Somma diretta

In matematica , e più precisamente in algebra , il termine somma diretta designa insiemi dotati di determinate strutture , spesso costruiti dal prodotto cartesiano di altri insiemi dello stesso tipo, e verificando la proprietà universale della somma (o "co-prodotto") ai sensi delle categorie .

Somme dirette di gruppi abeliani

Somma diretta interna di sottospazi vettoriali

Somma diretta di due sottospazi vettoriali

Lasciare F 1 e F 2 due sottospazi vettoriale di uno spazio vettoriale E . Diciamo che F 1 e F 2 sono una somma diretta se, per qualsiasi elemento u della somma F 1 + F 2 , esiste una coppia unica ( u 1 , u 2 ) di F 1 × F 2 tale che u = u 1 + u 2 . In altre parole, F 1 e F 2 sono sommati diretti se la scomposizione di un qualsiasi elemento di F 1 + F 2 in somma di un elemento di F 1 e di un elemento di F 2 è unica .

Diciamo anche in questo caso che la somma F 1 + F 2 è diretta, e quindi la denotiamo F 1 ⊕ F 2 .

F 1 e F 2 sono sommati diretti se e solo se soddisfano una delle seguenti proprietà equivalenti, dove 0 denota il vettore zero di E :

per tutti u 1 di F 1 e u 2 di F 2 , u 1 + u 2 = 0 ⇒ u 1 = u 2 = 0;
F 1 ∩ F 2 = {0};
c'è una base di F 1 e una base di F 2 che, poste un'estremità all'altra, formano una base di F 1 + F 2 ;
qualsiasi base di F 1 e F 2 , posta da un capo all'altro, forma una base di F 1 + F 2 .

Caso di dimensione finita : quando F 1 e F 2 sono di dimensioni finite , la somma F 1 + F 2 è diretta se e solo se dim ( F 1 ) + dim ( F 2 ) = dim ( F 1 + F 2 ).

Sottospazi aggiuntivi : due sottospazi F 1 e F 2 di E si dicono aggiuntivi quando E = F 1 ⊕ F 2 . Ciò significa che per ogni elemento u di E , esiste una coppia unica ( u 1 , u 2 ) di F 1 × F 2 tale che u = u 1 + u 2 .

Somma diretta di una famiglia di sottospazi vettoriali

Possiamo generalizzare la nozione di somma diretta a qualsiasi famiglia ( F i ) i ∈ I di sottospazi vettoriali di E (indicizzati da un insieme finito o infinito I ). Diciamo che questa famiglia è sommatoria diretta se un qualsiasi vettore u della somma ∑ i ∈ I F i si decompone in modo univoco nella forma u = ∑ i ∈ I u i con u i ∈ F i quasi tutto zero ( c. cioè tutti tranne un numero finito). In altre parole, la famiglia è sommatoria diretta se la scomposizione di un qualsiasi elemento u di ∑ i ∈ I F i nella somma degli elementi di F i è unica.

Diciamo anche in questo caso che la somma ∑ i ∈ I F i è diretta, e la denotiamo allora ⊕ i ∈ I F i .

Come nel caso di due sottospazi vettoriali, la famiglia ( F i ) i ∈ I è sommatoria diretta se e solo se soddisfa una delle seguenti proprietà equivalenti:

se 0 = ∑ i ∈ I u i con u i ∈ F i (quasi tutto zero), allora tutti gli u i sono zero;
esistono delle basi della F i (una per ciascuna) che, poste una per l'altra, formano una base di ∑ i ∈ I F i ;
qualsiasi base di F i (una per ciascuna), posta da un'estremità all'altra, forma una base di ∑ i ∈ I F i .

Quando gli F i sono in somma diretta abbiamo quindi, qualunque sia la loro dimensione (finita o infinita): dim (⊕ i ∈ I F i ) = ∑ i ∈ I dim ( F i ).

Esempio : sia f un endomorfismo di E e per ciascuno dei suoi autovalori λ, sia E λ = ker ( f - λ $id$ E ) il sottospazio autogeno associato. Allora le E λ sono somma diretta, e se questa somma è uguale a E , diciamo che f è diagonalizzabile . Quando questo è il caso, si tratta di un vettore E di base specifico per f concatenando una base di ciascuno di E λ .

Dalle caratterizzazioni equivalenti precedenti risulta che una famiglia finita ( F 1 ,…, F n ) è in somma diretta se e solo se ciascuno dei sottospazi è in somma diretta con la somma dei precedenti, cioè d. : $\ \ forall k \ in \ left \ {1, ..., n-1 \ right \}, \ \ left (\ sum _ {{i = 1}} ^ {{k}} F _ {{i} } \ right) \ cap F _ {{k + 1}} = \ left \ {0 \ right \}.$

Se F 1 , ..., F n sono di dimensioni finite, deduciamo che (come per n = 2) la loro somma è diretta se e solo se $\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} \ dim F_ {i} = \ dim \ left (\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} F_ {i} \ right).$

Nota : la proprietà di essere sommariamente diretta è ovviamente conservata dalle sottofamiglie.

