Distribuzione temperata
Una distribuzione temperato è una continua forma lineare sopra spazio Schwartz . Lo spazio delle distribuzioni temperate è quindi il duale topologico di Per densità di in , è identificato con un sottospazio vettoriale dello spazio di tutte le distribuzioni : il sottospazio ( proprio ) delle distribuzioni che si estendono continuamente a S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}S′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} '}S.{\ displaystyle {\ mathcal {S}}.}D{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}D′{\ displaystyle {\ mathcal {D}} '}S.{\ displaystyle {\ mathcal {S}}.}
Ad esempio, le funzioni continue limitate , come la funzione costante 1, definiscono distribuzioni temperate, così come tutte le distribuzioni supportate in modo compatto , come la distribuzione di Dirac .
Le distribuzioni temperate furono introdotte da Laurent Schwartz , ma inizialmente sotto il nome di "distribuzioni sferiche" , che spiega l'uso della lettera S da parte dello stesso Schwartz.
Definizione
Una distribuzione temperata su è una forma lineare continua su La continuità di una forma lineare su può essere espressa in due modi equivalenti:
RNON{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}S(RNON).{\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}).}T{\ displaystyle T}S(RNON){\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}
- o per continuità sequenziale :
per qualsiasi sequenza convergente a in(ϕnon)non∈NON{\ displaystyle (\ phi _ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}ϕ{\ displaystyle \ phi}S(RNON),{\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}),}
limnon→∞⟨T,ϕnon⟩=⟨T,ϕ⟩{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ langle T, \ phi _ {n} \ rangle = \ langle T, \ phi \ rangle} ;
- sia utilizzando la famiglia dei semi-standard che definiscono la topologia di(NONp)p∈NON{\ displaystyle ({\ mathcal {N}} _ {p}) _ {p \ in \ mathbb {N}}}S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}} :
c'è un numero naturale e un numero reale tale chep{\ displaystyle p} VS{\ displaystyle C}
∀ϕ∈S(RNON),|⟨T,ϕ⟩|≤VSNONp(ϕ).{\ displaystyle \ forall \ phi \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N}), \ quad | \ langle T, \ phi \ rangle | \ leq C {\ mathcal {N}} _ {p} (\ phi).}
Qualsiasi distribuzione temperata è quindi limitata a una distribuzione di ordine finito e per densità di in , una distribuzione T si estende in una distribuzione temperata (unica) se e solo se soddisfa tale disuguaglianza per tuttiD{\ displaystyle {\ mathcal {D}}}S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}ϕ∈D(RNON).{\ displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {N}).}
Caratterizzazione delle distribuzioni temperate - Le distribuzioni temperate di sono esattamente le distribuzioni della forma:
RNON{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}T{\ displaystyle T}
T=∂Xα((1+‖X‖2)nonf){\ Displaystyle T = \ partial _ {x} ^ {\ alpha} \ left ((1+ \ | x \ | ^ {2}) ^ {n} f \ right)}dove è un multiindice , è un numero intero naturale ed è una funzione continua e limitata su , e dove la derivazione è intesa nel senso di distribuzioni .
α∈NONNON{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {N} ^ {N}}non{\ displaystyle n}f{\ displaystyle f}RNON{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}
“Questa caratterizzazione [è] molto utile nella pratica, ma […] la sua dimostrazione [è] un po 'complicata. "
Topologia
Forniamo la topologia debole- * ; è quindi uno spazio localmente convesso (e il suo duale topologico è identificato con ). Più esplicitamente, la raccolta di tutti gli insiemi del moduloS′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} '}S′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} '}S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}
{Λ∈S′∣|⟨Λ,ϕ1⟩|<ε,...,|⟨Λ,ϕNON⟩|<ε}{\ displaystyle \ {\ Lambda \ in {\ mathcal {S}} '\ mid \, | \ langle \ Lambda, \ phi _ {1} \ rangle | <\ varepsilon, \ dots, | \ langle \ Lambda, \ phi _ {N} \ rangle | <\ varepsilon \}}(dove e )
ϕ1,...ϕNON∈S{\ displaystyle \ phi _ {1}, \ dots \ phi _ {N} \ in {\ mathcal {S}}}ε∈R∗+{\ displaystyle \ varepsilon \ in \ mathbb {R} ^ {\ ast +}}
è una base di quartiere pari a 0.
