Equazioni di Gauss-Codazzi
Nella geometria riemanniana , le equazioni di Gauss-Codazzi-Mainardi sono equazioni fondamentali nell'ambito della teoria delle ipersuperfici immerse in uno spazio euclideo , e più in generale sottovarietà di una varietà Riemanniana . Esistono anche applicazioni nel caso di ipersuperfici immerse in una varietà pseudo-Riemanniana .
Nella geometria classica delle superfici, le equazioni di Gauss-Codazzi-Mainardi sono costituite da una coppia di equazioni. La prima equazione, a volte chiamata equazione gaussiana , mette in relazione la curvatura intrinseca (o curvatura gaussiana ) della superficie alle derivate della mappa gaussiana , tramite la seconda forma fondamentale . Questa equazione è la base del teorema egregium di Gauss. La seconda equazione, a volte chiamata equazione di Codazzi-Mainardi , è una condizione strutturale sulle derivate seconde della mappa di Gauss. Questa equazione coinvolge la curvatura estrinseca (o curvatura media ) della superficie. Queste equazioni mostrano che i componenti della seconda forma fondamentale e le sue derivate classificano interamente la superficie fino a una trasformazione euclidea , che corrisponde a uno dei teoremi di Pierre-Ossian Bonnet .
Dichiarazione formale
Sia i: M ⊂ P una sottovarietà n- dimensionale immersa in una varietà Riemanniana P di dimensione n + p . Esiste un'inclusione naturale del fascio tangente di M in quello di P , e il cokernel è il fascio normale di M :
0→TXM→TXP|M→TX⊥M→0.{\ Displaystyle 0 \ rightarrow T_ {x} M \ rightarrow T_ {x} P | _ {M} \ rightarrow T_ {x} ^ {\ perp} M \ rightarrow 0.}La metrica fornisce il seguente effetto esatto :
TP|M=TM⊕T⊥M.{\ displaystyle TP | _ {M} = TM \ oplus T ^ {\ perp} M.}Seguendo questa sequenza, il collegamento Levi-Civita ∇ ′ di P si scompone in una componente tangenziale e in una componente normale. Per ogni X ∈ T M e campo vettoriale Y su M ,
∇X′Y=⊤(∇X′Y)+⊥(∇X′Y).{\ displaystyle \ nabla '_ {X} Y = \ top (\ nabla' _ {X} Y) + \ bot (\ nabla '_ {X} Y).}È
∇XY=⊤(∇X′Y),α(X,Y)=⊥(∇X′Y).{\ displaystyle \ nabla _ {X} Y = \ top (\ nabla '_ {X} Y), \ quad \ alpha (X, Y) = \ bot (\ nabla' _ {X} Y).}La formula di Gauss assicura quindi che ∇ X è la connessione Levi-Civita per M , e α è una forma differenziale vettoriale simmetrica con valori nel fascio normale.
Un corollario immediato è l'equazione di Gauss. Per X , Y , Z , W ∈ T M ,
⟨R′(X,Y)Z,W⟩=⟨R(X,Y)Z,W⟩+⟨α(X,Z),α(Y,W)⟩-⟨α(Y,Z),α(X,W)⟩{\ Displaystyle \ langle R '(X, Y) Z, W \ rangle = \ langle R (X, Y) Z, W \ rangle + \ langle \ alpha (X, Z), \ alpha (Y, W) \ rangle - \ langle \ alpha (Y, Z), \ alpha (X, W) \ rangle}dove R è la curvatura tensore P ed R è il M .
L' equazione di Weingarten è un analogo della formula di Gauss per una connessione nel fascio normale. Siano X ∈ T M e ξ un campo di vettori normali. Decomponiamo quindi la derivata covariante di ξ su X in componenti normali e tangenziali:
∇Xξ=⊤(∇Xξ)+⊥(∇Xξ)=-Aξ(X)+DX(ξ).{\ displaystyle \ nabla _ {X} \ xi = \ top (\ nabla _ {X} \ xi) + \ bot (\ nabla _ {X} \ xi) = - A _ {\ xi} (X) + D_ {X} (\ xi).}Allora
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Equazioni di Weingarten :⟨AξX,Y⟩=⟨α(X,Y),ξ⟩{\ displaystyle \ langle A _ {\ xi} X, Y \ rangle = \ langle \ alpha (X, Y), \ xi \ rangle}
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D X è una connessione metrica (en) nel bundle normale.
