L'equazione di Keplero

In astronomia , l' equazione Keplero è una formula legante in un'orbita, l' eccentricità e e l' eccentrico anomalia E dalla anomalia media M . L'importanza di questa equazione è che permette di passare dai parametri dinamici del movimento di una stella (l'anomalia media) ai parametri geometrici (l'anomalia eccentrica). Questa equazione è stata stabilita da Keplero nel caso di orbite ellittiche , analizzando le letture della posizione del pianeta Marte effettuate da Tycho Brahe . È stato poi generalizzato ad altre forme di orbite ( parabolica , iperbolica , quasi parabolica, rettilinea) utilizzando i principi della meccanica newtoniana .

Introduzione all'equazione di Keplero

L'equazione di Keplero in quanto tale è quella stabilita da Keplero per le orbite ellittiche. Tuttavia, può essere declinato in diverse forme per coprire tutti i casi di orbite.

Caso dell'orbita ellittica

L'equazione di Keplero in orbita ellittica è:

{\ displaystyle Ee \ cdot \ sin {(E)} = M}

con l'anomalia media $M$ definita da:

{\ displaystyle M = n \ cdot (t-t_ {0})}

con $n$ il movimento medio:

{\ displaystyle n = {\ frac {2 \ cdot \ pi} {T}}}

$t$ l'ora e $t 0$ essendo l'istante del passaggio al periasse . $T$ è il periodo orbitale .

Dimostrazione

La sua dimostrazione è semplice e prevede il calcolo dell'area di un settore di ellisse, il cui vertice è occupato da uno dei due fuochi, con due metodi differenti, uno dei quali utilizza la legge delle aree e l'altro calcolando l'area di questo settore ellittico proiettata sul cerchio principale dell'ellisse.

Secondo la seconda legge di Keplero , l'area scandita dal segmento $SP$ sul diagramma è proporzionale al tempo. Quindi l'area del settore ellittico $SzP$ è uguale a $k ( t - t 0 )$ , dove $t$ è il tempo e $t 0$ è l'istante di passaggio della stella in $z$ . La costante di proporzionalità $k$ può essere facilmente determinata: alla fine di un periodo orbitale $T$ , l'area spazzata sarà uguale all'area totale dell'ellisse $π ab$ ( $a$ e $b$ essendo il semiasse maggiore e il semi minore asse dell'ellisse), sia:

{\ displaystyle SzP = {\ frac {\ pi ab} {T}} (t-t_ {0})}

Resta da determinare geometricamente l'area del settore dell'ellisse $SzP$ per fare il collegamento tra il tempo trascorso dal passaggio in $ze$ la posizione sull'orbita.

Keplero utilizzò per questo un cerchio ausiliario circoscritto all'ellisse (l'area di un settore circolare essendo facile da conoscere).

L'area del settore $Szx$ è uguale alla differenza del settore circolare $czx$ e del triangolo $cSx$ . ${\ displaystyle Szx = czx-cSx = {\ frac {1} {2}} a ^ {2} \ cdot E - {\ frac {1} {2}} a ^ {2} \ cdot e \ cdot \ sin (E)}$

dove $E$ è espresso in radianti.

Infine, $SzP = Szx \times b / a$ : essendo l'uno una compressione dell'altro del rapporto $b / a$ (dove più precisamente un'affinità del rapporto $b / a$ ) Otteniamo l'equazione di Keplero, dopo semplificazione, spiegando l'uguaglianza $SzP = k ( t - t 0 )$ , vale a dire:

{\ displaystyle {\ frac {2} {ab}} SzP = {\ frac {2 \ pi} {T}} (t-t_ {0}) = Ee \ cdot \ sin (E)}

Il movimento medio può essere espresso anche da:

{\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})} {a ^ {3}}}}}

$G$ è la costante di gravitazione universale
$m 1$ e $m 2$ le masse dei due corpi
$a$ il semiasse maggiore dell'ellisse ; $p$ essendo il parametro dell'ellisse ${\ displaystyle a = {\ frac {p} {1-e ^ {2}}}}$

L'equazione di Keplero, associata al legame tra l' anomalia eccentrica $E$ e l' anomalia vera $v$

{\ displaystyle \ tan {(v / 2)} = {\ sqrt {\ frac {1 + e} {1-e}}} \ cdot \ tan {(E / 2)}}

permette di determinare la posizione nel tempo di una stella nella sua orbita.