La convergenza in è quindi, come in , semplice convergenza : dire che la successione di tende a T significa che per qualsiasi funzione abbiamoS′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} '}D′{\ displaystyle {\ mathcal {D}} '}(TNON){\ displaystyle (T_ {N})}S′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} '}ϕ∈S{\ displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {S}}}⟨T-TNON,ϕ⟩⟶NON→∞0.{\ displaystyle \ langle T-T_ {N}, \ phi \ rangle {\ underset {N \ rightarrow \ infty} {\ longrightarrow}} 0.}
Esempi di distribuzioni temperate
Dispenser di supporto compatto
Qualsiasi distribuzione con supporto compatto viene temperata e iniettata continuamenteE′(RNON){\ displaystyle {\ mathcal {E}} '(\ mathbb {R} ^ {N})}S′(RNON).{\ displaystyle {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N}).}
Misure temperate
Qualsiasi misura limitata e, più in generale, qualsiasi Borel misura μ ( firmato , o anche complessi (en) ) su ℝ N , rappresenta una distribuzione T μ , determinati tramite il lineare iniezione T :
⟨Tμ,ϕ⟩: =∫RNONϕdμ{\ displaystyle \ langle T _ {\ mu}, \ phi \ rangle: = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {N}} \ phi \, \ mathrm {d} \ mu} per qualsiasi funzione ϕ∈D(RNON).{\ displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {N}).}
Affinché questa distribuzione sia temperata, è sufficiente che la misura μ sia temperata, cioè che soddisfi le seguenti condizioni equivalenti, dove la misura positiva | μ | è la variazione di μ :
- esiste un numero naturale p tale che la misura a densità (1 + ║ x ║ 2 ) - p | μ | è finito ;
- esiste un numero naturale p tale che | μ | ( B (0, R )) = O ( R p ) (quando il raggio R della pallina B (0, R ) tende all'infinito).
Dimostrazione
-
Le due definizioni di “misura temperata” sono equivalenti: sia p un numero naturale.
- Se la misura (1 + ║ x ║ 2 ) - p | μ | è finito, cioè seVS: =∫RNON(1+‖X‖2)-p d|μ|(X)<+∞{\ displaystyle C: = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}} (1+ \ | x \ | ^ {2}) ^ {- p} ~ {\ rm {d}} | \ mu | (x) <+ \ infty}allora|μ|(B(0,R))≤VS(1+R2)p=O(R2p).{\ displaystyle | \ mu | (B (0, R)) \ leq C (1 + R ^ {2}) ^ {p} = O (R ^ {2p}).}
- Se | μ | ( B (0, R )) = O ( R p ), cioè se esiste una costante C tale che per ogni R ,∫B(0,R)d|μ|≤VSRp{\ displaystyle \ int _ {B (0, R)} {\ rm {d}} | \ mu | \ leq CR ^ {p}}allora∫RNON(1+‖X‖2)-p-1d|μ|(X)=∑non=0∞∫B(0,non+1)∖B(0,non)(1+‖X‖2)-p-1d|μ|(X)≤∑non=0∞(1+non2)-p-1VS(non+1)p<+∞.{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}} (1+ \ | x \ | ^ {2}) ^ {- p-1} {\ rm {d}} | \ mu | (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ int _ {B (0, n + 1) \ setminus B (0, n)} (1+ \ | x \ | ^ { 2}) ^ {- p-1} {\ rm {d}} | \ mu | (x) \ leq \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (1 + n ^ {2}) ^ { -p-1} C (n + 1) ^ {p} <+ \ infty.}
-
Se μ è una misura temperata, T μ è una distribuzione temperata: se, per qualche numero naturale p ,VS: =∫RNON(1+‖X‖2)-p d|μ|(X)<+∞{\ displaystyle C: = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}} (1+ \ | x \ | ^ {2}) ^ {- p} ~ {\ rm {d}} | \ mu | (x) <+ \ infty}allora
∀ϕ∈D(RNON)|∫RNONϕdμ|≤VSsupX∈RNON|ϕ(X)|(1+X12+...+XNON2)p≤VS(NON+1)pNON2p(ϕ).{\ displaystyle \ forall \ phi \ in {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R} ^ {N}) \ quad \ left | \ int _ {\ mathbb {R} ^ {N}} \ phi \, \ mathrm {d} \ mu \ right | \ leq C \ sup _ {x \ in \ mathbb {R} ^ {N}} | \ phi (x) | (1 + x_ {1} ^ {2} + \ ldots + x_ {N} ^ {2}) ^ {p} \ leq C (N + 1) ^ {p} {\ mathcal {N}} _ {2p} (\ phi).}
Nota: questa condizione sufficiente non è necessaria. Ad esempio su ℝ, la funzione x ↦ sin (e x ) è la densità , rispetto alla misura di Lebesgue λ , di una misura temperata, che quindi definisce una distribuzione temperata, quindi la sua derivata x ↦ e x cos (e x ) definisce anche una distribuzione temperata, sebbene in crescita esponenziale.
