Simboli di Christoffel
In matematica e fisica , i simboli di Christoffel (o coefficienti di Christoffel , o coefficienti di connessione ) sono un'espressione della connessione di Levi-Civita derivata dal tensore metrico . I simboli di Christoffel sono utilizzati nei calcoli pratici della geometria dello spazio: sono strumenti di calcolo concreti, ad esempio per determinare le geodetiche di varietà Riemanniane , ma d'altra parte la loro manipolazione è relativamente lunga, in particolare a causa del numero di termini coinvolti .
Questi sono strumenti di base utilizzati nell'ambito della relatività generale per descrivere l'azione della massa e dell'energia sulla curvatura dello spazio-tempo .
Al contrario, le notazioni formali per il collegamento Levi-Civita consentono l'espressione di risultati teorici in modo elegante, ma non hanno un'applicazione diretta per i calcoli pratici.
L' omonimo dei simboli di Christoffel è il matematico tedesco Elwin Bruno Christoffel (1829-1900) che li ha introdotti in 1869 in un articolo datato 3 gennaio.
Preliminari
Le definizioni di seguito sono valide per entrambi varietà Riemanniane e collettori pseudo-Riemanniane , come quelli utilizzati in relatività generale . Usiamo anche la notazione degli indici superiori per le coordinate controvarianti e inferiori per le coordinate covarianti.
Definizione
In una varietà Riemaniana o pseudo-Riemaniana , non esiste un sistema di coordinate applicabile all'intera varietà. Si può tuttavia definire localmente un sistema di coordinate di Lorentz (vedi definizione di varietà topologica : si può trovare in ogni punto di un intorno aperto omeomorfo ad uno aperto nello spazio ).
M{\ stile di visualizzazione M}M{\ stile di visualizzazione M}Rnon{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}
La derivata covariante permette di valutare l'evoluzione di un campo vettoriale tenendo conto non solo delle sue modificazioni intrinseche , ma anche di quella del sistema di coordinate. Quindi, se prendiamo un sistema di coordinate in coordinate polari, i due vettori e non sono costanti e dipendono dal punto studiato. La derivata covariante permette di tenere conto di questi due fattori di evoluzione.
V{\ stile di visualizzazione V}er{\ displaystyle e_ {r}}eθ{\ displaystyle e _ {\ theta}}
I simboli di Christoffel rappresentano quindi l'evoluzione dei vettori di base, attraverso la loro derivata covariante:
ΓKjio{\ displaystyle \ Gamma ^ {k} {} _ {ji}}
∇e→ioe→j=ΓKjioe→K{\ displaystyle \ nabla _ {{\ vec {e}} _ {i}} {\ vec {e}} _ {j} = {\ Gamma ^ {k}} _ {ji} {\ vec {e}} _ {K}}Otteniamo così i coefficienti di Christoffel dalla connessione se è nota. Viceversa, conoscendo i coefficienti di Christoffel è possibile ricostruire l'espressione della connessione utilizzando le proprietà della derivata covariante :
∇{\ displaystyle \ nabla}
∇tu→v→=tuio∂iovje→j+tuiovjΓKjioe→K{\ displaystyle \ nabla _ {\ vec {u}} {\ vec {v}} = u ^ {i} \ parziale _ {i} v ^ {j} {\ vec {e}} _ {j} + u ^ {i} v ^ {j} {\ Gamma ^ {k}} _ {ji} {\ vec {e}} _ {k}}Le coordinate del vettore sono indicate con un punto e virgola, secondo la definizione:
∇e→αv→{\ displaystyle \ nabla _ {{\ vec {e}} _ {\ alpha}} {\ vec {v}}}
∇e→αv→=vK;αe→K{\ displaystyle \ nabla _ {{\ vec {e}} _ {\ alpha}} {\ vec {v}} = {v ^ {k}} _ {; \ alpha} {\ vec {e}} _ { K}}Sostituendo con nella relazione precedente, si ottiene:
tu→{\ displaystyle {\ vec {u}}}e→α{\ displaystyle {\ vec {e}} _ {\ alpha}}
vK;α=∂αvK+vjΓKjα{\ displaystyle {v ^ {k}} _ {; \ alpha} = \ parziale _ {\ alpha} v ^ {k} + v ^ {j} {\ Gamma ^ {k}} _ {j \ alpha}}Possiamo quindi vedere che effettivamente l'evoluzione del vettore dipende sia dalla sua evoluzione intrinseca (termine ) sia da quella della base, attaccata al secondo termine ed in particolare a , simbolo di Christoffel.
