Funzione circolare reciproca
Le funzioni circolari reciproche , o funzioni trigonometriche inverse sono le funzioni inverse delle funzioni trigonometriche , per definire gli intervalli precisi. Le funzioni reciproche delle funzioni seno , coseno , tangente , cotangente , secante e cosecante sono chiamate arco seno , arco coseno , arco tangente , arco cotangente , arco secante e arco cosecante .
Le funzioni circolari reciproche vengono utilizzate per ottenere un angolo da una qualsiasi delle sue linee trigonometriche, ma anche per chiarire le primitive di alcune funzioni. Sono ampiamente utilizzati in ingegneria , navigazione , fisica e geometria .
Nomi e simboli
I nomi delle funzioni circolari reciproche sono formati facendo precedere il nome della funzione circolare corrispondente con la parola arco : arcoseno per il seno, arcocoseno per il coseno, ecc.
Per denotare le reciproche funzioni circolari usiamo simboli diversi:
- l'uso più comune è quello di prendere il simbolo della funzione circolare e farlo precedere dal prefisso arc- : arcsin ( x ) per l'arcoseno di x , arccos ( x ) per il suo arco coseno, ecc. Salvo diversa indicazione, questi simboli rappresentano i valori principali (vedi sotto );
- nei linguaggi dei computer questi simboli sono spesso abbreviati in asin, acos, ecc. (o arsin, arcos, ecc. );
- un altro uso è mettere una lettera iniziale maiuscola al nome della funzione quando si tratta del valore principale, e considerare il simbolo senza lettera maiuscola come rappresentante la funzione reciproca multivalore . Secondo questa notazione, Arcsin ( x ), ad esempio, è l'angolo tra -π/2e +π/2il cui seno è x , mentre arcsin ( x ) rappresenta qualsiasi angolo il cui seno è x ;
- I testi inglesi usano spesso i simboli sin −1 , cos −1 , ecc. Questa notazione, introdotta da John Herschel nel 1813, è coerente con la composizione delle funzioni (il reciproco di una funzione f è spesso chiamato inverso di f e annotato f −1 ), ma non è con l'uso scrivere sin 2 ( x ) e sin 3 ( x ) a significare [sin ( x )] 2 e [sin ( x )] 3 : rischiamo di confondere sin −1 ( x ) con [sin ( x )] - 1 i.e.1/peccato ( x ).
Proprietà fondamentali
Valori principali
Le funzioni circolari non essendo iniettive , le loro funzioni reciproche sono a priori multivalore . Per definire univocamente queste funzioni reciproche è necessario limitare ciascuna funzione circolare a un intervallo su cui è biiettiva ( ramo principale ). La corrispondente funzione reciproca è chiamata valore principale (in) .
Nome
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Notazione usuale
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Definizione
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Campo di definizione
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Dominio immagine ( radianti )
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Dominio dell'immagine ( gradi )
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arco sinusale |
y = arcsin ( x ) |
x = sin ( y ) |
−1 ≤ x ≤ 1 |
-π/2≤ y ≤π/2
|
−90 ° ≤ y ≤ 90 °
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arco coseno |
y = arccos ( x ) |
x = cos ( y ) |
−1 ≤ x ≤ 1 |
0 ≤ y ≤ π
|
0 ≤ y ≤ 180 °
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arco tangente |
y = arctan ( x ) |
x = tan ( y ) |
tutti i numeri reali |
-π/2< y <π/2
|
−90 ° < y <90 °
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arco cotangente |
y = arccot ( x ) |
x = lettino ( y ) |
tutti i numeri reali
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0 < y < π
|
0 < y <180 °
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arco secante |
y = arcsec ( x ) |
x = sec ( y ) |
x ≤ −1 ox ≥ 1 |
0 ≤ y <π/2 o π/2< y ≤ π
|
0 ≤ y <90 ° o 90 ° < y ≤ 180 °
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arco cosecante |
y = arccsc ( x ) |
x = csc ( y ) |
x ≤ −1 ox ≥ 1 |
-π/2≤ y <0 o 0 < y ≤π/2
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−90 ° ≤ y <0 o 0 < y ≤ 90 °
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Se x è un numero complesso (vedi sotto ), il dominio dell'immagine sopra indicato si applica solo alla parte reale di y .
Funzioni reciproche multivalore
Nelle formule seguenti, k indica qualsiasi numero intero .
-
X=peccato(y)⇔y=arcsin(X)+2πK o y=π-arcsin(X)+2πK{\ Displaystyle x = \ sin (y) \; \ Leftrightarrow \; y = \ arcsin (x) +2 \ pi k \; {\ text {o}} \; y = \ pi - \ arcsin (x) + 2 \ pi k}
oppure, in un'unica formula: X=peccato(y)⇔y=(-1)Karcsin(X)+πK{\ Displaystyle x = \ sin (y) \; \ Leftrightarrow \; y = (- 1) ^ {k} \ arcsin (x) + \ pi k}
-
X=cos(y)⇔y=arccos(X)+2πK o y=2π-arccos(X)+2πK{\ Displaystyle x = \ cos (y) \; \ Leftrightarrow \; y = \ arccos (x) +2 \ pi k \; {\ text {o}} \; y = 2 \ pi - \ arccos (x) +2 \ pi k}
oppure, in un'unica formula: X=cos(y)⇔y=±arccos(X)+2πK{\ Displaystyle x = \ cos (y) \; \ Leftrightarrow \; y = \ pm \ arccos (x) +2 \ pi k}
- X=abbronzatura(y)⇔y=arctan(X)+πK{\ Displaystyle x = \ tan (y) \; \ Leftrightarrow \; y = \ arctan (x) + \ pi k}
![{\ Displaystyle x = \ tan (y) \; \ Leftrightarrow \; y = \ arctan (x) + \ pi k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83c8e72f7734b72a061d26c7d91cb2f5e1da6a7f)
- X=costo(y)⇔y=arccot(X)+πK{\ Displaystyle x = \ cot (y) \; \ Leftrightarrow \; y = \ operatorname {arccot} (x) + \ pi k}
![{\ Displaystyle x = \ cot (y) \; \ Leftrightarrow \; y = \ operatorname {arccot} (x) + \ pi k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/325fe4fc0cbfb7f76239f1379475c1ade2c159ed)
-
X=asciutto(y)⇔y=arcsec(X)+2πK o y=2π-arcsec(X)+2πK{\ Displaystyle x = \ sec (y) \; \ Leftrightarrow \; y = \ operatorname {arcsec} (x) +2 \ pi k {\ text {o}} y = 2 \ pi - \ operatorname {arcsec} ( x) +2 \ pi k}
oppure, in un'unica formula: X=asciutto(y)⇔y=±arcsec(X)+2πK{\ Displaystyle x = \ sec (y) \; \ Leftrightarrow \; y = \ pm \ operatorname {arcsec} (x) +2 \ pi k}
-
X=csc(y)⇔y=arccsc(X)+2πK o y=π-arccsc(X)+2πK{\ Displaystyle x = \ csc (y) \; \ Leftrightarrow \; y = \ operatorname {arccsc} (x) +2 \ pi k {\ text {o}} y = \ pi - \ operatorname {arccsc} (x ) +2 \ pi k}
oppure, in un'unica formula: X=csc(y)⇔y=(-1)Karccsc(X)+πK{\ Displaystyle x = \ csc (y) \; \ Leftrightarrow \; y = (- 1) ^ {k} \ operatorname {arccsc} (x) + \ pi k}
Dimostrazione
Ciascuna delle funzioni seno , coseno , secante e cosecante è periodica con periodo 2π e assume ogni valore due volte nello stesso periodo. Ciascuna delle funzioni tangente e cotangente è periodica con periodo π e assume ogni valore una volta nello stesso periodo.