Ad esempio, se ( F i ) i ∈ I è sommariamente diretto, allora ciascuna sottofamiglia di due di F i è, in altre parole: per tutti i distinti i e j , F i ∩ F j = {0}.

Il contrario è falso: per esempio tre linee vettoriali complanari non sono mai sommate dirette, mentre due qualsiasi di esse lo sono non appena sono distinte.

Somma diretta ortogonale

In uno spazio prehilbertiano ( reale o complesso ), qualsiasi famiglia di due per due sottospazi ortogonali (ad esempio: un sottospazio F e il suo ortogonale F ⊥ ) è in somma diretta. Tale somma è chiamata " somma ortogonale diretta (di) ". Se lo spazio prehilbertiano è euclideo o hermitiano , cioè di dimensione finita , una famiglia di sottospazi è ortogonale in somma diretta se e solo se, concatenando una base ortonormale di ogni sottospazio, si costituisce una base ortonormale della loro somma.

Il F ⊥ ortogonale di F , quando è supplementare ad esso, è chiamato il suo suono supplementare ortogonale. Condizione sufficiente per questo è che F sia completa (cosa che si ottiene in particolare se è di dimensione finita ). Questa domanda è correlata alla possibilità di eseguire una proiezione ortogonale .

Somma diretta esterna

Definizione

Sia ( E i ) i ∈ I una famiglia di anelli , o di moduli sullo stesso anello (ad esempio gruppi abeliani o spazi vettoriali sullo stesso campo ). Costruiamo la sua "somma esterna diretta" (o semplicemente "somma diretta"), indicata con (⊕ i ∈ I E i , (ϕ i ) i ∈ I ), come segue:

nel suo prodotto diretto ∏ i ∈ I E i , che è quindi una struttura algebrica dello stesso tipo, le famiglie ( u i ) i ∈ I a supporto finito (cioè le cui u i sono quasi tutte nulle) formano una sottostruttura, annotata ⊕ i ∈ I E i . (Quando I è finito, abbiamo quindi ⊕ i ∈ I E i = ∏ i ∈ I E i .)
per ogni indice i , il morfismo canonico ϕ i : E i → ⊕ j ∈ I E j è definito da: per ogni x i ∈ E i , ϕ i ( x i ) è la famiglia la cui i -esima componente è x i e le altre componenti sono zero.

Proprietà universale

La somma esterna diretta è una somma nel senso di categorie, vale a dire che (per i moduli, ad esempio):

Sia A un anello, ( E i ) i ∈ I una famiglia di moduli A e (⊕ i ∈ I E i , (ϕ i ) i ∈ I ) la sua somma esterna diretta.

Quindi, per ogni famiglia ( f i : E i → F ) i ∈ I di mappe lineari con valori in uno stesso modulo A- F , esiste un'unica mappa A- lineare f : ⊕ i ∈ I E i → F tale che per ogni indice i , f ∘ ϕ i = f i .

Dimostrazione

Per analisi-sintesi :

Supponiamo che esista un tale . In entrambi i casi ; per A- linearità, abbiamo: $f$ ${\ displaystyle x = (x_ {i}) _ {i \ in I} \ in \ bigoplus _ {i \ in I} E_ {i}}$ $f (x) = f \ sinistra (\ sum _ {{i \ in I}} \ phi _ {i} (x_ {i}) \ right) = \ sum _ {{i \ in I}} f (\ phi _ {i} (x_ {i})) = \ sum _ {{i \ in I}} f_ {i} (x_ {i})$ (dove le somme sono infatti finite), che garantisce l'unicità di . $f$
Quindi chiediamolo ${\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & \ bigoplus _ {i \ in I} E_ {i} & \ to & F \\ & (x_ {i}) _ {i \ in I} & \ mapsto & \ sum _ {i \ in I} f_ {i} (x_ {i}) ~; \ end {matrice}}}$ l' essere lineare, è lineare. In entrambi i casi , abbiamo ( $δ$ $ik che$ denota il simbolo Kronecker ): $f_ {i}$ $f$
${\ displaystyle x_ {i} \ in E_ {i}}$ $f \ circ \ phi _ {i} (x_ {i}) = f ((x_ {i} \ delta _ {{ik}}) _ {{k \ in I}}) = \ sum _ {{k \ in I}} f_ {k} (x_ {i} \ delta _ {{ik}}) = f_ {i} (x_ {i}) ~;$ così abbiamo bene , quindi esiste bene. $f \ circ \ phi _ {i} = f_ {i}$ $f$

Collegamenti con la somma diretta interna

La somma esterna diretta definita qui e la somma "interna" diretta definita sopra hanno un nome e una notazione comuni. Ciò è giustificato dai seguenti link.