Caso dell'orbita iperbolica

Nel caso di un'orbita iperbolica ( $e > 1$ ), possiamo dimostrare analiticamente una relazione equivalente all'equazione di Keplero:

{\ displaystyle e \ cdot \ sinh {(H)} - H = M}

dove $sinh$ denota il seno iperbolico .

M è definito allo stesso modo del caso ellittico, con l'espressione del seguente movimento medio:

{\ displaystyle n = {\ sqrt {\ frac {G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})} {(- a) ^ {3}}}}}

L'argomento H non è più un angolo come nel caso di E in moto ellittico. In questo caso, H è legato all'anomalia vera v da:

{\ displaystyle \ tan {(v / 2)} = {\ sqrt {\ frac {e + 1} {e-1}}} \ cdot \ tanh {(H / 2)}}

Custodia con orbita parabolica

L'equazione di Keplero non è definita nell'ambito del moto parabolico ( $e = 1$ ). Viene sostituito dall'equazione di Barker.

{\ displaystyle M = s + {\ frac {s ^ {3}} {3}}}

con

{\ displaystyle ~ s = \ tan {(v / 2)}}

{\ displaystyle M = n \ cdot (t-t_ {0})}

{\ displaystyle n = 2 \ cdot {\ sqrt {\ frac {G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})} {p ^ {3}}}}}

Questa equazione cubica può essere risolta analiticamente con il metodo di Cardan .

Espressione universale dell'equazione di Keplero

Modificando la variabile, le equazioni di Keplero ellittiche, paraboliche e iperboliche possono essere raggruppate in un'unica equazione "universale". Una delle possibili espressioni è:

{\ displaystyle qx + ex ^ {3} c_ {3} (\ alpha x ^ {2}) = {\ sqrt {G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})}} (t-t_ { 0})}

con il periasse $q = a (1- e )$ , e $α = 1/ a$ . $α$ è positivo per le orbite ellittiche, zero per le orbite paraboliche e negativo per quelle iperboliche. La nuova variabile $x$ è definita da:

{\ displaystyle x = E \ cdot {\ sqrt {a}}}

e la funzione $c 3 ( t )$ è una delle funzioni Stumpff , che si scrive nel caso generale:

{\ displaystyle c_ {k} (t) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + k)!}} t ^ { non}}

Dimostrazione

Partendo dall'equazione ellittica,

{\ displaystyle Ee \ cdot \ sin {(E)} = {\ sqrt {\ frac {\ mu} {a ^ {3}}}} (t-t_ {0})}

con

{\ displaystyle \ mu = G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})}

e cambiando la variabile

${\ displaystyle x = E \ cdot {\ sqrt {a}}}$

otteniamo

{\ displaystyle ax-ea {\ sqrt {a}} \ cdot \ sin {\ left ({\ frac {x} {\ sqrt {a}}} \ right)} = {\ sqrt {\ mu}} (t -t_ {0})}

Con lo sviluppo seriale del seno troviamo:

{\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {x} {\ sqrt {a}}} \ right) = {\ frac {x} {\ sqrt {a}}} - {\ frac {x ^ {3} } {a {\ sqrt {a}}}} \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {{\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 3)!}} { \ sinistra ({\ frac {x ^ {2}} {a}} \ destra)} ^ {n}}}

L'equazione di Keplero diventa:

{\ displaystyle qx + ex ^ {3} \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {{\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 3)!}} {(\ alfa x ^ {2})} ^ {n}} = {\ sqrt {\ mu}} (t-t_ {0})}

La discontinuità su $a$ per le orbite paraboliche è stata rimossa e l'espressione per $a$ non compare più sotto una radice quadrata, rendendo questa equazione utilizzabile anche per le orbite iperboliche. La formula ottenuta partendo dall'equazione iperbolica di Keplero sarebbe in tutti i punti equivalente a questa ponendo . ${\ displaystyle x = iH \ cdot {\ sqrt {a}}}$

La determinazione di $x$ secondo l'equazione universale consente di determinare la posizione del corpo nella sua orbita $( X , Y )$ mediante:

{\ displaystyle X = a (\ cos {E} -e) = q + a \ cdot \ cos {\ left ({\ frac {x} {\ sqrt {a}}} \ right)} = qx ^ {2 } \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {{\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 2)!}} {(\ alpha x ^ {2})} ^ {n}} = qx ^ {2} c_ {2} (\ alfa x ^ {2})}

{\ displaystyle Y = a {\ sqrt {1-e ^ {2}}} \ sin {E} = {\ sqrt {a (1-e ^ {2})}} {\ sqrt {a}} \ sin {\ left ({\ frac {x} {\ sqrt {a}}} \ right)} = x \ cdot {\ sqrt {q (1 + e)}} \ sum\limits _ {n = 0} ^ { + \ infty} {{\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} {(\ alpha x ^ {2})} ^ {n}} = x \ cdot {\ sqrt {q (1 + e)}} c_ {1} (\ alfa x ^ {2})}

Le funzioni $c 1 ( t )$ e $c 2 ( t )$ essendo definite nello stesso modo di $c 3 ( t )$ sopra.

Orbite rettilinee

Le orbite rettilinee sono casi limite delle altre orbite, rendendo la distanza dalla periasse $q$ tende a zero mantenendo il semiasse maggiore $una$ costante: l'orbita tende poi verso un segmento o un semi-linea. Per il caso di orbite ellittiche e iperboliche, questo presuppone rendendo le eccentricità $e$ tendono verso 1, perché semiasse maggiore $a$ , eccentricità $e$ e periasse $q$ sono collegati da $q = un (1- e )$ . Esistono quindi tre tipi di orbite rettilinee: ellittica, parabolica e iperbolica. In pratica, solo una parte di queste orbite è descritta dalla stella, provocando una collisione o una fuga. Alcune comete kamikaze rilevate dagli osservatori solari spaziali ( SoHO , SDO, ecc.) o sezioni dell'orbita di sonde interplanetarie sono vicine alle orbite rettilinee.

Per l'orbita rettilinea ellittica, l'equazione di Keplero diventa:

{\ displaystyle ~ E- \ sin {(E)} = M}

con l'anomalia media $M$ definita da:

{\ displaystyle ~ M = n \ cdot (t-t_ {0})}

La vera anomalia non ha più alcun significato per un'orbita rettilinea, la posizione della stella è definita dalla sua distanza che la separa dalla stella principale r :

{\ displaystyle ~ r = a (1- \ cos {(E)})}

Per l'orbita rettilinea iperbolica, l'equazione di Keplero diventa:

{\ displaystyle ~ \ sinh {(H)} - H = M}

e la posizione della stella:

{\ displaystyle ~ r = a (1- \ cosh {(H)})}

$un$ essere negativo per orbite iperboliche

Infine, per l'orbita rettilinea parabolica:

{\ displaystyle M = {\ frac {s ^ {3}} {6}}}

con

{\ displaystyle ~ M = n \ cdot (t-t_ {0})}

{\ displaystyle n = {\ sqrt {G \ cdot \ (m_ {1} + m_ {2})}}}

e la posizione della stella:

{\ displaystyle r = {\ frac {s ^ {2}} {2}}}

Risolvere l'equazione di Keplerople

L'equazione di Keplero

{\ displaystyle Ee \ cdot \ sin {(E)} = M}

permette di calcolare direttamente la data (legata ad $M$ ) corrispondente ad una data posizione (legata ad $E$ ), ad esempio per determinare la data degli equinozi. Il problema inverso, invece, che determina la posizione di un pianeta per una data data, richiede la determinazione di $E$ , conoscendo $M$ ed $e$ . Questo problema non può essere risolto in modo semplice.

Risolvere l'equazione di Keplero è trovare $E ( e , M )$ :

come una serie di Fourier poiché è una funzione periodica dispari di $M$
come serie intera di $e$ , se $e < e 0 : = 0.6627 ...$ , raggio di convergenza della serie.
come valore numerico con un numero di cifre ( $d$ ), per un tempo di calcolo ottimizzato $tc ( d )$ .

serie di Fourier

È Lagrange che trova l'espressione, sebbene il nome $J n ( x )$ sia associato al nome di Bessel .