- Il seno è biunivoca sul intervallo , quindi su questo intervallo . È simmetrico rispetto all'argomento[-π2,π2]{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right]}
X=peccato(y)⇒y=arcsin(X){\ Displaystyle x = \ sin (y) \ Rightarrow y = \ arcsin (x)}
π/2(cioè, sin (π– y ) = sin ( y ) ), quindi nell'intervallo . Combinando questi due risultati lo vediamo nell'intervallo . Il seno è periodico con periodo 2π , quindi alla fine .[π2,3π2]{\ displaystyle \ left [{\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {3 \ pi} {2}} \ right]}
X=peccato(y)⇒y=π-arcsin(X){\ Displaystyle x = \ sin (y) \ Rightarrow y = \ pi - \ arcsin (x)}
[-π2,3π2]{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {3 \ pi} {2}} \ right]}
X=peccato(y)⇒y=arcsin(X) o y=π-arcsin(X){\ Displaystyle x = \ sin (y) \ Freccia destra y = \ arcsin (x) \; {\ text {o}} \; y = \ pi - \ arcsin (x)}
X=peccato(y)⇒y=arcsin(X)+2πK o y=π-arcsin(X)+2πK{\ Displaystyle x = \ sin (y) \ Freccia destra y = \ arcsin (x) +2 \ pi k \; {\ text {o}} \; y = \ pi - \ arcsin (x) +2 \ pi k }![{\ Displaystyle x = \ sin (y) \ Freccia destra y = \ arcsin (x) +2 \ pi k \; {\ text {o}} \; y = \ pi - \ arcsin (x) +2 \ pi k }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07c77e97a3298a83ae857f08c0e5745c235354e2)
- Il coseno è biettivo nell'intervallo [0; π] , quindi su questo intervallo . È simmetrico rispetto all'argomento π (cioè, ), quindi sull'intervallo . Combinando questi due risultati vediamo che nell'intervallo [0; 2π] . Il coseno è periodico con periodo 2π , quindi alla fine .X=cos(y)⇒y=arccos(X){\ Displaystyle x = \ cos (y) \ Rightarrow y = \ arccos (x)}
cos(2π-y)=cos(y){\ displaystyle \ cos (2 \ pi -y) = \ cos (y)}
[π,2π]{\ displaystyle \ sinistra [\ pi, 2 \ pi \ right]}
X=cos(y)⇒y=2π-arccos(X){\ Displaystyle x = \ cos (y) \ Rightarrow y = 2 \ pi - \ arccos (x)}
X=cos(y)⇒y=arccos(X) o y=2π-arccos(X){\ Displaystyle x = \ cos (y) \ Freccia destra y = \ arccos (x) \; {\ text {o}} \; y = 2 \ pi - \ arccos (x)}
X=cos(y)⇒y=arccos(X)+2πK o y=2π-arccos(X)+2πK{\ Displaystyle x = \ cos (y) \ Freccia destra y = \ arccos (x) +2 \ pi k \; {\ text {o}} \; y = 2 \ pi - \ arccos (x) +2 \ pi K}![{\ Displaystyle x = \ cos (y) \ Freccia destra y = \ arccos (x) +2 \ pi k \; {\ text {o}} \; y = 2 \ pi - \ arccos (x) +2 \ pi K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4437e8e2461f353dfb46ff1623b4f8e9f5f900a)
- Per la secante, il ragionamento è lo stesso del coseno.
- Per la cosecante, il ragionamento è lo stesso del seno.
- La tangente è biiettiva sull'intervallo , quindi su questo intervallo . È periodico con periodo π , quindi alla fine .]-π2,π2[{\ displaystyle \ left] - {\ frac {\ pi} {2}}, {\ frac {\ pi} {2}} \ right [}
X=abbronzatura(y)⇒y=arctan(X){\ Displaystyle x = \ tan (y) \ Rightarrow y = \ arctan (x)}
X=abbronzatura(y)⇒y=arctan(X)+πK{\ Displaystyle x = \ tan (y) \; \ Rightarrow \; y = \ arctan (x) + \ pi k}![{\ Displaystyle x = \ tan (y) \; \ Rightarrow \; y = \ arctan (x) + \ pi k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71f29920e2d5ef08134225fb150f3cdcfd4449c6)
- Per la cotangente, il ragionamento è lo stesso della tangente.
Relazioni tra funzioni circolari e reciproche funzioni circolari
La tabella seguente mostra il risultato di funzioni circolari applicate a funzioni circolari reciproche. Questi valori possono essere facilmente trovati considerando un triangolo rettangolo con un lato di lunghezza x (qualsiasi numero reale compreso tra 0 e 1) e l'altro di lunghezza unitaria.
θ{\ displaystyle \ theta}
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peccato(θ){\ displaystyle \ sin (\ theta)}
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cos(θ){\ displaystyle \ cos (\ theta)}
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abbronzatura(θ){\ displaystyle \ tan (\ theta)}
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Diagramma
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arcsin(X){\ displaystyle \ arcsin (x)}
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peccato[arcsin(X)]=X{\ Displaystyle \ sin [\ arcsin (x)] = x}
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cos[arcsin(X)]=1-X2{\ displaystyle \ cos [\ arcsin (x)] = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}
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abbronzatura[arcsin(X)]=X1-X2{\ displaystyle \ tan [\ arcsin (x)] = {\ frac {x} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}
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arccos(X){\ displaystyle \ arccos (x)}
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peccato[arccos(X)]=1-X2{\ displaystyle \ sin [\ arccos (x)] = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}
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cos[arccos(X)]=X{\ displaystyle \ cos [\ arccos (x)] = x}
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abbronzatura[arccos(X)]=1-X2X{\ displaystyle \ tan [\ arccos (x)] = {\ frac {\ sqrt {1-x ^ {2}}} {x}}}
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arctan(X){\ displaystyle \ arctan (x)}
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peccato[arctan(X)]=X1+X2{\ displaystyle \ sin [\ arctan (x)] = {\ frac {x} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}
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cos[arctan(X)]=11+X2{\ displaystyle \ cos [\ arctan (x)] = {\ frac {1} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}
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abbronzatura[arctan(X)]=X{\ displaystyle \ tan [\ arctan (x)] = x}
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arccsc(X){\ Displaystyle \ operatorname {arccsc} (x)}
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peccato[arccsc(X)]=1X{\ Displaystyle \ sin [\ operatorname {arccsc} (x)] = {\ frac {1} {x}}}
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cos[arccsc(X)]=X2-1X{\ displaystyle \ cos [\ operatorname {arccsc} (x)] = {\ frac {\ sqrt {x ^ {2} -1}} {x}}}
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abbronzatura[arccsc(X)]=1X2-1{\ Displaystyle \ tan [\ operatorname {arccsc} (x)] = {\ frac {1} {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}}
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arcsec(X){\ Displaystyle \ operatorname {arcsec} (x)}
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peccato[arcsec(X)]=X2-1X{\ Displaystyle \ sin [\ operatorname {arcsec} (x)] = {\ frac {\ sqrt {x ^ {2} -1}} {x}}}
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cos[arcsec(X)]=1X{\ Displaystyle \ cos [\ operatorname {arcsec} (x)] = {\ frac {1} {x}}}
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abbronzatura[arcsec(X)]=X2-1{\ Displaystyle \ tan [\ operatorname {arcsec} (x)] = {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}
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arccot(X){\ Displaystyle \ operatorname {arccot} (x)}
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peccato[arccot(X)]=11+X2{\ displaystyle \ sin [\ operatorname {arccot} (x)] = {\ frac {1} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}
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cos[arccot(X)]=X1+X2{\ displaystyle \ cos [\ operatorname {arccot} (x)] = {\ frac {x} {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}}
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abbronzatura[arccot(X)]=1X{\ Displaystyle \ tan [\ operatorname {arccot} (x)] = {\ frac {1} {x}}}
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Relazioni tra funzioni circolari reciproche
Angoli complementari
arccos(X)=π2-arcsin(X)arccot(X)=π2-arctan(X)arccsc(X)=π2-arcsec(X){\ displaystyle {\ begin {align} \ arccos (x) & = {\ frac {\ pi} {2}} - \ arcsin (x) \\ [0.5em] \ operatorname {arccot} (x) & = { \ frac {\ pi} {2}} - \ arctan (x) \\ [0.5em] \ operatorname {arccsc} (x) & = {\ frac {\ pi} {2}} - \ operatorname {arcsec} ( x) \ end {allineato}}}
Argomenti opposti
arcsin(-X)=-arcsin(X)arccos(-X)=π-arccos(X)arctan(-X)=-arctan(X)arccot(-X)=π-arccot(X)arcsec(-X)=π-arcsec(X)arccsc(-X)=-arccsc(X){\ displaystyle {\ begin {align} \ arcsin (-x) & = - \ arcsin (x) \\\ arccos (-x) & = \ pi - \ arccos (x) \\\ arctan (-x) & = - \ arctan (x) \\\ operatorname {arccot} (- x) & = \ pi - \ operatorname {arccot} (x) \\\ operatorname {arcsec} (- x) & = \ pi - \ operatorname { arcsec} (x) \\\ operatorname {arccsc} (- x) & = - \ operatorname {arccsc} (x) \ end {align}}}
Argomenti inversi
arccos(1X)=arcsec(X)arcsin(1X)=arccsc(X)arctan(1X)=π2-arctan(X)=arccot(X), Se X>0arctan(1X)=-π2-arctan(X)=arccot(X)-π, Se X<0arccot(1X)=π2-arccot(X)=arctan(X), Se X>0arccot(1X)=3π2-arccot(X)=π+arctan(X), Se X<0arcsec(1X)=arccos(X)arccsc(1X)=arcsin(X){\ displaystyle {\ begin {align} \ arccos \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) & = \ operatorname {arcsec} (x) \\ [0.3em] \ arcsin \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) & = \ operatorname {arccsc} (x) \\ [0.3em] \ arctan \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) & = {\ frac {\ pi} {2}} - \ arctan (x) = \ operatorname {arccot} (x) \ ,, {\ text {si}} x> 0 \\ [0.3em] \ arctan \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) & = - {\ frac {\ pi} {2}} - \ arctan (x) = \ operatorname {arccot} (x) - \ pi \ ,, {\ text {si }} x <0 \\ [0.3em] \ operatorname {arccot} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) & = {\ frac {\ pi} {2}} - \ operatorname {arccot } (x) = \ arctan (x) \ ,, {\ text {si}} x> 0 \\ [0.3em] \ operatorname {arccot} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) & = {\ frac {3 \ pi} {2}} - \ operatorname {arccot} (x) = \ pi + \ arctan (x) \ ,, {\ text {si}} x <0 \\ [0.3em ] \ operatorname {arcsec} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) & = \ arccos (x) \\ [0.3em] \ operatorname {arccsc} \ left ({\ frac {1} { x}} \ right) & = \ arcsin (x) \ end {allineato}}}
Altre formule
Le formule seguenti sono utili, sia quando abbiamo una tabella incompleta (ad esempio, per la prima, quando la tabella elenca solo argomenti inferiori a ½), sia per semplificare le formule ottenute durante un calcolo di primitive (quando si incontra una delle seconde membri indicati).