Distribuzioni temperate regolari
Per qualsiasi funzione f localmente integrabile , le considerazioni precedenti si applicano alla misura a densità μ = f λ .
La cosiddetta distribuzione regolare T f λ viene quindi temperata ad esempio se:
-
f è (localmente integrabile e) con crescita polinomiale (cioè in O (║ x ║ c ) per un certo numero reale c , nell'intorno dell'infinito);
-
f appartiene a uno spazio di Lebesgue L p (ℝ N ) , con 1 ≤ p ≤ ∞ .
Più precisamente, L p (ℝ N ) viene continuamente iniettato inS′(RNON).{\ displaystyle {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N}).}
Distribuzioni temperate con supporto in ℤ N
Le considerazioni precedenti si applicano anche a qualsiasi misura μ con supporto in ℤ N , canonicamente associata ad una sequenza multiindicizzata a = ( a k ) k ∈ℤ N di complessi dalla relazione a k = μ ({ k }) . La distribuzione associata T μ , che viene quindi scritta
Tμ=∑K∈ZNONaKδK,{\ displaystyle T _ {\ mu} = \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z} ^ {N}} a_ {k} \ delta _ {k},}
viene quindi temperato non appena la sequenza a ha una crescita polinomiale.
Distribuzioni periodiche
Si dice che una distribuzione over sia periodica se
dove denota la traduzione diT{\ displaystyle T}RNON{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}a∈RNON{\ displaystyle a \ in \ mathbb {R} ^ {N}}T∘τa=T,{\ displaystyle T \ circ \ tau _ {a} = T,}τa:X↦X+a{\ displaystyle \ tau _ {a}: x \ mapsto x + a}a.{\ displaystyle a.}
Su ℝ N , qualsiasi distribuzione periodica è temperata.
Gli esempi più semplici sono il Dirac comb Ш 1 - che è sia periodico che supportato in ℤ - e le distribuzioni regolari periodiche, cioè associate a funzioni periodiche integrabili localmente .
Operazioni sulle distribuzioni temperate
Mostriamo quanto segue:
- Se poi, per tutti i multi-indici del prodotto (con un abuso di linguaggio) e il derivato appartengono . Inoltre, la moltiplicazione e la derivazione sono mappe lineari continue di inT∈S′(RNON){\ displaystyle T \ in {\ mathcal {S}} ^ {\ prime} (\ mathbb {R} ^ {N})}α,β∈NONNON,{\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {N} ^ {N},}XαT{\ displaystyle x ^ {\ alpha} T}∂βT{\ displaystyle \ partial ^ {\ beta} T}S′(RNON){\ displaystyle {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})}T↦XαT{\ displaystyle T \ mapsto x ^ {\ alpha} T}T↦∂βT{\ displaystyle T \ mapsto \ partial ^ {\ beta} T}S′(RNON){\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime} (\ mathbb {R} ^ {N})}S′(RNON).{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime} (\ mathbb {R} ^ {N}).}
Sia una distribuzione moderata di Allora
T{\ displaystyle T}S′(RNON).{\ displaystyle {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N}).}
- La moltiplicazione con è compatibile. Per qualsiasi funzione derivativa con crescita polinomiale , la distribuzioneOM{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {M}} f∈OM(RNON){\ displaystyle f \ in {\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N})}fT∈S′(RNON).{\ displaystyle fT \ in {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N}).}
- Il prodotto convoluzione con è compatibile. Per qualsiasi distribuzione con supporto compattoE′{\ displaystyle {\ mathcal {E}} '}S∈E′(RNON), S∗T∈S′(RNON).{\ displaystyle S \ in {\ mathcal {E}} '(\ mathbb {R} ^ {N}), ~ S \ ast T \ in {\ mathcal {S}}' (\ mathbb {R} ^ {N }).}
Trasformata di Fourier delle distribuzioni temperate
Definizione
Chiamiamo Fourier trasformazione nella trasposizione della trasformazione di Fourier di a . Lo notiamo di nuovo , in altre parole chiediamo
S′(RNON){\ displaystyle {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})}S′(RNON){\ displaystyle {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})}S(RNON){\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}S(RNON){\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}
∀T∈S′(RNON)∀ϕ∈S(RNON)⟨FT,ϕ⟩=⟨T,Fϕ⟩.{\ displaystyle \ forall T \ in {\ mathcal {S}} ^ {\ prime} (\ mathbb {R} ^ {N}) \ quad \ forall \ phi \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb { R} ^ {N}) \ quad \ left \ langle {\ mathcal {F}} T, \ phi \ right \ rangle = \ left \ langle T, {\ mathcal {F}} \ phi \ right \ rangle.}
Nota: troviamo la consueta trasformata di Fourier se T si identifica con una funzione di L 1 o L 2 , oppure con una funzione periodica integrabile localmente ( cfr. Articolo di dettaglio ).