$E - M$ è una funzione dispari periodica di $M$ :

${\ displaystyle EM = e \ cdot \ sin E = 2 \ cdot \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {\ frac {J_ {n} (ne)} {n}} \ sin (nM) }$

dove $J n ( x )$ è la funzione di Bessel di un re tipo di ordine $n$ .

Dimostrazione

$E - M$ è una funzione continua, dispari e periodica del periodo $2π$ ; è quindi sviluppabile in serie di Fourier, i cui coefficienti del coseno sono tutti nulli.

{\ displaystyle EM = e \ cdot \ sin E = \ Sigma _ {p = 1} b_ {p} \ sin (pM)}

con

{\ displaystyle b_ {p} = {\ frac {1} {\ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} e \ sin (E) \ sin (pM) ~ \ mathrm {d} M}

Per cambiare la variabile di integrazione, integriamo per parti, ponendo $u = sin ( E )$ e $d v = sin ( pM ) d M$ , otteniamo:

{\ displaystyle b_ {p} = {\ frac {e} {p \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos (E) \ cos (pM) ~ \ mathrm {d} E}

Trasformando il prodotto dei coseni in somma dei coseni si ottiene:

{\ displaystyle b_ {p} = {\ frac {e} {p}} \ left ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos [(1 + p) E-ep \ sin (E)] ~ \ mathrm {d} E + {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos [(1- p ) E + ep \ sin (E)] ~ \ mathrm {d} E \ destra)}

dopo aver sostituito $d M$ con $(1- e cos E ) d E$ (uguaglianza ottenuta derivando l'equazione di Keplero).

Tuttavia, le funzioni di Bessel del primo tipo sono espresse da:

{\ displaystyle J_ {p} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos [pE-x \ sin (E)] ~ \ mathrm {d} E}

da dove :

{\ displaystyle b_ {p} = {\ frac {e} {p}} [J_ {p + 1} (pe) + J_ {p-1} (pe)]}

Inoltre, le funzioni di Bessel verificano la relazione di ricorrenza:

{\ displaystyle J_ {p-1} (x) + J_ {p + 1} (x) = {\ frac {2p} {x}} J_ {p} (x)}

quindi infine:

{\ displaystyle b_ {p} = {\ frac {2} {p}} J_ {p} (pe).}

Tutta la serie di eccentricità

È ancora Lagrange a trovare la soluzione, che Laplace completerà dando il raggio di convergenza. Questi lavori ispireranno Cauchy , che fonda la teoria delle serie analitiche per risolvere questo spinoso problema; questo vedrà il suo culmine con l'opera di Puiseux .

L'applicazione del teorema di inversione della serie di Lagrange fornisce:

${\ displaystyle EM = \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} {e ^ {n} \ over n!} \ cdot a_ {n} (M)}$

con

{\ displaystyle \ a_ {n} (M) = {\ mathrm {d} ^ {n-1} \ over {\ mathrm {d} M ^ {n-1}}} (\ sin ^ {n} M) .}

Il raggio minimo di convergenza della serie, che dipende da $M$ , si raggiunge per $M = π / 2$ , ed è $uguale a$ $e 0 = 0,6627434193$ come indicato da Laplace ( 1823 ) e dimostrato da Cauchy e Puiseux:

{\ displaystyle e_ {0} = 2 {\ frac {\ sqrt {x (1-x)}} {1-2x}}}

x

tale che .

{\ displaystyle {\ frac {1-x} {x}} = \ exp \ sinistra ({\ frac {2} {1-2x}} \ destra)}

Ciò rende questa formula inapplicabile per determinare la posizione delle comete, la cui eccentricità è spesso prossima a 1.