arccos(X)=arcsin(1-X2), Se 0≤X≤1arccos(X)=12arccos(2X2-1), Se 0≤X≤1arcsin(X)=12arccos(1-2X2), Se 0≤X≤1arctan(X)=arcsin(XX2+1){\ displaystyle {\ begin {align} \ arccos (x) & = \ arcsin \ left ({\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ right) \ ,, {\ text {si}} 0 \ leq x \ leq 1 \\\ arccos (x) & = {\ frac {1} {2}} \ arccos \ left (2x ^ {2} -1 \ right) \ ,, {\ text {si}} 0 \ leq x \ leq 1 \\\ arcsin (x) & = {\ frac {1} {2}} \ arccos \ left (1-2x ^ {2} \ right) \ ,, {\ text {si}} 0 \ leq x \ leq 1 \\\ arctan (x) & = \ arcsin \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} +1}}} \ right) \ end {align}}}![{\ displaystyle {\ begin {align} \ arccos (x) & = \ arcsin \ left ({\ sqrt {1-x ^ {2}}} \ right) \ ,, {\ text {si}} 0 \ leq x \ leq 1 \\\ arccos (x) & = {\ frac {1} {2}} \ arccos \ left (2x ^ {2} -1 \ right) \ ,, {\ text {si}} 0 \ leq x \ leq 1 \\\ arcsin (x) & = {\ frac {1} {2}} \ arccos \ left (1-2x ^ {2} \ right) \ ,, {\ text {si}} 0 \ leq x \ leq 1 \\\ arctan (x) & = \ arcsin \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} +1}}} \ right) \ end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4ed48ae2ca1e9580b8c348b8b205d265cdfd37a)
Quando una di queste formule coinvolge la radice quadrata di un numero complesso (o un numero reale negativo), la radice scelta è quella che ha una parte reale positiva (o una parte immaginaria positiva).
Formule dedotte dalla tangente del mezzo arco
arcsin(X)=2arctan(X1+1-X2)arccos(X)=2arctan(1-X21+X), Se -1<X≤+1arctan(X)=2arctan(X1+1+X2){\ displaystyle {\ begin {align} \ arcsin (x) & = 2 \ arctan \ left ({\ frac {x} {1 + {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}} \ right) \ \ [0.5em] \ arccos (x) & = 2 \ arctan \ left ({\ frac {\ sqrt {1-x ^ {2}}} {1 + x}} \ right) \ ,, {\ text { si}} - 1 <x \ leq +1 \\ [0.5em] \ arctan (x) & = 2 \ arctan \ sinistra ({\ frac {x} {1 + {\ sqrt {1 + x ^ {2} }}}} \ right) \ end {align}}}![{\ displaystyle {\ begin {align} \ arcsin (x) & = 2 \ arctan \ left ({\ frac {x} {1 + {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}} \ right) \ \ [0.5em] \ arccos (x) & = 2 \ arctan \ left ({\ frac {\ sqrt {1-x ^ {2}}} {1 + x}} \ right) \ ,, {\ text { si}} - 1 <x \ leq +1 \\ [0.5em] \ arctan (x) & = 2 \ arctan \ sinistra ({\ frac {x} {1 + {\ sqrt {1 + x ^ {2} }}}} \ right) \ end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce9408b32d956b7ddc25b5bccec78ffdcee87045)
Dimostrazioni
La formula per la " tangente del mezzo arco " è:
abbronzatura(θ2)=peccato(θ)1+cos(θ){\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = {\ frac {\ sin (\ theta)} {1+ \ cos (\ theta)}}}![{\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = {\ frac {\ sin (\ theta)} {1+ \ cos (\ theta)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d078ae3dd3eb9596e00cc15d3f2248df8de98b2b)
.
Possiamo scriverlo:
abbronzatura(θ2)=peccato(θ)1+1-peccato2(θ)=1-cos2(θ)1+cos(θ)=abbronzatura(θ)1+1+abbronzatura2(θ){\ Displaystyle \ tan \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = {\ frac {\ sin (\ theta)} {1 + {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} ( \ theta)}}}} = {\ frac {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} (\ theta)}} {1+ \ cos (\ theta)}} = {\ frac {\ tan (\ theta )} {1 + {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} (\ theta)}}}}}![{\ Displaystyle \ tan \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) = {\ frac {\ sin (\ theta)} {1 + {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} ( \ theta)}}}} = {\ frac {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} (\ theta)}} {1+ \ cos (\ theta)}} = {\ frac {\ tan (\ theta )} {1 + {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} (\ theta)}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db59c0ccbad17781efcb48fc1f801dea2fd222b8)
o :
θ=2arctan[peccato(θ)1+1-peccato2(θ)]=2arctan[1-cos2(θ)1+cos(θ)]=2arctan[abbronzatura(θ)1+1+abbronzatura2(θ)]{\ displaystyle \ theta = 2 \ arctan \ left [{\ frac {\ sin (\ theta)} {1 + {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} (\ theta)}}}} \ right] = 2 \ arctan \ left [{\ frac {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} (\ theta)}} {1+ \ cos (\ theta)}} \ right] = 2 \ arctan \ left [{\ frac {\ tan (\ theta)} {1 + {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} (\ theta)}}}} \ right]}![{\ displaystyle \ theta = 2 \ arctan \ left [{\ frac {\ sin (\ theta)} {1 + {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} (\ theta)}}}} \ right] = 2 \ arctan \ left [{\ frac {\ sqrt {1- \ cos ^ {2} (\ theta)}} {1+ \ cos (\ theta)}} \ right] = 2 \ arctan \ left [{\ frac {\ tan (\ theta)} {1 + {\ sqrt {1+ \ tan ^ {2} (\ theta)}}}} \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5332b53ebe35dd16fe36ef1e9647796a54e4293)
.
Otteniamo le formule indicate impostando x = sin ( θ ) o x = cos ( θ ) o x = tan ( θ ) (quindi θ uguale, arcsin ( x ) o arccos ( x ) o arctan ( x ) ).
Aggiunta di archi tangenti
Sì , allora .
uv≠1{\ displaystyle uv \ neq 1}
arctanu+arctanv≡arctanu+v1-uvmodπ{\ Displaystyle \ arctan u + \ arctan v \ equiv \ arctan {\ frac {u + v} {1-uv}} \ mod \ pi}![{\ Displaystyle \ arctan u + \ arctan v \ equiv \ arctan {\ frac {u + v} {1-uv}} \ mod \ pi}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6d8386d14ad605a1b0dd670dc79f28598761afd)
Calcolo
Derivati
Le formule seguenti sono valide per qualsiasi z , reale o complesso.
ddzarcsin(z)=11-z2;z≠-1,+1ddzarccos(z)=-11-z2;z≠-1,+1ddzarctan(z)=11+z2;z≠-io,+ioddzarccot(z)=-11+z2;z≠-io,+ioddzarcsec(z)=1z21-1z2;z≠-1,0,+1ddzarccsc(z)=-1z21-1z2;z≠-1,0,+1{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ arcsin (z) & {} = {\ frac {1} {\ sqrt {1-z ^ {2}}}} \ ;; & z & {} \ neq -1, + 1 \\ {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ arccos (z) & { } = - {\ frac {1} {\ sqrt {1-z ^ {2}}}} \ ;; & z & {} \ neq -1, + 1 \\ {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ arctan (z) & {} = {\ frac {1} {1 + z ^ {2}}} \ ;; & z & {} \ neq - \ mathrm {i} , + \ mathrm {i} \\ {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ operatorname {arccot} (z) & {} = - {\ frac {1} {1 + z ^ {2}}} \ ;; & z & {} \ neq - \ mathrm {i}, + \ mathrm {i} \\ {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z} } \ operatorname {arcsec} (z) & {} = {\ frac {1} {z ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {z ^ {2}}}}}}}} \ ;; & z & {} \ neq - 1,0, + 1 \\ {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ operatorname {arccsc} (z) & {} = - {\ frac {1} {z ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {z ^ {2}}}}}}} \ ;; & z & {} \ neq -1, 0, + 1 \ end {allineato}}}![{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ arcsin (z) & {} = {\ frac {1} {\ sqrt {1-z ^ {2}}}} \ ;; & z & {} \ neq -1, + 1 \\ {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ arccos (z) & { } = - {\ frac {1} {\ sqrt {1-z ^ {2}}}} \ ;; & z & {} \ neq -1, + 1 \\ {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ arctan (z) & {} = {\ frac {1} {1 + z ^ {2}}} \ ;; & z & {} \ neq - \ mathrm {i} , + \ mathrm {i} \\ {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ operatorname {arccot} (z) & {} = - {\ frac {1} {1 + z ^ {2}}} \ ;; & z & {} \ neq - \ mathrm {i}, + \ mathrm {i} \\ {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z} } \ operatorname {arcsec} (z) & {} = {\ frac {1} {z ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {z ^ {2}}}}}}}} \ ;; & z & {} \ neq - 1,0, + 1 \\ {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ operatorname {arccsc} (z) & {} = - {\ frac {1} {z ^ {2} {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {z ^ {2}}}}}}} \ ;; & z & {} \ neq -1, 0, + 1 \ end {allineato}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eb3769d371eb9070e35561ed895ee79bb4215ae)
Dimostrazione
Il calcolo di questi derivati è facile da trovare. Per l'arcoseno, ad esempio, poniamo θ = arcsin ( x ) :
darcsin(X)dX=dθdpeccato(θ)=dθcos(θ)dθ=1cos(θ)=11-peccato2(θ)=11-X2{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ arcsin (x)} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} \ sin (\ theta)}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ cos (\ theta) \ mathrm {d} \ theta}} = {\ frac {1} {\ cos (\ theta)}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} (\ theta)}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}![{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ arcsin (x)} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} \ sin (\ theta)}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ cos (\ theta) \ mathrm {d} \ theta}} = {\ frac {1} {\ cos (\ theta)}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ sin ^ {2} (\ theta)}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a291e94b7025e04099697a31cde3ba0ecd4e43ae)
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Le formule seguenti sono valide solo per x reale.