v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}∂αvK{\ displaystyle \ parziale _ {\ alpha} v ^ {k}}ΓKjα{\ displaystyle \ Gamma ^ {k} {} _ {j \ alpha}}
Questo risultato è valido per un vettore che è un tensore di ordine 1. Per un tensore di ordine e rango , potremmo ottenere la stessa cosa:
v→{\ displaystyle {\ vec {vb}}}j+l{\ stile di visualizzazione j + l}(l,j){\ stile di visualizzazione (l, j)}
Tio...jK...l;m=Tio...jK...l,m + ΓiononmTnon...jK...l + ... + ΓjnonmTio...nonK...l - ΓSKmTio...jS...l - ΓSlmTio...jK...S{\ displaystyle {T ^ {i \ punti j}} _ {k \ punti l; m} = {T ^ {i \ punti j}} _ {k \ punti l, m} \ + \ {\ Gamma ^ { i}} _ {\ mathbf {n} m} {T ^ {\ mathbf {n} \ punti j}} _ {k \ punti l} \ + \ \ punti \ + \ {\ Gamma ^ {j}} _ {\ mathbf {n} m} {T ^ {i \ punti \ mathbf {n}}} _ {k \ punti l} \ - \ {\ Gamma ^ {\ mathbf {s}}} _ {km} {T ^ {i \ punti j}} _ {\ mathbf {s} \ punti l} \ - \ {\ Gamma ^ {\ mathbf {s}}} _ {lm} {T ^ {i \ punti j}} _ { k \ punti \ mathbf {s}}}Gli indici in grassetto sopra evidenziano i contributi delle diverse componenti di Christoffel. Osserviamo che gli indici controvarianti danno luogo ad un contributo positivo del coefficiente di Christoffel, e gli indici covarianti ad un contributo negativo.
Espressione dal tensore metrico
Molto spesso, i coefficienti di Christoffel sono calcolati dal tensore metrico , tenendo conto del fatto che
gioK{\ displaystyle g_ {ik}}
∇e→αg→ioK=0{\ displaystyle \ nabla _ {{\ vec {e}} _ {\ alpha}} {\ vec {g}} _ {ik} = 0}perché la metrica è conservata localmente : c'è un sistema di coordinate di Lorentz localmente in ogni punto dello spazio.
Applicando a , tensore di ordine 2 e rango (0,2), l'equazione dei coefficienti di Christoffel sopra riportata (2 coordinate covarianti danno 2 contributi “negativi”), notando :
g{\ stile di visualizzazione g}gioK,ℓ=∂gioK∂Xℓ{\ displaystyle g_ {ik, \ ell} = {\ frac {\ partial g_ {ik}} {\ partial x ^ {\ ell}}}}
gioK;ℓ=gioK,ℓ-gmKΓmioℓ-giomΓmKℓ. {\ displaystyle \, g_ {ik; \ ell} = g_ {ik, \ ell} -g_ {mk} \ Gamma ^ {m} {} _ {i \ ell} -g_ {im} \ Gamma ^ {m} {} _ {k \ ell}. \}Troviamo quindi, permutando gli indici ed esprimendo diversi valori dei coefficienti:
ΓioKℓ=12giom(∂gmK∂Xℓ+∂gmℓ∂XK-∂gKℓ∂Xm)=12giom(gmK,ℓ+gmℓ,K-gKℓ,m), {\ displaystyle \ Gamma ^ {i} {} _ {k \ ell} = {\ frac {1} {2}} g ^ {im} \ left ({\ frac {\ partial g_ {mk}} {\ partial x ^ {\ ell}}} + {\ frac {\ parziale g_ {m \ ell}} {\ parziale x ^ {k}}} - {\ frac {\ parziale g_ {k \ ell}} {\ parziale x ^ {m}}} \ destra) = {1 \ su 2} g ^ {im} (g_ {mk, \ ell} + g_ {m \ ell, k} -g_ {k \ ell, m}), \ }dove il tensore è l'inverso del tensore , definito usando il simbolo di Kronecker come .
gioj{\ displaystyle g ^ {ij}}gioj{\ displaystyle g_ {ij}}gKiogiol=δKl{\ displaystyle g ^ {ki} g_ {il} = \ delta ^ {k} {} _ {l}}
Nota : Anche se i simboli di Christoffel sono scritte nella stessa notazione come il tensore, è non è il tensore . Infatti, non si trasformano come tensori durante un cambio di coordinate.
