primo ordine dei gruppi abeliani è decidibile (a differenza della teoria dei gruppi del primo ordine).
(en) László Fuchs (en) , Abelian Groups , Pergamon Press ,1960, 3 e ed. ( 1 st ed. 1958) ( leggi in linea )