Ogni E i “precipita” nella somma esterna diretta ⊕ j ∈ I E j , per morfismo canonico ϕ i ( iniettiva ).
L'immagine di E i in ⊕ j ∈ I E j è un sottomodulo F i isomorfo a E i . Questi F i sono in somma diretti ela somma esterna diretta ⊕ i ∈ I E i è uguale alla somma "interna" diretta ⊕ i ∈ I F i (quindi per gli spazi vettoriali, dim (⊕ i ∈ I E i ) = dim (⊕ i ∈ I F i ) = ∑ i ∈ I dim ( F i ) = ∑ i ∈ I dim ( E i )).
Possiamo, con la nozione di somma diretta esterna, ridefinire quella di somma diretta "interna": una famiglia ( F i ) i ∈ I di sottomoduli di E è in somma diretta se e solo se la somma morfismo - che risulta dall'universale proprietà sotto e va dalla somma esterna diretta F = ⊕ i ∈ I F i in E , associando la sua somma ad una qualsiasi famiglia - è iniettiva (in altre parole: realizza un isomorfismo di F su ∑ i ∈ I F i ).

Somma diretta di Hilbert

Una nozione usata in fisica (vedi " Spazio di Fock ") è quella di "somma di Hilbert diretta" degli spazi di Hilbert . Per ogni famiglia di spazi di Hilbert, questa somma (nella categoria degli spazi di Hilbert) esiste. Può essere fatto in due modi: ${\ displaystyle (H_ {i}) _ {i \ in I}}$ ${\ displaystyle \ bigoplus _ {i \ in I} H_ {i}}$

dal completando spazio prehilbertian costituito dalla loro somma algebrica esterna diretta visto sopra (se è finita, questa somma algebrica è già completa ); $io$
più direttamente, considerando, nello spazio vettoriale prodotto , il sottospazio vettoriale costituito da famiglie tale che sia sommabile - il che implica che eccetto per un insieme di indici più numerabile - e fornendo la norma prehilbertiana definita da . Controlliamo che sia completo per questa norma, che deriva dal prodotto scalare definito da: (somma di una serie assolutamente convergente , secondo la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz ). ${\ displaystyle \ prod _ {i \ in I} H_ {i}}$ $H$ ${\ displaystyle h = (h_ {i}) _ {i \ in I} \ in \ prod _ {i \ in I} H_ {i}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} \ | h_ {i} \ | ^ {2}}$ ${\ displaystyle h_ {i} = 0}$ $io$ $H$ ${\ displaystyle \ | h \ | ^ {2}: = \ sum _ {i \ in I} \ | h_ {i} \ | ^ {2}}$ $H$ ${\ Displaystyle \ forall h, h '\ in H \ quad \ langle h \ mid h' \ rangle: = \ sum _ {i \ in I} \ langle h_ {i} \ mid h '_ {i} \ rangle }$

Ciascuno è isomorfo (nel senso degli spazi di Hilbert, quindi da un'isometria lineare) a un sottospazio chiuso di , tramite iniezione canonica , ed è la somma ortogonale diretta di tutti questi sottospazi. $Ciao$ ${\ displaystyle \ bigoplus _ {j \ in I} H_ {j}}$ ${\ displaystyle H_ {i} \ rightarrow \ bigoplus _ {j \ in I} H_ {j}}$ ${\ displaystyle \ bigoplus _ {j \ in I} H_ {j}}$

Nel caso particolare in cui ciascuno è di dimensione $1$ , è isomorfo allo spazio $ℓ$ $2$ $($ $I$ $)$ . $Ciao$ ${\ displaystyle \ bigoplus _ {i \ in I} H_ {i}}$

Nella teoria delle categorie: il paradigma delle categorie lineari

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La somma diretta è la somma (o co-prodotto) nella categoria degli spazi vettoriali su un campo fisso; vale a dire, ingenuamente, che la somma diretta consiste nel "riunire" due spazi vettoriali in un terzo, limitando il loro "telescoping" al minimo stretto, vale a dire il vettore zero (allo stesso modo degli insiemi di unione disgiunti consistono di riunire i rispettivi elementi in un nuovo set, evitando di incastrare elementi identici se provengono da set separati).

Tuttavia, la particolarità di questo co-prodotto è che è isomorfo al prodotto , il che non è il caso in tutte le categorie. Ad esempio, nella categoria degli insiemi , non solo il prodotto (cioè il prodotto cartesiano ) non è isomorfo al co-prodotto che è la riunione disgiunta, ma il prodotto è distributivo sul co-prodotto, così come l'aritmetica elementare è il prodotto è distributivo sulla somma.

Osservando che la categoria ha generalmente uno o l'altro aspetto - mutuamente esclusivo - William Lawvere propone di chiamare categorie distributive (in) quelle in cui il prodotto è distributivo sul coprodotto (che, in questo contesto, può legittimamente prendere nome sommario ), e " categorie lineari "quelle in cui, come in algebra lineare , il prodotto e il coprodotto sono isomorfi .

Note e riferimenti

Jean-Pierre Ramis , André Warusfel et al. , Matematica. All-in-one per la licenza , vol. 2, Dunod ,2014, 2 ° ed. ( 1 st ed. 2007) ( leggi in linea ) , p. 146, considera solo il caso di una famiglia finita.
N. Bourbaki , Elementi di matematica , p. A II.12, nel caso dei moduli.
(in) William Lawvere, Categories of Space and of Quantity , 1992, p. 16 mq ; cfr. anche Matematica concettuale , p. 276 mq .