I primi termini sono:

{\ displaystyle EM = e \ cdot \ sin M + e ^ {2} \ cdot \ sin M \ cdot \ cos M + e ^ {3} \ cdot \ left (\ sin M \ cdot \ cos ^ {2} M - {\ sin ^ {3} M \ sopra 2} \ destra) + \ punti}

Nota: è possibile ottenere questa espansione in serie sostituendo nella precedente serie di Fourier le funzioni di Bessel con la loro espansione limitata:

{\ displaystyle J_ {n} (x) = (x / 2) ^ {n} \ sum _ {p = 0} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {p} \ over p! (n + p )!} (x / 2) ^ {2 p}}

Otteniamo quindi l'espansione limitata molto più semplicemente che con il metodo dell'inversione di serie:

{\ displaystyle EM =}

{\ displaystyle \ left (e - {\ frac {e ^ {3}} {8}} + {\ frac {e ^ {5}} {192}} + \ cdots \ right) \ cdot \ sin M + \ sinistra ({\ frac {e ^ {2}} {2}} - {\ frac {e ^ {4}} {6}} + {\ frac {e ^ {6}} {48}} + \ cdots \ destra ) \ cdot \ sin 2M + \ sinistra ({\ frac {3} {8}} e ^ {3} - {\ frac {27} {128}} e ^ {5} + \ cdots \ destra) \ cdot \ peccato 3M}

{\ displaystyle + \ left ({\ frac {e ^ {4}} {3}} - {\ frac {4} {15}} e ^ {6} + \ cdots \ right) \ cdot \ sin 4M + \ sinistra ({\frac {125} {384}} e ^ {5} + \ cdots \ destra) \ cdot \ sin 5M + \ sinistra ({\ frac {27} {80}} e ^ {6} + \ cdots \ destra ) \ cdot \ sin 6M}

Si noti che sebbene la serie di Fourier converge per $0 < e <1$ , e gli sviluppi delle funzioni di Bessel hanno un raggio di convergenza infinito, il risultato dopo la riorganizzazione dei termini converge solo per $e <0.662 ...$

Caso di comete:

e > e 0

Il primo ad affrontare il problema è Horrocks , poi soprattutto Halley , per i calcoli sulla sua eccentricità cometa $e =0.9673$ .

Diverse soluzioni sono state proposte modificando leggermente l'equazione di Barker ( $e = 1$ ). La soluzione proposta da Bessel ( 1805 ) copre il dominio $e > 0.997$ . Gauss si è illustrato dando una bella soluzione per $0.2 < e <0.95$ .

Una generalizzazione dell'equazione di Barker è uno sviluppo in serie che converge tanto più rapidamente quanto più l'eccentricità $e$ è prossima a 1, che risulta essere ben adatta ai casi di comete (questa serie vale anche per leggermente iperboliche):

{\ displaystyle n (t-t_ {0}) = S + (1-2 \ gamma) {\ frac {S ^ {3}} {3}} - \ gamma (2-3 \ gamma) {\ frac { S ^ {5}} {5}} + \ gamma ^ {2} (3-4 \ gamma) {\ frac {S ^ {7}} {7}} - \ ldots = S + \ sum _ {p = 1} ^ {\ infty} (- \ gamma) ^ {p-1} \ sinistra (p- (p + 1) \ gamma \ destra) {\ frac {S ^ {2 p + 1}} {2 p + 1} }}

il cui raggio di convergenza è: ${\ displaystyle | \ gamma | S ^ {2} <1}$

con $S = abbronzatura ( v / 2)$

{\ displaystyle n = {\ frac {k} {2}} {\ frac {\ sqrt {1 + e}} {q ^ {3/2}}}}

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1-e} {1 + e}}}

$v$ essendo l' anomalia vera , $k$ gaussiana costante gravitazionale , $e$ e $q$ essendo rispettivamente l'eccentricità e la periastro dell'orbita, $t$ il tempo e $t 0$ essendo l'istante del passaggio al periastro.

Quando $e = 1$ , la serie si riduce all'equazione di Barker.

Dimostrazione

La prima legge di Keplero afferma che le orbite sono sezioni coniche (ellissi, parabole o iperbole) con il sole come fuoco. Quindi la distanza cometa - sole r e la vera anomalia v sono legate dall'equazione di una sezione conica in coordinate polari:

${\ displaystyle r = {\ frac {p} {1 + e \ cos v}}}$

dove $p$ ed $e$ sono rispettivamente il parametro dell'eccentricità della conica.

La seconda legge di Keplero (il segmento sole-cometa percorre aree uguali in tempi uguali) può essere espressa, considerando un intervallo di tempo infinitamente piccolo $d t$ :

${\ displaystyle r ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} = h}$

dove $h$ è una costante, detta costante di area .