La maggior parte degli autori sceglie di definire i simboli di Christoffel in base a coordinate olonome , che è la convenzione seguita qui. In coordinate non olonome , i simboli di Christoffel sono espressi in una formulazione più complessa:
ΓioKℓ=12giom(∂gmK∂Xℓ+∂gmℓ∂XK-∂gKℓ∂Xm+vsmKℓ+vsmℓK-vsKℓm) {\ displaystyle \ Gamma ^ {i} {} _ {k \ ell} = {\ frac {1} {2}} g ^ {im} \ left ({\ frac {\ partial g_ {mk}} {\ partial x ^ {\ ell}}} + {\ frac {\ parziale g_ {m \ ell}} {\ parziale x ^ {k}}} - {\ frac {\ parziale g_ {k \ ell}} {\ parziale x ^ {m}}} + c_ {mk \ ell} + c_ {m \ ell k} -c_ {k \ ell m} \ right) \}dove sono i coefficienti di commutazione della base, cioè
vsKℓm=gmpvsKℓp{\ displaystyle c_ {k \ ell m} = g_ {mp} c_ {k \ ell} {} ^ {p}}
[eK,eℓ]=vsKℓmem {\ displaystyle [e_ {k}, e _ {\ ell}] = c_ {k \ ell} {} ^ {m} e_ {m} \, \}dove sono i vettori di base e corrispondono al gancio di Lie . Due esempi base non olonomi sono ad esempio quelli associati a coordinate sferiche o cilindriche.
eK{\ displaystyle e_ {k}}[.,.]{\ stile di visualizzazione [.,.]}
Ad esempio, gli unici termini non costanti del tensore metrico in coordinate sferiche sono , e abbiamo , , . Gli elementi non nulli del simbolo di Christoffel in funzione del tensore metrico sono quindi pochi:
gθθ=r2{\ displaystyle g _ {\ theta \ theta} = r ^ {2}}gφφ=r2peccato2θ{\ displaystyle g _ {\ phi \ phi} = r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}gθθ,r=2r{\ displaystyle g _ {\ theta \ theta, r} = 2r}gφφ,r=2rpeccato2θ{\ displaystyle g _ {\ phi \ phi, r} = 2r \ sin ^ {2} \ theta}gφφ,θ=2r2cosθpeccatoθ{\ displaystyle g _ {\ phi \ phi, \ theta} = 2r ^ {2} \ cos \ theta \ sin \ theta}
Γθθr=-rΓφφr=-rpeccato2θΓrθθ=Γθrθ=r-1Γφφθ=-cosθpeccatoθΓrφφ=Γφrφ=r-1Γφθφ=Γθφφ=costoθ{\ displaystyle {\ begin {allineato} \ Gamma _ {\ theta \ theta} ^ {r} & = - r \\\ Gamma _ {\ phi \ phi} ^ {r} & = - r \ sin ^ {2 } \ theta \\\ Gamma _ {r \ theta} ^ {\ theta} = \ Gamma _ {\ theta r} ^ {\ theta} & = r ^ {- 1} \\\ Gamma _ {\ phi \ phi } ^ {\ theta} & = - \ cos \ theta \ sin \ theta \\\ Gamma _ {r \ phi} ^ {\ phi} = \ Gamma _ {\ phi r} ^ {\ phi} & = r ^ {-1} \\\ Gamma _ {\ phi \ theta} ^ {\ phi} = \ Gamma _ {\ theta \ phi} ^ {\ phi} & = \ cot \ theta \ end {allineato}}}Allo stesso modo, l'unico termine non costante del tensore metrico in coordinate cilindriche è , e abbiamo . Gli elementi non nulli del simbolo di Christoffel in funzione del tensore metrico sono quindi pochi:
gφφ=r2{\ displaystyle g _ {\ phi \ phi} = r ^ {2}}gφφ,r=2r{\ displaystyle g _ {\ phi \ phi, r} = 2r}
Γφφr=-rΓrφφ=Γφrφ=1r{\ displaystyle {\ begin {allineato} \ Gamma _ {\ phi \ phi} ^ {r} & = - r \\\ Gamma _ {r \ phi} ^ {\ phi} = \ Gamma _ {\ phi r} ^ {\ phi} & = {\ frac {1} {r}} \ end {allineato}}}Contrazione
Utilizzo in robotica
I simboli di Christoffel compaiono nella modellazione dinamica, secondo la meccanica razionale , di sistemi meccanici articolati.