Inversione di Fourier
Definiamo allo stesso modo l'operatore su come traspone di quello su :
F¯{\ displaystyle {\ mathcal {\ bar {F}}}}S′(RNON){\ displaystyle {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})}S(RNON){\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}
∀T∈S′(RNON)∀ϕ∈S(RNON)⟨F¯T,ϕ⟩=⟨T,F¯ϕ⟩.{\ displaystyle \ forall T \ in {\ mathcal {S}} ^ {\ prime} (\ mathbb {R} ^ {N}) \ quad \ forall \ phi \ in {\ mathcal {S}} (\ mathbb { R} ^ {N}) \ quad \ left \ langle {\ mathcal {\ bar {F}}} T, \ phi \ right \ rangle = \ left \ langle T, {\ mathcal {\ bar {F}}} \ phi \ right \ rangle.}
Si deduce dalle proprietà degli operatori sulle proprietà analoghe per le loro trasposte:
S(RNON){\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {N})}
Formula di inversione di Fourier su S′(RNON){\ displaystyle {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})} -
La trasformata di Fourier è un automorfismo dello spazio vettoriale delle distribuzioni temperate, il cui automorfismo reciproco è
dove l'operatore antipody è definito per qualsiasi distribuzione S alla pari
VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}S′(RNON){\ displaystyle {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})}F¯=~∘F=F∘~,{\ displaystyle {\ mathcal {\ bar {F}}} = {\ tilde {}} \ circ {\ mathcal {F}} = {\ mathcal {F}} \ circ {\ tilde {}},}~{\ displaystyle {\ tilde {}}}RNON{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}}
S~=S∘(-iodRNON)⇔∀ϕ∈D(RNON),⟨S~,ϕ⟩=⟨S,ϕ∘(-iodRNON)⟩.{\ displaystyle {\ tilde {S}} = S \ circ (-Id _ {\ mathbb {R} ^ {N}}) \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ forall \ phi \ in {\ mathcal {D}} ( \ mathbb {R} ^ {N}), \ quad \ langle {\ tilde {S}}, \ phi \ rangle = \ langle S, \ phi \ circ (-Id _ {\ mathbb {R} ^ {N} }) \ rangle.}
Nota: questa formula dipende dalla convenzione scelta per la trasformazione di Fourier nello spazio delle funzioni. È valido per una trasformazione di Fourier espressa nello spazio delle frequenze, la cui definizione utilizzae-io2πξ⋅X.{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} 2 \ pi \ xi \ cdot x}.}
Altre proprietà
La trasformata di Fourier in eredita le sue proprietà inS′{\ displaystyle {\ mathcal {S}} '}S.{\ displaystyle {\ mathcal {S}}.}
-
F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}è un automorfismo del periodo 4 (cioè 4 è il più piccolo intero positivo k tale che ), bicontinuo ( è anche continuo ).F4=iod{\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {4} = {\ rm {Id}}}F-1{\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1}}
- In particolare eredita la continuità sequenziale. Per qualsiasi serie di distribuzioni temperate,F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}(Tnon)non∈NON{\ displaystyle (T_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}Tnon⟶non→∞T⇒FTnon⟶non→∞FT.{\ displaystyle T_ {n} {\ underset {n \ rightarrow \ infty} {\ longrightarrow}} T \ Rightarrow {\ mathcal {F}} T_ {n} {\ underset {n \ rightarrow \ infty} {\ longrightarrow} } {\ mathcal {F}} T.}