ddXarcsec(X)=1|X|X2-1;|X|>1ddXarccsc(X)=-1|X|X2-1;|X|>1{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ operatorname {arcsec} (x) & {} = {\ frac {1} {| x | {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}} \ ;; & | x |> 1 \\ {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ operatorname {arccsc} (x) & {} = - {\ frac {1} {| x | {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}} \ ;; & | x |> 1 \ end {allineato}}}![{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ operatorname {arcsec} (x) & {} = {\ frac {1} {| x | {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}} \ ;; & | x |> 1 \\ {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ operatorname {arccsc} (x) & {} = - {\ frac {1} {| x | {\ sqrt {x ^ {2} -1}}}} \ ;; & | x |> 1 \ end {allineato}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5529a9d948b503e62a92fa35416462f2563f30f3)
Espressione come integrale definito
Da integrare i derivati sopra possiamo esprimere le funzioni circolari in forma di integrali definiti di funzioni algebriche :
arcsin(X)=∫0X11-z2dz,|X|≤1arccos(X)=∫X111-z2dz,|X|≤1arctan(X)=∫0X1z2+1dz,arccot(X)=∫X∞1z2+1dz,arcsec(X)=∫1X1zz2-1dz=π+∫X-11zz2-1dz,X≥1arccsc(X)=∫X∞1zz2-1dz=∫-∞X1zz2-1dz,X≥1{\ displaystyle {\ begin {align} \ arcsin (x) & {} = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {\ sqrt {1-z ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} z \ ;, & | x | & {} \ leq 1 \\\ arccos (x) & {} = \ int _ {x} ^ {1} {\ frac {1} {\ sqrt { 1-z ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} z \ ;, & | x | & {} \ leq 1 \\\ arctan (x) & {} = \ int _ {0} ^ { x} {\ frac {1} {z ^ {2} +1}} \, \ mathrm {d} z \ ;, \\\ operatorname {arccot} (x) & {} = \ int _ {x} ^ {\ infty} {\ frac {1} {z ^ {2} +1}} \, \ mathrm {d} z \ ;, \\\ operatorname {arcsec} (x) & {} = \ int _ {1 } ^ {x} {\ frac {1} {z {\ sqrt {z ^ {2} -1}}}} \, \ mathrm {d} z = \ pi + \ int _ {x} ^ {- 1 } {\ frac {1} {z {\ sqrt {z ^ {2} -1}}}} \, \ mathrm {d} z \ ;, & x & {} \ geq 1 \\\ operatorname {arccsc} (x) & {} = \ int _ {x} ^ {\ infty} {\ frac {1} {z {\ sqrt {z ^ {2} -1}}}} \, \ mathrm {d} z = \ int _ {- \ infty} ^ {x} {\ frac {1} {z {\ sqrt {z ^ {2} -1}}}} \, \ mathrm {d} z \ ;, & x & { } \ geq 1 \\\ end {align}}}![{\ displaystyle {\ begin {align} \ arcsin (x) & {} = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {1} {\ sqrt {1-z ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} z \ ;, & | x | & {} \ leq 1 \\\ arccos (x) & {} = \ int _ {x} ^ {1} {\ frac {1} {\ sqrt { 1-z ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} z \ ;, & | x | & {} \ leq 1 \\\ arctan (x) & {} = \ int _ {0} ^ { x} {\ frac {1} {z ^ {2} +1}} \, \ mathrm {d} z \ ;, \\\ operatorname {arccot} (x) & {} = \ int _ {x} ^ {\ infty} {\ frac {1} {z ^ {2} +1}} \, \ mathrm {d} z \ ;, \\\ operatorname {arcsec} (x) & {} = \ int _ {1 } ^ {x} {\ frac {1} {z {\ sqrt {z ^ {2} -1}}}} \, \ mathrm {d} z = \ pi + \ int _ {x} ^ {- 1 } {\ frac {1} {z {\ sqrt {z ^ {2} -1}}}} \, \ mathrm {d} z \ ;, & x & {} \ geq 1 \\\ operatorname {arccsc} (x) & {} = \ int _ {x} ^ {\ infty} {\ frac {1} {z {\ sqrt {z ^ {2} -1}}}} \, \ mathrm {d} z = \ int _ {- \ infty} ^ {x} {\ frac {1} {z {\ sqrt {z ^ {2} -1}}}} \, \ mathrm {d} z \ ;, & x & { } \ geq 1 \\\ end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b34a9feca95fdce01f526fe6d16fc1c8ab5b12f)
Quando x = 1, gli integrali che definiscono arcsin ( x ) , arccos ( x ) , arcsec ( x ) e arccsc ( x ) non sono corretti ma convergono correttamente.
Sviluppo seriale
Come le funzioni circolari, le funzioni circolari reciproche possono essere sviluppate in serie intere :
arcsinz=z+12⋅z33+1⋅32⋅4⋅z55+1⋅3⋅52⋅4⋅6⋅z77+⋯=∑non=0∞(2non-1)!!(2non)!!⋅z2non+12non+1;|z|≤1{\ displaystyle \ arcsin z = z + {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4 }} \ cdot {\ frac {z ^ {5}} {5}} + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} \ cdot {\ frac {z ^ { 7}} {7}} + \ dots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2n-1) !!} {(2n) !!}} \ cdot {\ frac { z ^ {2n + 1}} {2n + 1}} \ ,; \ qquad | z | \ leq 1}![{\ displaystyle \ arcsin z = z + {\ frac {1} {2}} \ cdot {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {1 \ cdot 3} {2 \ cdot 4 }} \ cdot {\ frac {z ^ {5}} {5}} + {\ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4 \ cdot 6}} \ cdot {\ frac {z ^ { 7}} {7}} + \ dots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(2n-1) !!} {(2n) !!}} \ cdot {\ frac { z ^ {2n + 1}} {2n + 1}} \ ,; \ qquad | z | \ leq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1931b7020c5a475306229cfc9ee8566b37447d61)
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arctanz=z-z33+z55-z77+⋯=∑non=0∞(-1)nonz2non+12non+1;|z|≤1z≠io,-io{\ displaystyle \ arctan z = z - {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {z ^ {5}} {5}} - {\ frac {z ^ {7}} { 7}} + \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} z ^ {2n + 1}} {2n + 1}} \ ,; \ qquad | z | \ leq 1 \ qquad z \ neq \ mathrm {i}, - \ mathrm {i}}![{\ displaystyle \ arctan z = z - {\ frac {z ^ {3}} {3}} + {\ frac {z ^ {5}} {5}} - {\ frac {z ^ {7}} { 7}} + \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n} z ^ {2n + 1}} {2n + 1}} \ ,; \ qquad | z | \ leq 1 \ qquad z \ neq \ mathrm {i}, - \ mathrm {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92a3420385ef3a87e859011ca448004723770ba5)
.
Per sviluppare in serie le altre funzioni circolari reciproche, è sufficiente utilizzare le loro relazioni ( vedi sopra ): arccos ( x ) =π/2- arcsin ( x ) , arccsc ( x ) = arcsin (1 / x ) , ecc. .
Uno sviluppo del quadrato dell'arcoseno è:
arcsin2(X)=12∑non=1∞(2X)2nonnon2(2nonnon){\ displaystyle \ arcsin ^ {2} (x) = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(2x) ^ {2n}} {n ^ {2} {\ binom {2n} {n}}}}}![{\ displaystyle \ arcsin ^ {2} (x) = {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(2x) ^ {2n}} {n ^ {2} {\ binom {2n} {n}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/840dbaf1905652a733bbfbde09996a279143b25e)
.
Un altro sviluppo dell'arco tangente, numericamente più efficiente dell'intera serie, è stato ottenuto da Eulero :
arctanz=z1+z2∑non=0∞∏K=1non2Kz2(2K+1)(1+z2){\ displaystyle \ arctan z = {\ frac {z} {1 + z ^ {2}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {2kz ^ {2}} {(2k + 1) (1 + z ^ {2})}}}![{\ displaystyle \ arctan z = {\ frac {z} {1 + z ^ {2}}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ prod _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {2kz ^ {2}} {(2k + 1) (1 + z ^ {2})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4264388b5be2967b82d81750ed6f166885a8c40)
.