Consideriamo un tale sistema, le cui variabili articolari sono .
[q1,q2,⋯,qNON]{\ displaystyle [q ^ {1}, q ^ {2}, \ cdots, q ^ {N}]}
La matrice d'inerzia, (simmetrica, definita positiva), del sistema essendo annotato , la sua energia cinetica si scrive:
Mioj{\ displaystyle M_ {ij} \,}
T=12Miojq˙ioq˙j. {\ displaystyle \ mathrm {T} = {\ frac {1} {2}} M_ {ij} {\ punto {q}} ^ {i} {\ punto {q}} ^ {j}. \}Possiamo quindi associare al sistema uno spazio di configurazione riemanniano , di metrica:
dS2=Miojdqiodqj.{\ displaystyle \ mathrm {d} s ^ {2} = M_ {ij} \ mathrm {d} q ^ {i} \ mathrm {d} q ^ {j}. \,}
Con le seguenti notazioni:
-
V(q){\ displaystyle {\ mathfrak {V}} (q)}, l'energia potenziale (che è proporzionale all'intensità della gravità).
-
VK(q)=∂V∂qK{\ displaystyle V_ {k} (q) = {\ frac {\ parziale {\ mathfrak {V}}} {\ parziale q ^ {k}}}} .
-
τK {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}} _ {k} \, \}, le forze degli attuatori, (a cui possiamo aggiungere l'attrito non conservativo).
E introducendo i simboli di Christoffel del primo tipo:
ΓiojK=12(∂MjK∂qio+∂MKio∂qj-∂Mioj∂qK). {\ displaystyle \ Gamma _ {ijk} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial M_ {jk}} {\ partial q ^ {i}}} + {\ frac {\ parziale M_ {ki}} {\ parziale q ^ {j}}} - {\ frac {\ parziale M_ {ij}} {\ parziale q ^ {k}}} \ destra). \}Le equazioni del moto sono equazioni di Lagrange che assumono la forma:
MjK(q)q¨j+ΓiojK(q)q˙ioq˙j+VK(q)=τK. {\ displaystyle M_ {jk} (q) {\ ddot {q}} {\,} ^ {j} \, + \, \ Gamma _ {ijk} (q) {\ dot {q}} {\,} ^ {i} \! {\ punto {q}} {\,} ^ {j} + V_ {k} (q) = {\ boldsymbol {\ tau}} _ {k} \,. \}In pratica il calcolo algebrico dei coefficienti di queste equazioni è possibile con software di calcolo simbolico.
Note e riferimenti
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Christoffel 1869 .
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Christoffel 1869 , p. 70.
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Poiché la derivata covariante di un tensore, che è un tensore, è la somma della sua derivata parziale, che non è un tensore, e dei simboli di Christoffel moltiplicata per questo tensore, quest'ultimo non può essere tensore (sapendo che le somme e il i prodotti dei tensori danno i tensori).
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Attenzione, ci sono variazioni nell'ordine di scrittura degli indici i, j, k
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Pranzo classico, vedi ad esempio: (in) Scott Robert Ploen , Algoritmi geometrici per la dinamica e il controllo dei sistemi multicorpo , Irvine, University of California Press ,1997, 158 pag. , {unità ( presentazione online , lettura online ) , cap. 3 (“Dinamica dei sistemi multicorpo a catena aperta - Join Space”) , p. 548-552
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Esistono anche algoritmi, basati sulla formulazione vettoriale della meccanica, che consentono di calcolare numericamente questi coefficienti.
Vedi anche
Bibliografia
: documento utilizzato come fonte per questo articolo.
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Pubblicazione originale
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