Teorema di convergenza dominata

In matematica , e più precisamente in analisi , il teorema della convergenza dominata è uno dei principali teoremi della teoria dell'integrazione di Lebesgue .

Il teorema di convergenza dominata

Teorema  -  Sia una serie di funzioni misurabili su uno spazio misurato , con valori reali o complessi, come: (fnon)non∈NON{\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}} (E,A,μ){\ displaystyle (E, {\ mathcal {A}}, \ mu)}

• la successione di funzioni converge semplicemente su E ad una funzione f  ;(fnon)non∈NON{\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
• esiste una funzione integrabile g tale che:

∀non∈NON,∀X∈E,|fnon(X)|≤g(X).{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ forall x \ in E, | f_ {n} (x) | \ leq g (x).}

Allora f è integrabile e

limnon→∞∫E|fnon-f| dμ=0.{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {E} | f_ {n} -f | ~ \ mathrm {d} \ mu = 0.}

In particolare :

limnon→∞∫Efnon dμ=∫Elimnon→∞fnon dμ=∫Ef dμ.{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \, \ int _ {E} f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu = \ int _ {E} \ lim _ {n \ to \ infty} f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu = \ int _ {E} f ~ \ mathrm {d} \ mu.} Prova dal lemma di Fatou

Riferimento: Walter Rudin , Analisi reale e complessa [ dettaglio delle edizioni ]

Cominciamo mostrando che f è integrabile:

poiché f è un semplice limite di una serie di funzioni misurabili, è misurabile e come per tutti gli n che abbiamo , attraversando il limite, quindi f è integrabile. |fnon(X)|≤g(X){\ displaystyle | f_ {n} (x) | \ leq g (x)}|f(X)|≤g(X),∀X∈E{\ displaystyle | f (x) | \ leq g (x), \ forall x \ in E}

Quindi, abbiamo quindi possiamo applicare il lemma di Fatou , 2g-|fnon-f|≥0{\ displaystyle 2g- | f_ {n} -f | \ geq 0}

∫2g dμ=∫lim inf(2g-|fnon-f|) dμ ≤lim inf∫(2g-|fnon-f|) dμ =∫2g dμ+lim inf∫-|fnon-f| dμ =∫2g dμ-lim sup∫|fnon-f| dμ{\ displaystyle {\ begin {align} \ int 2g ~ \ mathrm {d} \ mu & = \ int \ liminf (2g- | f_ {n} -f |) ~ \ mathrm {d} \ mu \\\ & \ leq \ liminf \ int (2g- | f_ {n} -f |) ~ \ mathrm {d} \ mu \\\ & = \ int 2g ~ \ mathrm {d} \ mu + \ liminf \ int - | f_ {n} -f | ~ \ mathrm {d} \ mu \\\ & = \ int 2g ~ \ mathrm {d} \ mu - \ limsup \ int | f_ {n} -f | ~ \ mathrm {d} \ mu \\\ fine {allineato}}}

e come allora∫g dμ<∞{\ displaystyle \ int g ~ \ mathrm {d} \ mu <\ infty \;}lim sup∫|fnon-f| dμ≤0{\ displaystyle \ limsup \ int | f_ {n} -f | ~ \ mathrm {d} \ mu \ leq 0}

da dove

lim∫|fnon-f| dμ=0{\ displaystyle \ lim \ int | f_ {n} -f | ~ \ mathrm {d} \ mu = 0}

Da questo deduciamo:

|∫fnon dμ-∫f dμ|=|∫(fnon-f) dμ|≤∫|fnon-f| dμ→0{\ displaystyle \ left | \ int f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu - \ int f ~ \ mathrm {d} \ mu \ right | = \ left | \ int (f_ {n} -f) ~ \ mathrm {d} \ mu \ right | \ leq \ int | f_ {n} -f | ~ \ mathrm {d} \ mu \ to 0}

e così

∫fnon dμ→∫f dμ.{\ Displaystyle \ int f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu \ rightarrow \ int f ~ \ mathrm {d} \ mu.} Dimostrazione dal teorema di convergenza monotonica

Mettiamoci in posa

gnon=|fnon-f|,poihnon=supm≥nongmeKnon=2g-hnon.{\ displaystyle g_ {n} = | f_ {n} -f |, \ quad {\ text {poi}} \ quad h_ {n} = \ sup _ {m \ geq n} g_ {m} \ quad {\ testo {e}} \ quad k_ {n} = 2g-h_ {n}.}