Possiamo dare una variante dello sviluppo precedente:
arctanz=∑non=0∞22non(non!)2(2non+1)!z2non+1(1+z2)non+1{\ displaystyle \ arctan z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {2n} (n!) ^ {2}} {(2n + 1)!}} \; { \ frac {z ^ {2n + 1}} {(1 + z ^ {2}) ^ {n + 1}}}}![{\ displaystyle \ arctan z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {2n} (n!) ^ {2}} {(2n + 1)!}} \; { \ frac {z ^ {2n + 1}} {(1 + z ^ {2}) ^ {n + 1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93bfab7a8c861ceb4084056788a784480e78ee5b)
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Espansione continua della frazione
Conosciamo due sviluppi dell'arco tangente nella frazione continua generalizzata , il primo ottenuto da Eulero e il secondo da Gauss (utilizzando funzioni ipergeometriche ):
arctan(z)=z1+(1z)23-1z2+(3z)25-3z2+(5z)27-5z2+(7z)29-7z2+⋱=z1+(1z)23+(2z)25+(3z)27+(4z)29+⋱{\ displaystyle \ arctan (z) = {\ frac {z} {1 + {\ cfrac {(1z) ^ {2}} {3-1z ^ {2} + {\ cfrac {(3z) ^ {2} } {5-3z ^ {2} + {\ cfrac {(5z) ^ {2}} {7-5z ^ {2} + {\ cfrac {(7z) ^ {2}} {9-7z ^ {2 } + \ ddots}}}}}}}}}} = {\ frac {z} {1 + {\ cfrac {(1z) ^ {2}} {3 + {\ cfrac {(2z) ^ {2} } {5 + {\ cfrac {(3z) ^ {2}} {7 + {\ cfrac {(4z) ^ {2}} {9+ \ ddots}}}}}}}}}}}}![{\ displaystyle \ arctan (z) = {\ frac {z} {1 + {\ cfrac {(1z) ^ {2}} {3-1z ^ {2} + {\ cfrac {(3z) ^ {2} } {5-3z ^ {2} + {\ cfrac {(5z) ^ {2}} {7-5z ^ {2} + {\ cfrac {(7z) ^ {2}} {9-7z ^ {2 } + \ ddots}}}}}}}}}} = {\ frac {z} {1 + {\ cfrac {(1z) ^ {2}} {3 + {\ cfrac {(2z) ^ {2} } {5 + {\ cfrac {(3z) ^ {2}} {7 + {\ cfrac {(4z) ^ {2}} {9+ \ ddots}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2d4d7246fb4cacd7063161a0c7dab8b4d3e9a1a)
L'espansione gaussiana è valida per i numeri complessi , ad eccezione degli immaginari puri di modulo maggiore o uguale a 1. È particolarmente efficace per i numeri reali compresi tra −1 e +1.
Primitivi
Per z reale o complesso :
∫arcsin(z)dz=zarcsin(z)+1-z2+VS∫arccos(z)dz=zarccos(z)-1-z2+VS∫arctan(z)dz=zarctan(z)-12ln(1+z2)+VS∫arccot(z)dz=zarccot(z)+12ln(1+z2)+VS∫arcsec(z)dz=zarcsec(z)-ln[z(1+z2-1z2)]+VS∫arccsc(z)dz=zarccsc(z)+ln[z(1+z2-1z2)]+VS{\ displaystyle {\ begin {align} \ int \ arcsin (z) \, \ mathrm {d} z & {} = z \, \ arcsin (z) + {\ sqrt {1-z ^ {2}}} + C \\\ int \ arccos (z) \, \ mathrm {d} z & {} = z \, \ arccos (z) - {\ sqrt {1-z ^ {2}}} + C \\\ int \ arctan (z) \, \ mathrm {d} z & {} = z \, \ arctan (z) - {\ frac {1} {2}} \ ln \ left (1 + z ^ {2} \ destra) + C \\\ int \ operatorname {arccot} (z) \, \ mathrm {d} z & {} = z \, \ operatorname {arccot} (z) + {\ frac {1} {2}} \ ln \ left (1 + z ^ {2} \ right) + C \\\ int \ operatorname {arcsec} (z) \, \ mathrm {d} z & {} = z \, \ operatorname {arcsec} ( z) - \ ln \ left [z \ left (1 + {\ sqrt {\ frac {z ^ {2} -1} {z ^ {2}}}} \ right) \ right] + C \\\ int \ operatorname {arccsc} (z) \, \ mathrm {d} z & {} = z \, \ operatorname {arccsc} (z) + \ ln \ left [z \ left (1 + {\ sqrt {\ frac { z ^ {2} - 1} {z ^ {2}}}} \ right) \ right] + C \ end {allineato}}}![{\ displaystyle {\ begin {align} \ int \ arcsin (z) \, \ mathrm {d} z & {} = z \, \ arcsin (z) + {\ sqrt {1-z ^ {2}}} + C \\\ int \ arccos (z) \, \ mathrm {d} z & {} = z \, \ arccos (z) - {\ sqrt {1-z ^ {2}}} + C \\\ int \ arctan (z) \, \ mathrm {d} z & {} = z \, \ arctan (z) - {\ frac {1} {2}} \ ln \ left (1 + z ^ {2} \ destra) + C \\\ int \ operatorname {arccot} (z) \, \ mathrm {d} z & {} = z \, \ operatorname {arccot} (z) + {\ frac {1} {2}} \ ln \ left (1 + z ^ {2} \ right) + C \\\ int \ operatorname {arcsec} (z) \, \ mathrm {d} z & {} = z \, \ operatorname {arcsec} ( z) - \ ln \ left [z \ left (1 + {\ sqrt {\ frac {z ^ {2} -1} {z ^ {2}}}} \ right) \ right] + C \\\ int \ operatorname {arccsc} (z) \, \ mathrm {d} z & {} = z \, \ operatorname {arccsc} (z) + \ ln \ left [z \ left (1 + {\ sqrt {\ frac { z ^ {2} - 1} {z ^ {2}}}} \ right) \ right] + C \ end {allineato}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8eae536783c4b5b658abd9bbce121697089c34b)
Per x reale e maggiore di 1:
∫arcsec(X)dX=Xarcsec(X)-ln(X+X2-1)+VS∫arccsc(X)dX=Xarccsc(X)+ln(X+X2-1)+VS{\ displaystyle {\ begin {align} \ int \ operatorname {arcsec} (x) \, \ mathrm {d} x & {} = x \, \ operatorname {arcsec} (x) - \ ln \ left (x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ right) + C \\\ int \ operatorname {arccsc} (x) \, \ mathrm {d} x & {} = x \, \ operatorname {arccsc} (x) + \ ln \ sinistra (x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ destra) + C \ end {allineato}}}![{\ displaystyle {\ begin {align} \ int \ operatorname {arcsec} (x) \, \ mathrm {d} x & {} = x \, \ operatorname {arcsec} (x) - \ ln \ left (x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ right) + C \\\ int \ operatorname {arccsc} (x) \, \ mathrm {d} x & {} = x \, \ operatorname {arccsc} (x) + \ ln \ sinistra (x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ destra) + C \ end {allineato}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3125f46cde24b6eb5567d6c8c27895495ea1c2c)
Per x reale con un valore assoluto maggiore di 1:
∫arcsec(X)dX=Xarcsec(X)-sgn(X)ln(|X+X2-1|)+VS∫arccsc(X)dX=Xarccsc(X)+sgn(X)ln(|X+X2-1|)+VS{\ displaystyle {\ begin {align} \ int \ operatorname {arcsec} (x) \, \ mathrm {d} x & {} = x \, \ operatorname {arcsec} (x) - \ operatorname {sgn} (x ) \ ln \ left (\ left | x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ right | \ right) + C \\\ int \ operatorname {arccsc} (x) \, \ mathrm {d } x & {} = x \, \ operatorname {arccsc} (x) + \ operatorname {sgn} (x) \ ln \ left (\ left | x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ destra | \ destra) + C \ fine {allineato}}}![{\ displaystyle {\ begin {align} \ int \ operatorname {arcsec} (x) \, \ mathrm {d} x & {} = x \, \ operatorname {arcsec} (x) - \ operatorname {sgn} (x ) \ ln \ left (\ left | x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ right | \ right) + C \\\ int \ operatorname {arccsc} (x) \, \ mathrm {d } x & {} = x \, \ operatorname {arccsc} (x) + \ operatorname {sgn} (x) \ ln \ left (\ left | x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ destra | \ destra) + C \ fine {allineato}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a53d0b41af42ac670ae468cc75f739deeb08db3d)
Nelle espressioni precedenti il valore assoluto (| • |) è dovuto al segno variabile dell'arco secante e dell'arco cosecante, e la funzione segno (sgn) ai valori assoluti delle derivate di queste due funzioni, che porta a espressioni diverse a seconda del segno di x . Possiamo semplificare queste formule utilizzando funzioni iperboliche reciproche :
∫arcsec(X)dX=Xarcsec(X)-arcosh(|X|)+VS∫arccsc(X)dX=Xarccsc(X)+arcosh(|X|)+VS{\ displaystyle {\ begin {align} \ int \ operatorname {arcsec} (x) \, dx & {} = x \, \ operatorname {arcsec} (x) - \ operatorname {arcosh} (| x |) + C \ \\ int \ operatorname {arccsc} (x) \, dx & {} = x \, \ operatorname {arccsc} (x) + \ operatorname {arcosh} (| x |) + C \\\ end {allineato} }}![{\ displaystyle {\ begin {align} \ int \ operatorname {arcsec} (x) \, dx & {} = x \, \ operatorname {arcsec} (x) - \ operatorname {arcosh} (| x |) + C \ \\ int \ operatorname {arccsc} (x) \, dx & {} = x \, \ operatorname {arccsc} (x) + \ operatorname {arcosh} (| x |) + C \\\ end {allineato} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e94aa603d89955db702862fd88ec6e49d9bcc316)
Dimostrazioni
Le primitive di cui sopra sono ottenute con il metodo dell'integrazione delle parti . Ad esempio per l'arco sinusoidale:
∫udv=uv-∫vdu{\ Displaystyle \ int u \, \ mathrm {d} v = uv- \ int v \, \ mathrm {d} u}![{\ Displaystyle \ int u \, \ mathrm {d} v = uv- \ int v \, \ mathrm {d} u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef3869d726283a9c8f54eb612128c69d3a863d06)
u=arcsin(X)dv=dXdu=dX1-X2v=X{\ displaystyle {\ begin {align} u & = \ arcsin (x) & \ mathrm {d} v & = \ mathrm {d} x \\\ mathrm {d} u & = {\ frac {\ mathrm {d } x} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} & v & = x \ end {allineato}}}![{\ displaystyle {\ begin {align} u & = \ arcsin (x) & \ mathrm {d} v & = \ mathrm {d} x \\\ mathrm {d} u & = {\ frac {\ mathrm {d } x} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} & v & = x \ end {allineato}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/487960a66c36097eb75de1ea18281db62c55c374)
Allora :
∫arcsin(X)dX=Xarcsin(X)-∫X1-X2dX,{\ Displaystyle \ int \ arcsin (x) \, \ mathrm {d} x = x \ arcsin (x) - \ int {\ frac {x} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} x,}![{\ Displaystyle \ int \ arcsin (x) \, \ mathrm {d} x = x \ arcsin (x) - \ int {\ frac {x} {\ sqrt {1-x ^ {2}}}} \, \ mathrm {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2564ddee9c9e7f0504610b191bb918080d41d229)
che dà, al cambiamento della variabile t = 1 - x 2 :
∫arcsin(X)dX=Xarcsin(X)+1-X2+VS{\ Displaystyle \ int \ arcsin (x) \, \ mathrm {d} x = x \ arcsin (x) + {\ sqrt {1-x ^ {2}}} + C}
Estensione al piano complesso
Essendo sviluppabili in serie intere , le funzioni circolari reciproche sono analitiche , vale a dire che il loro insieme di definizione (la linea dei numeri reali) può essere esteso al piano complesso . Poiché queste funzioni sono fondamentalmente multivalore , le loro estensioni al piano complesso hanno più volantini e punti di ramificazione .