- In , la trasformazione di Fourier scambia lo spazio dei convolatori e lo spazio dei moltiplicatori e scambia il prodotto convoluzionale e il prodotto moltiplicativo. In altre parole, e poi abbiamoS′(RNON){\ displaystyle {\ mathcal {S}} '(\ mathbb {R} ^ {N})}Ovs′(RNON){\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {c} ^ {\ prime} (\ mathbb {R} ^ {N})}OM(RNON),{\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N}),}S∈S′(RNON),T∈Ovs′(RNON){\ displaystyle S \ in {\ mathcal {S}} ^ {\ prime} (\ mathbb {R} ^ {N}), T \ in {\ mathcal {O}} _ {c} ^ {\ prime} ( \ mathbb {R} ^ {N})}f∈OM(RNON),{\ displaystyle f \ in {\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N}),}FT∈OM(RNON),Ff∈Ovs′(RNON),{\ displaystyle {\ mathcal {F}} T \ in {\ mathcal {O}} _ {M} (\ mathbb {R} ^ {N}), \ quad {\ mathcal {F}} f \ in {\ mathcal {O}} _ {c} ^ {\ prime} (\ mathbb {R} ^ {N}),}
F(T∗S)=(FT)(FS)etF(fS)=(Ff)∗(FS).{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (T \ ast S) = ({\ mathcal {F}} T) ({\ mathcal {F}} S) \ quad {\ rm {e}} \ quad {\ mathcal {F}} (fS) = ({\ mathcal {F}} f) \ ast ({\ mathcal {F}} S).}
Esempi di trasformate di Fourier di distribuzioni
Le formule dipendono dalla convenzione scelta per la trasformazione di Fourier nello spazio delle funzioni. Sono validi per una trasformazione di Fourier espressa nello spazio delle frequenze, la cui definizione utilizzae-io2πξ⋅X.{\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} 2 \ pi \ xi \ cdot x}.}
Operazioni usuali
Sia T una distribuzione moderata su. Le operazioni allora usate nel caso delle funzioni sono ora valide senza assunzioni aggiuntive.
RNON.{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {N}.}
- Derivazione: per tutto ,K=1,...,NON{\ displaystyle k = 1, \ ldots, N \ qquad}F(∂XKT)=2πioξKFT.{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (\ partial _ {x_ {k}} T) = 2 \ pi {\ rm {i}} \ xi _ {k} {\ mathcal {F}} T.}
- Moltiplicazione per un polinomio: per tutti ,K=1,...,NON{\ displaystyle k = 1, \ ldots, N \ quad}F(XKT)=1/(io2π)∂XKFT.{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (x_ {k} T) = 1 / ({\ rm {i}} 2 \ pi) \ partial _ {x_ {k}} {\ mathcal {F}} T. }
- Traduzione: per tutto a∈R, F(T∘τa)=e2πaFT.{\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}, ~ {\ mathcal {F}} (T \ circ \ tau _ {a}) = e_ {2 \ pi a} {\ mathcal {F}} T.}
- Modulazione: per tutto a∈R, F(e-2πaT)=(FT)∘τa.{\ displaystyle a \ in \ mathbb {R}, ~ {\ mathcal {F}} (e _ {- 2 \ pi a} T) = ({\ mathcal {F}} T) \ circ \ tau _ {a }.}
Trasformazioni usuali
- Trasformate sinusoidali eω:ξ↦eioω⋅ξ :{\ displaystyle e _ {\ omega}: \ xi \ mapsto {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ omega \ cdot \ xi} ~:}
Feω=δω/2π.{\ displaystyle {\ mathcal {F}} e _ {\ omega} = \ delta _ {\ omega / 2 \ pi}.}
- Trasformate delle masse di Dirac. Per tutto e per tutto multiindicea∈RNON{\ displaystyle a \ in \ mathbb {R} ^ {N}}α∈NONNON :{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {N} ^ {N} ~:}
Fδ0=1F(∂αδ0)=ξ↦(-io2πξ)αFδa=ξ↦e-2πa⋅ξF(∂αδa)=ξ↦(-io2πξ)αe-2πa⋅ξ.{\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathcal {F}} \ delta _ {0} & = 1 \\ {\ mathcal {F}} (\ partial _ {\ alpha} \ delta _ {0}) & = \ xi \ mapsto (- {\ rm {i}} 2 \ pi \ xi) ^ {\ alpha} \\ {\ mathcal {F}} \ delta _ {a} & = \ xi \ mapsto {\ rm { e}} ^ {- 2 \ pi a \ cdot \ xi} \\ {\ mathcal {F}} (\ partial _ {\ alpha} \ delta _ {a}) & = \ xi \ mapsto (- {\ rm {i}} 2 \ pi \ xi) ^ {\ alpha} {\ rm {e}} ^ {- 2 \ pi a \ cdot \ xi}. \ end {align}}}
- Trasformazioni polinomiali: per qualsiasi multiindice α=(α1,α2,...)∈NONNON,{\ displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots) \ in \ mathbb {N} ^ {N},}