La forma una sequenza crescente di funzioni misurabili positive, limite . Secondo il teorema della convergenza monotonica abbiamo quindi Knon{\ displaystyle k_ {n}}2g{\ displaystyle 2g}

lim∫Knon dμ=∫2g dμ{\ displaystyle \ lim \ int k_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu = \ int 2g ~ \ mathrm {d} \ mu}

Di conseguenza

lim∫hnon dμ=0,poilim∫gnon dμ=0perché0≤gnon≤hnon.{\ displaystyle \ lim \ int h_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu = 0, \ quad {\ text {quindi}} \ quad \ lim \ int g_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu = 0 \ quad {\ text {car}} \ quad 0 \ leq g_ {n} \ leq h_ {n}.}

La fine della dimostrazione è la stessa di prima.

Esempi

Un caso speciale elementare ma utile

Sia una serie di funzioni continue con valori reali o complessi su un intervallo I della retta reale. Facciamo le seguenti due ipotesi: (fnon)non∈NON{\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

• la sequenza converge semplicemente a una funzione f  ;(fnon)non∈NON{\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
• esiste una funzione continua g tale che∀non∈NON,∀X∈io,|fnon(X)|≤g(X) e ∫iog(X)dX<+∞.{\ displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N}, \ forall x \ in I, | f_ {n} (x) | \ leq g (x) {\ text {e}} \ int _ {I} g (x) {\ rm {d}} x <+ \ infty.}Allora∫io|f(X)|dX<+∞ e limnon→+∞∫iofnon(X)dX=∫iof(X)dX.{\ displaystyle \ int _ {I} \ vert f (x) \ vert {\ rm {d}} x <+ \ infty {\ text {et}} \ lim _ {n \ rightarrow + \ infty} \ int _ {I} f_ {n} (x) {\ rm {d}} x = \ int _ {I} f (x) {\ rm {d}} x.}

Note sull'ipotesi della dominazione

L'esistenza di una funzione integrabile g che supera tutte le funzioni | f n | è equivalente alla integrabilità della funzione sup n | f n |  : t ↦ sup n | f n ( t ) | (la funzione più piccola supera tutte le funzioni | f n | ).

Questa ipotesi è essenziale per applicare il teorema: ad esempio su [0, + ∞ [ , la successione delle funzioni f n =1/non1 [0, n [ - dove n > 0 e 1 [0, n [ denotano la funzione indicatore della intervallo [0, n [ - semplicemente converge alla funzione di zero (la convergenza è ancora uniforme ), ma la sequenza di integrali f n , lungi dal tendere all'integrale (zero) di questo limite, è costantemente uguale a 1 . Secondo il teorema, sup n | f n | non è quindi integrabile. (Effettivamente: sup n | f n ( t ) | =1/E ( t ) + 1, ma la serie armonica diverge.)

Tuttavia, può accadere che la conclusione desiderata sia vera senza poterla dedurre dal teorema: ad esempio su [0, + ∞ [ , la successione delle funzioni f n = 1 [ n , n +1/non[ converge a 0 sia semplicemente che in L 1 , sebbene sup n | f n | non può essere integrato.

Convergenza di una serie di indicatori

Applicare il teorema nel caso in cui ogni f n è l' indicatore di una porzione A n di E . Poiché queste funzioni hanno valori reali, la semplice convergenza di questa serie di funzioni è equivalente all'uguaglianza dei suoi limiti inferiore e superiore , rispettivamente uguali agli indicatori dei limiti inferiore e superiore della serie di insiemi . Otteniamo quindi:

Sia una serie di parti misurabili di uno spazio misurato come: (Anon)non∈NON{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}(E,A,μ){\ displaystyle (E, {\ mathcal {A}}, \ mu)}

• i limiti inferiore e superiore della sequenza sono uguali;(Anon)non∈NON{\ displaystyle (A_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}
• μ(∪non∈NONAnon)<∞.{\ displaystyle \ mu (\ cup _ {n \ in \ mathbb {N}} A_ {n}) <\ infty.}

Quindi l'insieme misurabile A definito da

A: =lim infnonAnon=lim supnonAnon{\ displaystyle A: = \ liminf _ {n} A_ {n} = \ limsup _ {n} A_ {n}}

è di misura finita e verifica:

limnon→∞μ(AnonΔA)=0,{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ mu (A_ {n} \ Delta A) = 0,}

dove la notazione Δ indica la differenza simmetrica .

