Diritto commutativo

In matematica , e più precisamente in algebra generale , una legge di composizione interna su un insieme S si dice che sia commutativo quando, per tutti x ed y in S , $\star$

x\star y=y\star x

Esempi

Gli esempi più semplici di leggi commutative sono senza dubbio l' aggiunta e la moltiplicazione dei numeri naturali . Anche l'addizione e la moltiplicazione di numeri reali e complessi , l'aggiunta di vettori , l' intersezione e l' unione di insiemi sono leggi commutative.

Al contrario, sottrazione , divisione , moltiplicazione di matrici , composizione di mappe e moltiplicazione di quaternioni sono leggi non commutative.

Storia

Alcuni scritti antichi usano implicitamente le proprietà della commutatività. Gli egiziani usavano la commutatività della moltiplicazione per semplificare i calcoli dei prodotti. Euclide , nei suoi Elementi , aveva anche assunto la commutatività della moltiplicazione. La definizione formale di commutativa emerso alla fine del XVIII ° e l'inizio del XIX ° secolo, quando i matematici hanno cominciato a costruire una teoria delle funzioni. Oggi, la proprietà della commutatività è considerata una proprietà di base, utilizzata nella maggior parte dei rami della matematica.

La prima apparizione del termine “commutativo” risale a un articolo degli Annales de Gergonne scritto da François-Joseph Servois nel 1814, dove studiava le proprietà delle funzioni che si spostano tra loro (per composizione ). Il termine legge commutativa (in inglese) apparve poi nel 1838 dalla penna di Duncan Farquharson Gregory , in un articolo intitolato “On the real nature of simbolical algebra” pubblicato nel 1840 sulle Transactions of the Royal Society of Edinburgh .

Strutture con leggi commutative

Le seguenti strutture hanno il punto comune di essere descritte dai dati di una o più leggi interne la cui commutatività è richiesta:

i gruppi commutativi (noti anche come "gruppi abeliani");
gli anelli commutativi ;
i campi commutativi .

Elementi permutabili

Sia S un insieme dotato di una legge di composizione interna . Due elementi x e y di S si dice che siano permutable quando: $\star$

x\star y=y\star x

Diciamo anche che x e y pendolari .

Pertanto, è commutativo se e solo se due elementi qualsiasi di S sono sempre permutabili. $\star$

Note e riferimenti

(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in inglese intitolato " Proprietà commutativa " ( vedere l'elenco degli autori ) .

(in) Beatrice Lumpkin The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter , 1997 (preprint che descrive la matematica delle antiche civiltà), p. 11.
(in) R. Gay Robins and Charles Shute CD, The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text , British Museum, London, 1987 ( ISBN 0-7141-0944-4 ) (traduzione e interpretazione del Rhind Papyrus ), p . ? .
(in) John J. O'Connor e Edmund F. Robertson , "The real numbers: Pythagoras to Stevin" in MacTutor History of Mathematics archive , University of St Andrews ( leggi online ).
Servois , " Analisi trascendente. Saggio su una nuova modalità di esposizione dei principi del calcolo differenziale ”, Annales de Gergonne , vol. 5, n o 4,1 ° ottobre 1814, p. 93-140.
(a) Julio Cabillón e Jeff Miller, I primi usi noti di termini matematici , commutativi e distributivi .
(a) John J. O'Connor e Edmund F. Robertson , "Francis Joseph Servois" in MacTutor History of Mathematics archive , University of St Andrews ( leggi online ).
Raymond Flood (a cura di ), Adrian Rice (a cura di ) e Robin Wilson (a cura di ), Mathematics in Victorian Britain , OUP ,2011( presentazione in linea ) , p. 4
(in) DF Gregory, " è il vero tipo di algebra simbolica " , Transactions of the Royal Society of Edinburgh , vol. 14,1840, p. 208-216 ( leggi in linea ).

Vedi anche