Combinando queste due equazioni, possiamo far scomparire $r$ , per ottenere il legame tra il tempo e l'anomalia vera, cioè una forma dell'equazione di Keplero applicabile a qualsiasi tipo di orbita.

${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {1 + e \ cos {v}}} \ right) ^ {2} dv = h ~ \ mathrm {d} t}$

o integrando tra $t 0$ e $t$ :

${\ displaystyle {\ frac {h} {p ^ {2}}} (t-t_ {0}) = \ int _ {0} ^ {v} {\ frac {1} {{(1 + e \ cos {x}}) ^ {2}}} ~ \ mathrm {d} x}$

cambiando la variabile di integrazione $s = tan ( x / 2)$ , e ponendo $S = tan ( v / 2)$ , trasformiamo questo integrale trigonometrico in un integrale di funzione razionale :

${\ displaystyle {\ frac {h (1 + e) ^ {2}} {2p ^ {2}}} (t-t_ {0}) = \ int _ {0} ^ {S} {\ frac {1 + s ^ {2}} {{(1+ \ gamma s ^ {2}}) ^ {2}}} ~ \ mathrm {d} s.}$

La funzione razionale può essere integrato direttamente per ottenere tutte le forme delle equazioni Keplero visti sopra, a seconda del segno di $γ$ . Ma espandendo la frazione razionale in una serie intera di $s$ , quindi integrando questa serie termine per termine, otteniamo:

${\ displaystyle {\ frac {h (1 + e) ^ {2}} {2p ^ {2}}} (t-t_ {0}) = \ int _ {0} ^ {S} {\ frac {1 + s ^ {2}} {{(1+ \ gamma s ^ {2}}) ^ {2}}} ~ \ mathrm {d} s = \ int _ {0} ^ {S} 1+ \ sum _ {p = 1} ^ {\ infty} (- \ gamma) ^ {p-1} \ left (p- (p + 1) \ gamma \ right) s ^ {2p} ~ \ mathrm {d} s = S + \ sum _ {p = 1} ^ {\ infty} (- \ gamma) ^ {p-1} \ left (p- (p + 1) \ gamma \ right) {\ frac {S ^ {2p + 1} } {2 p + 1}}}$

le relazioni tra il parametro della conica e la costante delle aree ,

${\ displaystyle p = a (1-e ^ {2}) = q (1 + e) = {\ frac {h ^ {2}} {G (m_ {1} + m_ {2})}} }$

permette di trovare la formula cercata (trascurando la massa $m 2$ della cometa rispetto a quella del sole).

Calcolo numerico

L'equazione di Keplero può essere risolta usando un algoritmo per trovare lo zero di una funzione . Tipo metodi di allenamento, metodo di bisezione , metodo falsa posizione richiede un frame iniziale in cui la radice è presente. A causa della periodicità e della parità dell'equazione di Keplero, è sempre possibile ridurre l'intervallo iniziale a $[0, ]$ . Questo fornisce un punto di partenza per questi metodi, ma è facile trovarne di più raffinati.

I metodi del tipo a punto fisso richiedono una prima stima della radice, germe del metodo $E 0$ , per iniziare i calcoli: ce ne sono molti in letteratura, il modo più semplice è $E 0 = M$ .

Il metodo del punto fisso più semplice, quello utilizzato da Keplero, è:

{\ stile di visualizzazione E_ {0} = M ~}

{\ displaystyle E_ {n + 1} = M + e \ cdot \ sin E_ {n} {\ text {for}} n = 0,1 \ ldots}

converge lentamente quando $e$ è vicino a 1. È quindi vantaggioso aggiungere un algoritmo di accelerazione della convergenza: il Delta-2 di Aitken, per esempio, o la variante di Steffensen.