In particolare :

limnon→∞μ(Anon)=μ(A).{\ Displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ mu (A_ {n}) = \ mu (A).}

Si noti tuttavia che possiamo ottenere questo risultato direttamente, senza ricorrere al teorema di convergenza dominata. In effeti

μ(AnonΔA)=μ(Anon∪A)-μ(Anon∩A)≤μ(∪p≥nonAp)-μ(∩p≥nonAp)→non→∞μ(lim supnonAnon)-μ(lim infnonAnon)=0.{\ displaystyle \ mu (A_ {n} \ Delta A) = \ mu (A_ {n} \ cup A) - \ mu (A_ {n} \ cap A) \ leq \ mu (\ cup _ {p \ geq n} A_ {p}) - \ mu (\ cap _ {p \ geq n} A_ {p}) {\ xrightarrow [{n \ to \ infty}] {}} \ mu (\ limsup _ {n} A_ {n}) - \ mu (\ liminf _ {n} A_ {n}) = 0.}

Generalizzazione

Nella teoria della misurazione possiamo definire la nozione di proprietà quasi ovunque , motivo per cui possiamo affermare il teorema di convergenza dominata in modo più generale:

Teorema  -  Sia una sequenza di funzioni misurabili su uno spazio misurato , con valori in ℝ o ℂ, tali che: (fnon)non∈NON{\ displaystyle \ scriptstyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}(E,A,μ){\ displaystyle \ scriptstyle (E, {\ mathcal {A}}, \ mu)}

• la sequenza di funzioni ammette un limite quasi ovunque, vale a dire, esiste per quasi tutte le x  ;(fnon)non∈NON{\ displaystyle \ scriptstyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}limnon→∞fnon(X){\ displaystyle \ scriptstyle \ lim _ {n \ to \ infty} f_ {n} (x)}
• esiste una funzione integrabile g tale che per ogni numero naturale n , |fnon(X)|≤g(X){\ displaystyle | f_ {n} (x) | \ leq g (x)} μ quasi ovunque.

Allora, esiste una funzione integrabile f tale che f n converge af quasi ovunque, e

limnon→∞∫Efnon dμ=∫Ef dμ.{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {E} f_ {n} ~ \ mathrm {d} \ mu = \ int _ {E} f ~ \ mathrm {d} \ mu.}

Per dimostrare questo teorema è sufficiente assicurarsi di tornare al caso precedente eliminando le parti trascurabili.

Dimostrazione

Sia un insieme trascurabile sul quale aggiuntivi converge ed è, per ogni intero , . Tutti questi set sono trascurabili, quindi posando , abbiamo sempre . Per concludere, è sufficiente applicare il teorema di convergenza dominata nel caso semplice (sul complemento di ), e completare la definizione del limite scegliendolo nullo . NON0{\ displaystyle N_ {0}}fnon{\ displaystyle f_ {n}}K>0{\ displaystyle k> 0}NONK={X:|fK(X)|>g(X)}{\ displaystyle N_ {k} = \ {x: | f_ {k} (x) |> g (x) \}}NON=∪K=0∞NONK{\ displaystyle \ scriptstyle N = \ cup _ {k = 0} ^ {\ infty} N_ {k}}μ(NON)=0{\ displaystyle \ mu (N) = 0}NON{\ displaystyle N}f{\ displaystyle f}NON{\ displaystyle N}

Nota :

Nel caso di una misura di probabilità , la prima ipotesi può essere modificata da:

• la successione di funzioni converge in probabilità ad una funzione misurabile f .(fnon)non∈NON{\ displaystyle \ scriptstyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

Esempio di applicazione

Se , la sua trasformata di Fourier è continua. La verifica dell'ipotesi di dominio è immediata, poiché  ; il teorema della convergenza dominata ci permette di vedere che è sequenzialmente continuo , quindi continuo. f∈L1(R){\ displaystyle f \ in L ^ {1} (\ mathbb {R})}f^(y)=∫-∞+∞f(X)e-ioXydX{\ displaystyle {\ widehat {f}} (y) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f (x) {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} xy } {\ rm {d}} x}|f(X)e-ioXy|=|f(X)|{\ Displaystyle \ vert f (x) {\ rm {e}} ^ {- {\ rm {i}} xy} \ vert = \ vert f (x) \ vert}f^{\ displaystyle {\ widehat {f}} \,}

Vedi anche

Articoli Correlati

• Integrale parametrico
• Teorema di inversione integrale in serie
• Teorema di convergenza monotonica

link esterno

• Teorema di convergenza dominata di Lebesgue. Corollari su les-mathematiques.net
• The Dominated Convergence Theorem for Riemann-integrable functions , J.-F. Burnol, note from a DEUG course at the University of Lille
• Teoremi di Lebesgue in un caso semplice

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