F(ξ1α1ξ2α2...ξNONαNON)=1(io2π)|α|∂1α1∂2α2...∂NONαNONδ0.{\ displaystyle {\ mathcal {F}} (\ xi _ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ xi _ {2} ^ {\ alpha _ {2}} \ ldots \ xi _ {N} ^ {\ alpha _ {N}}) = {\ frac {1} {({\ rm {i}} 2 \ pi) ^ {| \ alpha |}}} \ partial _ {1} ^ {\ alpha _ { 1}} \ partial _ {2} ^ {\ alpha _ {2}} \ ldots \ partial _ {N} ^ {\ alpha _ {N}} \ delta _ {0}.}
Distribuzioni periodiche
La trasformata di Fourier di una distribuzione U T -periodica su è la distribuzione della somma di Diracs
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
FU=∑K∈ZvsKδK/T{\ displaystyle {\ mathcal {F}} U = \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} c_ {k} \ delta _ {k / T}}vale a dire un segnale, campionato alla frequenza , i cui campioni sono dati da
1T{\ displaystyle {\ frac {1} {T}}}(vsK)K∈Z{\ displaystyle (c_ {k}) _ {k \ in \ mathbb {Z}}}
vsK=F(ϕU)(K/T){\ displaystyle c_ {k} = {\ mathcal {F}} (\ phi U) (k / T)}per ogni funzione test verificatoreϕ∈D(R){\ displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {D}} (\ mathbb {R})}∑K∈Zϕ(⋅+K)≡1.{\ Displaystyle \ sum _ {k \ in \ mathbb {Z}} \ phi (\ cdot + k) \ equiv 1.}
Caso di distribuzioni con supporto compatto
In questa sezione, si presume che T abbia un supporto compatto .
trasformata di Fourier
Dimostriamo che l'applicazione f definita su ℝ N da
f(ξ)=⟨TX,e-ioX⋅ξ⟩{\ displaystyle f (\ xi) = \ langle T_ {x}, {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x \ cdot \ xi} \ rangle}
è di classe C ∞ , con quindi (utilizzando la continuità di T in termini di semi-norme e la compattezza del suo supporto) con crescita polinomiale. Definisce quindi una distribuzione regolare temperata T f , e la controlliamo
∂αf(ξ)=⟨TX,(-ioX)αe-ioX⋅ξ⟩{\ Displaystyle \ partial ^ {\ alpha} f (\ xi) = \ langle T_ {x}, (- {\ rm {i}} x) ^ {\ alpha} {\ rm {e}} ^ {- { \ rm {i}} x \ cdot \ xi} \ rangle}
FT=Tf.{\ displaystyle {\ mathcal {F}} T = T_ {f}.}
Trasformata di Fourier-Laplace
Diamo ora la definizione della trasformata di Fourier-Laplace di T , estensione a ℂ n della sua trasformata di Fourier:
VSnon→VS,z↦⟨TX,e-ioX⋅z⟩.{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} \ to \ mathbb {C}, \ quad z \ mapsto \ langle T_ {x}, {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} x \ cdot z} \ rangle.}
Mostriamo ( teorema di Paley-Wiener ) che questa funzione è intera .
Pertanto, la trasformata di Fourier di una distribuzione di supporto compatta è analitica .
Questa osservazione è coerente con la proprietà dello scambio tra decadimento infinito e regolarità. Poiché la compattezza del supporto è la massima velocità di decremento all'infinito, è prevedibile che questa proprietà venga scambiata con quella di estrema regolarità, cioè la proprietà di essere una funzione intera.
Note e riferimenti
-
L. Schwartz , " Teoria della distribuzione e trasformazione di Fourier ", Annales de l' Université de Grenoble , vol. 23, 1947-1948, pagg. 7-24 ( leggi online ).
-
L. Schwartz , Teoria della distribuzione , Hermann ,1966( 1 a ed. Dal 1950 al 1951), cap. VII, § 4, p. 239-241.
-
(in) G. Friedlander e Mr. Joshi , Introduzione alla teoria delle distribuzioni , UPC ,1998( leggi in linea ) , p. 97-98.
-
Schwartz 1966 , p. 223.
-
Schwartz 1966 .
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