Possiamo quindi definire l'arco tangente da:
arctan(z)=∫0zdX1+X2z≠-io,+io{\ displaystyle \ arctan (z) = \ int _ {0} ^ {z} {\ frac {\ mathrm {d} x} {1 + x ^ {2}}} \ quad z \ neq - \ mathrm {i }, + \ mathrm {i}}![{\ displaystyle \ arctan (z) = \ int _ {0} ^ {z} {\ frac {\ mathrm {d} x} {1 + x ^ {2}}} \ quad z \ neq - \ mathrm {i }, + \ mathrm {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/466c104fd3b388ef2fa7292be33a341ac2387fc0)
.
Il taglio tra il foglio principale e gli altri fogli è formato dalle due semirette che portano gli immaginari puri di modulo maggiore o uguale a 1.
Definiamo le altre funzioni circolari reciproche utilizzando le relazioni tra queste funzioni :
arcsin(z)=arctan(z1-z2)z≠-1,+1{\ displaystyle \ arcsin (z) = \ arctan \ left ({\ frac {z} {\ sqrt {1-z ^ {2}}}} \ right) \ quad z \ neq -1, + 1}![{\ displaystyle \ arcsin (z) = \ arctan \ left ({\ frac {z} {\ sqrt {1-z ^ {2}}}} \ right) \ quad z \ neq -1, + 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/074e0d5ee56596723519bbaa503a86f0b2e35f0c)
.
arccos(z)=π2-arcsin(z)z≠-1,+1{\ displaystyle \ arccos (z) = {\ frac {\ pi} {2}} - \ arcsin (z) \ quad z \ neq -1, + 1}
arccot(z)=π2-arctan(z)z≠-io,io{\ displaystyle \ operatorname {arccot} (z) = {\ frac {\ pi} {2}} - \ arctan (z) \ quad z \ neq - \ mathrm {i}, \ mathrm {i}}
arcsec(z)=arccos(1z)z≠-1,0,+1{\ Displaystyle \ operatorname {arcsec} (z) = \ arccos \ left ({\ frac {1} {z}} \ right) \ quad z \ neq -1,0, + 1}
arccsc(z)=arcsin(1z)z≠-1,0,+1{\ Displaystyle \ operatorname {arccsc} (z) = \ arcsin \ left ({\ frac {1} {z}} \ right) \ quad z \ neq -1,0, + 1}
Il taglio dell'arco seno è formato dalle due semirette che portano i reali di valore assoluto maggiore o uguale a 1. L'arco del coseno ha lo stesso taglio dell'arco seno e l'arco cotangente lo stesso dell'arco tangente . L'arco secante e l'arco cosecante hanno per tagliare il segmento reale [−1; +1] .
Forme logaritmiche
Le funzioni circolari reciproche possono essere espresse come logaritmi complessi :
arcsin(z)=-ioln(ioz+1-z2)=arccsc(1z)arccos(z)=-ioln(z+ioz2-1)=π2+ioln(ioz+1-z2)=π2-arcsin(z)=arcsec(1z)arctan(z)=12io[ln(1-ioz)-ln(1+ioz)]=arccot(1z)arccot(z)=12io[ln(1-ioz)-ln(1+ioz)]=arctan(1z)arcsec(z)=-ioln(1z2-1+1z)=ioln(1-1z2+ioz)+π2=π2-arccsc(z)=arccos(1z)arccsc(z)=-ioln(1-1z2+ioz)=arcsin(1z){\ displaystyle {\ begin {align} \ arcsin (z) & {} = - \ mathrm {i} \ ln \ left (\ mathrm {i} z + {\ sqrt {1-z ^ {2}}} \ right) & {} = \ operatorname {arccsc} \ left ({\ frac {1} {z}} \ right) \\ [10pt] \ arccos (z) & {} = - \ mathrm {i} \ ln \ sinistra (z + \ mathrm {i} {\ sqrt {z ^ {2} -1}} \ destra) = {\ frac {\ pi} {2}} \, + \ mathrm {i} \ ln \ sinistra ( \ mathrm {i} z + {\ sqrt {1-z ^ {2}}} \ right) = {\ frac {\ pi} {2}} - \ arcsin (z) & {} = \ operatorname {arcsec} \ left ({\ frac {1} {z}} \ right) \\ [10pt] \ arctan (z) & {} = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {i} \ left [\ ln \ left (1- \ mathrm {i} z \ right) - \ ln \ left (1+ \ mathrm {i} z \ right) \ right] & {} = \ operatorname {arccot} \ left ({\ frac { 1} {z}} \ right) \\ [10pt] \ operatorname {arccot} (z) & {} = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {i} \ left [\ ln \ left (1 - {\ frac {\ mathrm {i}} {z}} \ right) - \ ln \ left (1 + {\ frac {\ mathrm {i}} {z}} \ right) \ right] & {} = \ arctan \ left ({\ frac {1} {z}} \ right) \\ [10pt] \ operatorname {arcsec} (z) & {} = - \ mathrm {i} \ ln \ left ({\ sqrt { {\ frac {1} {z ^ {2}}} - 1}} + {\ frac {1} {z}} \ right) = \ mathrm {i} \, \ ln \ left ({\ sqrt {1 - {\ frac {1} {z ^ {2}}}}} + {\ frac {i} {z}} \ right) + {\ frac {\ pi} {2}} = { \ frac {\ pi} {2}} - \ operatorname {arccsc} (z) & {} = \ arccos \ left ({\ frac {1} {z}} \ right) \\ [10pt] \ operatorname {arccsc } (z) & {} = - \ mathrm {i} \ ln \ left ({\ sqrt {1 - {\ frac {1} {z ^ {2}}}}} + {\ frac {\ mathrm {i }} {z}} \ right) & {} = \ arcsin \ left ({\ frac {1} {z}} \ right) \ end {align}}}![{\ displaystyle {\ begin {align} \ arcsin (z) & {} = - \ mathrm {i} \ ln \ left (\ mathrm {i} z + {\ sqrt {1-z ^ {2}}} \ right) & {} = \ operatorname {arccsc} \ left ({\ frac {1} {z}} \ right) \\ [10pt] \ arccos (z) & {} = - \ mathrm {i} \ ln \ sinistra (z + \ mathrm {i} {\ sqrt {z ^ {2} -1}} \ destra) = {\ frac {\ pi} {2}} \, + \ mathrm {i} \ ln \ sinistra ( \ mathrm {i} z + {\ sqrt {1-z ^ {2}}} \ right) = {\ frac {\ pi} {2}} - \ arcsin (z) & {} = \ operatorname {arcsec} \ left ({\ frac {1} {z}} \ right) \\ [10pt] \ arctan (z) & {} = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {i} \ left [\ ln \ left (1- \ mathrm {i} z \ right) - \ ln \ left (1+ \ mathrm {i} z \ right) \ right] & {} = \ operatorname {arccot} \ left ({\ frac { 1} {z}} \ right) \\ [10pt] \ operatorname {arccot} (z) & {} = {\ frac {1} {2}} \ mathrm {i} \ left [\ ln \ left (1 - {\ frac {\ mathrm {i}} {z}} \ right) - \ ln \ left (1 + {\ frac {\ mathrm {i}} {z}} \ right) \ right] & {} = \ arctan \ left ({\ frac {1} {z}} \ right) \\ [10pt] \ operatorname {arcsec} (z) & {} = - \ mathrm {i} \ ln \ left ({\ sqrt { {\ frac {1} {z ^ {2}}} - 1}} + {\ frac {1} {z}} \ right) = \ mathrm {i} \, \ ln \ left ({\ sqrt {1 - {\ frac {1} {z ^ {2}}}}} + {\ frac {i} {z}} \ right) + {\ frac {\ pi} {2}} = { \ frac {\ pi} {2}} - \ operatorname {arccsc} (z) & {} = \ arccos \ left ({\ frac {1} {z}} \ right) \\ [10pt] \ operatorname {arccsc } (z) & {} = - \ mathrm {i} \ ln \ left ({\ sqrt {1 - {\ frac {1} {z ^ {2}}}}} + {\ frac {\ mathrm {i }} {z}} \ right) & {} = \ arcsin \ left ({\ frac {1} {z}} \ right) \ end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c56f1c6356a43f30ae50182689485a8f829654ec)
Dimostrazioni
Queste espressioni logaritmiche sono ottenute dalla forma esponenziale delle funzioni circolari . Ad esempio per l'arco sinusoidale:
peccato(ϕ)=z{\ Displaystyle \ sin (\ phi) = z}
ϕ=arcsin(z){\ displaystyle \ phi = \ arcsin (z)}