Vi sono quindi una coppia di connessioni: ∇, definita sul fascio tangente di M ; e D , impostato sul normale fascio di M . Questi due si combinano per dare una connessione su qualsiasi prodotto tensoriale di T M e T ⊥ M . In particolare, definiscono completamente la derivata covariante di α:
(∇~Xα)(Y,Z)=DX(α(Y,Z))-α(∇XY,Z)-α(Y,∇XZ).{\ displaystyle ({\ tilde {\ nabla}} _ {X} \ alpha) (Y, Z) = D_ {X} \ left (\ alpha (Y, Z) \ right) - \ alpha (\ nabla _ { X} Y, Z) - \ alpha (Y, \ nabla _ {X} Z).}L' equazione Codazzi-Mainardi dà
⊥(R′(X,Y)Z)=(∇~Xα)(Y,Z)-(∇~Yα)(X,Z).{\ displaystyle \ bot \ left (R '(X, Y) Z \ right) = ({\ tilde {\ nabla}} _ {X} \ alpha) (Y, Z) - ({\ tilde {\ nabla} } _ {Y} \ alpha) (X, Z).}
Enunciato di equazioni classiche
Nella geometria differenziale classica, le equazioni di Codazzi-Mainardi sono generalmente espresse con la seconda forma fondamentale:
ev-fu=eΓ121+f(Γ122-Γ111)-gΓ112{\ displaystyle e_ {v} -f_ {u} = e \ Gamma _ {12} ^ {1} + f (\ Gamma _ {12} ^ {2} - \ Gamma _ {11} ^ {1}) - g \ Gamma _ {11} ^ {2}}
fv-gu=eΓ221+f(Γ222-Γ121)-gΓ122{\ displaystyle f_ {v} -g_ {u} = e \ Gamma _ {22} ^ {1} + f (\ Gamma _ {22} ^ {2} - \ Gamma _ {12} ^ {1}) - g \ Gamma _ {12} ^ {2}}
Dimostrazione di equazioni classiche
Le derivate seconde di una superficie parametrizzata (in) possono essere espresse nella base così come i simboli di Christoffel e la seconda forma fondamentale.
(Xu,Xv,NON){\ displaystyle (X_ {u}, X_ {v}, N)}
Xuu=Γ111Xu+Γ112Xv+eNON{\ displaystyle X_ {uu} = \ Gamma _ {11} ^ {1} X_ {u} + \ Gamma _ {11} ^ {2} X_ {v} + eN}
Xuv=Γ121Xu+Γ122Xv+fNON{\ displaystyle X_ {uv} = \ Gamma _ {12} ^ {1} X_ {u} + \ Gamma _ {12} ^ {2} X_ {v} + fN}
Xvv=Γ221Xu+Γ222Xv+gNON{\ displaystyle X_ {vv} = \ Gamma _ {22} ^ {1} X_ {u} + \ Gamma _ {22} ^ {2} X_ {v} + gN}
Il teorema di Schwarz afferma che le seguenti derivate parziali commutano:
(Xuu)v=(Xuv)u{\ Displaystyle \ sinistra (X_ {uu} \ destra) _ {v} = \ sinistra (X_ {uv} \ destra) _ {u}}Se differenziamo rispetto a ve rispetto a u, otteniamo:
Xuu{\ displaystyle X_ {uu}}Xuv{\ displaystyle X_ {uv}}
(Γ111)vXu+Γ111Xuv+(Γ112)vXv+Γ112Xvv+evNON+eNONv=(Γ121)uXu+Γ121Xuu+(Γ122)uXv+Γ122Xuv+fuNON+fNONu{\ displaystyle \ left (\ Gamma _ {11} ^ {1} \ right) _ {v} X_ {u} + \ Gamma _ {11} ^ {1} X_ {uv} + \ left (\ Gamma _ { 11} ^ {2} \ right) _ {v} X_ {v} + \ Gamma _ {11} ^ {2} X_ {vv} + e_ {v} N + eN_ {v} = \ left (\ Gamma _ {12} ^ {1} \ right) _ {u} X_ {u} + \ Gamma _ {12} ^ {1} X_ {uu} + \ left (\ Gamma _ {12} ^ {2} \ right) _ {u} X_ {v} + \ Gamma _ {12} ^ {2} X_ {uv} + f_ {u} N + fN_ {u}}Se quindi sostituiamo le espressioni precedenti per le derivate seconde e uguagliamo i coefficienti di N:
fΓ111+gΓ112+ev=eΓ121+fΓ122+fu{\ displaystyle f \ Gamma _ {11} ^ {1} + g \ Gamma _ {11} ^ {2} + e_ {v} = e \ Gamma _ {12} ^ {1} + f \ Gamma _ {12 } ^ {2} + F_ {u}}riorganizzando i termini troviamo la prima equazione Codazzi-Mainardi.
Note e riferimenti
(fr) Questo articolo è parzialmente o interamente tratto dall'articolo di Wikipedia in
inglese intitolato
" Equazioni di Gauss-Codazzi " ( vedere la lista degli autori ) .
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(La) Carl Friedrich Gauss , " Disquitiones Generales circa Superficies Curvas " , Comm. Soc. Gott. , vol. 6,1828
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in onore di Gaspare Mainardi (de) (1856) e Delfino Codazzi (1868-1869), che autonomamente trovarono questo risultato. Cfr. (En) Morris Kline (en) , Mathematical Thought from Ancient to Modern Times: Volume 3 , OUP ,1972, 399 p. ( ISBN 978-0-19-506137-6 , leggi online ) , p. 885.
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Ossian Bonnet , " Memoria sulla teoria delle superfici applicabili a una data superficie ", JEP , vol. 25,1867, p. 31-151
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Terminologia (in) Michael Spivak , (A Comprehensive Introduction to) Differential Geometry [ edizioni al dettaglio ], volo. 3
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