Esprimere il seno in termini di esponenziali complessi :
z=eioϕ-e-ioϕ2io{\ displaystyle z = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ phi} -e ^ {- \ mathrm {i} \ phi}} {2 \ mathrm {i}}}}![{\ displaystyle z = {\ frac {\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ phi} -e ^ {- \ mathrm {i} \ phi}} {2 \ mathrm {i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2006930f383cb8042bd30dad2b9deb389f98098)
È:
ξ=eioϕ{\ displaystyle \ xi = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ phi}}![{\ displaystyle \ xi = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ phi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed12e74bcab8b58b0098b8da036d4ef5e1df7afc)
Viene estratto φ , che trasporta nell'espressione di z :
z=ξ-1ξ2io{\ displaystyle z = {\ frac {\ xi - {\ frac {1} {\ xi}}} {2 \ mathrm {i}}}}
2ioz=ξ-1ξ{\ displaystyle 2 \ mathrm {i} z = {\ xi - {\ frac {1} {\ xi}}}}
ξ-2ioz-1ξ=0{\ displaystyle {\ xi -2 \ mathrm {i} z - {\ frac {1} {\ xi}}} = 0}
ξ2-2ioξz-1=0{\ displaystyle \ xi ^ {2} -2 \ mathrm {i} \ xi z-1 \, = \, 0}
ξ=ioz±1-z2=eioϕ{\ displaystyle \ xi = \ mathrm {i} z \ pm {\ sqrt {1-z ^ {2}}} = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ phi}}
ioϕ=ln(ioz±1-z2){\ displaystyle \ mathrm {i} \ phi = \ ln \ left (\ mathrm {i} z \ pm {\ sqrt {1-z ^ {2}}} \ right)}
ϕ=-ioln(ioz±1-z2){\ displaystyle \ phi = - \ mathrm {i} \ ln \ left (\ mathrm {i} z \ pm {\ sqrt {1-z ^ {2}}} \ right)}![{\ displaystyle \ phi = - \ mathrm {i} \ ln \ left (\ mathrm {i} z \ pm {\ sqrt {1-z ^ {2}}} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d2356959968597731967e00d1d256bdc4e8c415)
(abbiamo scelto il ramo positivo)
ϕ=arcsin(z)=-ioln(ioz+1-z2){\ displaystyle \ phi = \ arcsin (z) = - \ mathrm {i} \ ln \ left (\ mathrm {i} z + {\ sqrt {1-z ^ {2}}} \ right)}
Applicazioni
Triangolo rettangolo
Le funzioni circolari reciproche consentono di esprimere un angolo di un triangolo rettangolo in funzione di due dei lati:
θ=arcsin(lato oppostoipotenusa)=arccos(lato adiacenteipotenusa)=arctan(lato oppostolato adiacente)=arccot(lato adiacentelato opposto)=arcsec(ipotenusalato adiacente)=arccsc(ipotenusalato opposto){\ displaystyle {\ begin {align} \ theta & = \ arcsin \ left ({\ frac {\ text {opposto}} {\ text {hypotenuse}}} \ right) = \ arccos \ left ({\ frac { \ text {lato adiacente}} {\ text {ipotenusa}}} \ right) \\ & = \ arctan \ left ({\ frac {\ text {lato opposto}} {\ text {lato adiacente}}} \ right) = \ nomeoperatore {arccot} \ sinistra ({\ frac {\ text {lato adiacente}} {\ text {lato opposto}}} \ destra) \\ & = \ nome operatore {arcsec} \ sinistra ({\ frac {\ text {ipotenusa}} {\ text {lato adiacente}}} \ right) = \ operatorname {arccsc} \ left ({\ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {lato opposto}}} \ right) \ end { allineato}}}![{\ displaystyle {\ begin {align} \ theta & = \ arcsin \ left ({\ frac {\ text {opposto}} {\ text {hypotenuse}}} \ right) = \ arccos \ left ({\ frac { \ text {lato adiacente}} {\ text {ipotenusa}}} \ right) \\ & = \ arctan \ left ({\ frac {\ text {lato opposto}} {\ text {lato adiacente}}} \ right) = \ nomeoperatore {arccot} \ sinistra ({\ frac {\ text {lato adiacente}} {\ text {lato opposto}}} \ destra) \\ & = \ nome operatore {arcsec} \ sinistra ({\ frac {\ text {ipotenusa}} {\ text {lato adiacente}}} \ right) = \ operatorname {arccsc} \ left ({\ frac {\ text {hypotenuse}} {\ text {lato opposto}}} \ right) \ end { allineato}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80236465c9b671aabc35a884285b68bba8985d42)
oppure, con le annotazioni nella figura a fianco:
θ=arcsin(avs)=arccos(bvs)=arctan(ab)=arccot(ba)=arcsec(vsb)=arccsc(vsa){\ displaystyle \ theta = \ arcsin \ left ({\ frac {a} {c}} \ right) = \ arccos \ left ({\ frac {b} {c}} \ right) = \ arctan \ left ({ \ frac {a} {b}} \ right) = \ operatorname {arccot} \ left ({\ frac {b} {a}} \ right) = \ operatorname {arcsec} \ left ({\ frac {c} { b}} \ right) = \ operatorname {arccsc} \ left ({\ frac {c} {a}} \ right)}![{\ displaystyle \ theta = \ arcsin \ left ({\ frac {a} {c}} \ right) = \ arccos \ left ({\ frac {b} {c}} \ right) = \ arctan \ left ({ \ frac {a} {b}} \ right) = \ operatorname {arccot} \ left ({\ frac {b} {a}} \ right) = \ operatorname {arcsec} \ left ({\ frac {c} { b}} \ right) = \ operatorname {arccsc} \ left ({\ frac {c} {a}} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19bcc2dd65ae21158aa92f310f60d4af8ae2bc4d)
.
Arco tangente con due argomenti
L'arco tangente a due argomenti, del solito simbolo atan2, è una variante dell'arco tangente inizialmente introdotto nei linguaggi dei computer ( Fortran , in particolare). Per x ed y reale e entrambi zero, atan2 ( y , x ) è, in un ortonormale sistema di coordinate , l' angolo polare del punto di ascissa x e di ordinata y . In altre parole, è l' argomento del numero complesso x + i y . L'interesse di questa funzione è duplice:
- il dominio dell'immagine di atan2 è [–π, π] mentre quello dell'arco tangente è [–π / 2, π / 2] : atan2 (- y , - x ) e atan2 ( y , x ) differiscono da π while . Più in generale, atan2 fornisce l'angolo polare in un singolo calcolo mentre nessuna delle funzioni circolari reciproche lo fa;arctan(-y-X)=arctan(yX){\ displaystyle \ arctan \ left ({\ tfrac {-y} {- x}} \ right) = \ arctan \ left ({\ tfrac {y} {x}} \ right)}
![{\ displaystyle \ arctan \ left ({\ tfrac {-y} {- x}} \ right) = \ arctan \ left ({\ tfrac {y} {x}} \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aaec7af6e6ebde888b4eabe5809fe4d7703fcd9)
- quando x = 0 la funzione atan2 assume il valoreπ/2 o -π/2(secondo il segno di y ) mentre la maggior parte dei linguaggi informatici non consente la codifica di un argomento infinito. Più in generale, atan2 ( y , x ) si comporta numericamente bene quando | x | << | y | mentre arctan ( y / x ) non lo è .
Calcoli di primitive
Primitiva di una funzione razionale
Per integrare una funzione razionale R ( x ) (dove x è una variabile reale ) la scomponiamo in semplici elementi :
R(X)=T+F1+...+Fp+G1+...+Gqet{Tè un polinomio di XFio=aio,1X-zio+aio,2(X-zio)2+...+aio,nonio(X-zio)nonioGj=bj,1X+vsj,1X2-βjX+γj+bj,2X+vsj,2(X2-βjX+γj)2+...+bj,mjX+vsj,mj(X2-βjX+γj)mj{\ displaystyle R (x) = T + F_ {1} + \ ldots + F_ {p} + G_ {1} + \ ldots + G_ {q} \ quad {\ rm {e}} \ quad {\ begin { case} T & {\ text {è un polinomio di}} x \\ F_ {i} & = {\ frac {a_ {i, 1}} {x-z_ {i}}} + {\ frac {a_ { i, 2}} {(x-z_ {i}) ^ {2}}} + \ ldots + {\ frac {a_ {i, n_ {i}}} {(x-z_ {i}) ^ {n_ {i}}}} \\ G_ {j} & = {\ frac {b_ {j, 1} x + c_ {j, 1}} {x ^ {2} - \ beta _ {j} x + \ gamma _ {j}}} + {\ frac {b_ {j, 2} x + c_ {j, 2}} {(x ^ {2} - \ beta _ {j} x + \ gamma _ {j}) ^ {2}}} + \ ldots + {\ frac {b_ {j, m_ {j}} x + c_ {j, m_ {j}}} {(x ^ {2} - \ beta _ {j} x + \ gamma _ {j}) ^ {m_ {j}}}} \ end {case}}}![{\ displaystyle R (x) = T + F_ {1} + \ ldots + F_ {p} + G_ {1} + \ ldots + G_ {q} \ quad {\ rm {e}} \ quad {\ begin { case} T & {\ text {è un polinomio di}} x \\ F_ {i} & = {\ frac {a_ {i, 1}} {x-z_ {i}}} + {\ frac {a_ { i, 2}} {(x-z_ {i}) ^ {2}}} + \ ldots + {\ frac {a_ {i, n_ {i}}} {(x-z_ {i}) ^ {n_ {i}}}} \\ G_ {j} & = {\ frac {b_ {j, 1} x + c_ {j, 1}} {x ^ {2} - \ beta _ {j} x + \ gamma _ {j}}} + {\ frac {b_ {j, 2} x + c_ {j, 2}} {(x ^ {2} - \ beta _ {j} x + \ gamma _ {j}) ^ {2}}} + \ ldots + {\ frac {b_ {j, m_ {j}} x + c_ {j, m_ {j}}} {(x ^ {2} - \ beta _ {j} x + \ gamma _ {j}) ^ {m_ {j}}}} \ end {case}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaa4898404ed478e22fbc897c1c1f0ba56cc32aa)
dove i trinomi x 2 - β j x + γ j hanno radici reali ( negativo discriminanti : d = β j 2 - 4 γ j <0 ). Poi:
- il termine T ( parte intera ) viene integrato direttamente dando un altro polinomio ;
- i termini F i (elementi semplici del primo tipo) sono integrati direttamente (il risultato combina funzioni razionali e logaritmi );
- da un cambiamento di semplice (lineare) variabile x → u , ogni termine del secondo tipo riduce all'integrazione di e / o di :
bj,mX+vsj,m(X2-βjX+γj)m{\ displaystyle {\ frac {b_ {j, m} x + c_ {j, m}} {(x ^ {2} - \ beta _ {j} x + \ gamma _ {j}) ^ {m}} }}
u(u2+1)m{\ displaystyle {\ frac {u} {(u ^ {2} +1) ^ {m}}}}
1(u2+1)m{\ displaystyle {\ frac {1} {(u ^ {2} +1) ^ {m}}}}![{\ displaystyle {\ frac {1} {(u ^ {2} +1) ^ {m}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/491ae0f940d1648b54aecc8d634f152b276f6ccb)
-
u(u2+1)m{\ displaystyle {\ frac {u} {(u ^ {2} +1) ^ {m}}}}
è direttamente integrato (il risultato è una funzione razionale o un logaritmo),
- l'integrazione di implica l'arco tangente:
1(u2+1)m{\ displaystyle {\ frac {1} {(u ^ {2} +1) ^ {m}}}}
∫1u2+1du=arctan(u)+VS{\ displaystyle \ int {\ frac {1} {u ^ {2} +1}} \ mathrm {d} u = \ arctan (u) + C}
,
∫1(u2+1)2du=12[uu2+1+arctan(u)]+VS{\ displaystyle \ int {\ frac {1} {(u ^ {2} +1) ^ {2}}} \ mathrm {d} u = {\ frac {1} {2}} \ left [{\ frac {u} {u ^ {2} +1}} + \ arctan (u) \ right] + C}
,
∫1(u2+1)3du=18[u(3u2+5)(u2+1)2+3arctan(u)]+VS{\ displaystyle \ int {\ frac {1} {(u ^ {2} +1) ^ {3}}} \ mathrm {d} u = {\ frac {1} {8}} \ left [{\ frac {u (3u ^ {2} +5)} {(u ^ {2} +1) ^ {2}}} + 3 \ arctan (u) \ right] + C}
, Ecc
Primitiva di una funzione che coinvolge i radicali
- Per integrare una funzione comprendente il radicale √ 1 - x 2 , uno dei modi è prendere come nuova variabile θ = arcsin ( x ) :
x = sin ( θ ) , quindie : il radicale è scomparso.1-X2=cos(θ){\ displaystyle {\ sqrt {1-x ^ {2}}} = \ cos (\ theta)}
dX=cos(θ)dθ{\ displaystyle \ mathrm {d} x = \ cos (\ theta) \, \ mathrm {d} \ theta}![{\ displaystyle \ mathrm {d} x = \ cos (\ theta) \, \ mathrm {d} \ theta}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fd3f54aea2141738a262f942027c3b5df53ca0c)
- Per integrare una funzione comprendente il radicale √ 1 + x 2 , uno dei modi è prendere come nuova variabile θ = arctan ( x ) :
x = tan ( θ ) , quindie : il radicale è scomparso.1+X2=1cos(θ){\ displaystyle {\ sqrt {1 + x ^ {2}}} = {\ frac {1} {\ cos (\ theta)}}}
dX=dθcos2(θ){\ displaystyle \ mathrm {d} x = {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ cos ^ {2} (\ theta) \,}}}![{\ displaystyle \ mathrm {d} x = {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ cos ^ {2} (\ theta) \,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3645183a1f9d7808c3d8a3214057cdb49aa3959)
Più generalmente :
- per sbarazzarsi del radicale si può posare ;a2-b2X2{\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2} x ^ {2}}}}
θ=arcsin(baX){\ displaystyle \ theta = \ arcsin \ left ({\ frac {b} {a}} x \ right)}![{\ displaystyle \ theta = \ arcsin \ left ({\ frac {b} {a}} x \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f127e9cf9f214f80fe059c8e735cd057c77c3a6f)
- per sbarazzarsi del radicale si può posare .a2+b2X2{\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} x ^ {2}}}}
θ=arctan(baX){\ displaystyle \ theta = \ arctan \ left ({\ frac {b} {a}} x \ right)}![{\ displaystyle \ theta = \ arctan \ left ({\ frac {b} {a}} x \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d21d77958351c206191dd6d2a5aeecf3f412baa4)
Note e riferimenti
Appunti
-
La logica di questa denominazione è la seguente: l'arco seno di x è l'arco (l'angolo) il cui seno è x .
-
Alcuni autori definiscono il dominio immagine dell'arco secante come (0 ≤ y <π/2o π ≤ y <3π/2), perché la funzione tangente non è negativa in questo dominio. Questa definizione rende alcuni calcoli più coerenti. Ad esempio, otteniamo tan (arcsec ( x )) = √ x 2 - 1 , mentre con il dominio dell'immagine (0 ≤ y <π/2 o π/2< y ≤ π ) dobbiamo scrivere tan (arcsec ( x )) = ± √ x 2 - 1 , poiché la tangente su 0 ≤ y <π/2 ma non positivo π/2< y ≤ π . Per lo stesso motivo, questi stessi autori definiscono il dominio dell'immagine dell'arco cosecante come - π < y ≤ -π/2o 0 < y ≤π/2.
-
Troviamo questi risultati anche da un calcolo algebrico, ma richiede più tempo.
-
Per n = 0 il prodotto Π è vuoto ed è quindi uguale a 1 , per definizione.
Riferimenti
-
(in) Arthur Graham Hall e Fred Goodrich Frink, cap. II "The Acute Angle [14] Inverse trigonometric functions" , in Trigonometry , Ann Arbor, Michigan, USA, Henry Holt and Company / Norwood Press / JS Cushing Co. - Berwick & Smith Co., Norwood, Massachusetts, USA,Gennaio 1909( leggi in linea ) , I: Plane Trigonometry, p. 15.
-
(in) John Frederick William Herschel, " fu una notevole applicazione del teorema di Cotes " , Philosophical Transactions , Londra, Royal Society, vol. 103, n o 1,1813, p. 8 ( leggi online ).
-
Visualizza (in) Jonathan Borwein , David Bailey e Roland Gingersohn, Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery , Wellesley, MA, AK Peters,2004, 368 p. ( ISBN 978-1-4398-6419-7 , leggi online ) , p. 51(esercizio 16, sulla formula di Clausen (en) ) o, più semplicemente, questo esercizio corretto su Wikiversità .
Vedi anche
Articoli Correlati
Link esterno
(it) Eric W. Weisstein , " Funzioni trigonometriche inverse " , su MathWorld
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