L'equazione di Keplero si presta particolarmente bene ad algoritmi che richiedono il calcolo di elevate derivate successive, a causa del basso costo richiesto per il calcolo della macchina. In effeti :

{\ displaystyle f (E) = Ee \ cdot \ sin EM}

{\ displaystyle f '(E) = 1-e \ cdot \ cos E}

{\ displaystyle f '' (E) = e \ cdot \ sin E}

{\ displaystyle f '' '(E) = e \ cdot \ cos E}

Le seguenti derivate si deducono ciclicamente dalle precedenti. Le varianti di ordine superiore del metodo di Newton e di Halley sono quindi molto efficienti in questo caso. Va notato che questi metodi possono in alcuni casi avere difficoltà a convergere ( $e$ vicino a 1 e $M$ vicino a 0). È preferibile in queste zone o proporre un valore di partenza meno grossolano (seme di Mikkola ( Seppo Mikkola ) o di Markley), o restringere i metodi iterativi per costringerli a convergere (modifica di Hamming del metodo di Newton), oppure utilizzare metodi iterativi con minore convergenza locale ( metodo di Laguerre ).

Esempio

Durante la sua ultima visita nel 1986, la cometa di Halley è stata visitata dalla sonda Giotto . I dati necessari per determinare la posizione della cometa durante questo incontro sono:

data di transizione al perielio $t 0$ :9 febbraio 1986alle 10:59:55 UTC
data dell'incontro $t$ :14 marzo 1986alle 00:03:00 UTC, ovvero $t - t 0$ = 32.54328 giorni
eccentricità dell'orbita $e$ : 0.96727426
distanza dalla perielio $q$ : 0.58710224, o il semiasse maggiore $a = q / (1- e ) = 17,940,753 mila$ e il movimento media $n = k / a 1,5 = 0,0002,263836 millions rad / giorno$ .

L'anomalia media vale $M = n ( t - t 0 ) = 0.0073673887 rad$

L'equazione di Keplero da risolvere è:

{\ displaystyle E-0.96727426 \ sin (E) = 0.0073673887}

Partendo da $E 0 = M$ e usando il metodo di Newton,

{\ displaystyle E_ {n + 1} = E_ {n} - {\ frac {E_ {n} -e \ cdot \ sin E_ {n} -M} {1-e \ cdot \ cos E_ {n}}} }

troviamo successivamente:

0.0073673887 0.2249486948 0.1929911041 0.1909186907 0.1909107985 0.1909107984

… (I valori seguenti essendo identici) Deduciamo l'angolo di posizione della cometa nella sua orbita (la vera anomalia) $v = 1.2771772327 rad = 73,176865125 °$

La distanza della cometa dal sole è calcolata da $r = a (1 - e cos ( E ))$ = 0,902374257 AU (leggermente inferiore alla distanza tra la terra e il sole)

La velocità della cometa è pari a 43,780 8 km/s ${\ displaystyle v = 42.1219 {\ sqrt {1/r-1 / (2a)}}}$

Le iterazioni non vanno sempre così bene per le comete, come mostrato nel grafico a lato. Per eccentricità oltre 0,97, la convergenza è incerta con le iterazioni $E 0 = M$ come punto di partenza . Altri punti di partenza più precisi consentono di evitare questa trappola.

Nel caso delle comete, la risoluzione della generalizzazione quasi parabolica dell'equazione di Barker pone due problemi:

il calcolo approssimativo della serie che può richiedere un numero elevato di termini, o addirittura essere impossibile se divergente. Risulta che questa serie si presta particolarmente bene per l'uso di algoritmi di accelerazione convergenza, in particolare di Aitken Δ² o di Peter Wynn ε-algoritmo , che non solo accelerano la convergenza, ma si estendono suo dominio. Di convergenza. In pratica, le difficoltà sorgono quando la cometa è molto lontana dal suo periasse (è stata poi invisibile per molto tempo), o la sua eccentricità differisce notevolmente da 1 (in questo caso è più giudizioso risolvere l'ellittica o iperbolica di Keplero). equazione).
Risolvere l'equazione stessa. Questa può essere eseguita con i metodi del tipo Newton con:

{\ displaystyle F (S) = - n (t-t_ {0}) + S + \ sum _ {p = 1} ^ {\ infty} (- \ gamma) ^ {p-1} \ cdot (p- ( p + 1) \ cdot \ gamma) \ cdot {\ frac {S ^ {2 p + 1}} {2 p + 1}}}

notando che la derivata si esprime semplicemente:

{\ displaystyle F '(S) = {\ frac {1 + S ^ {2}} {{(1+ \ gamma \ cdot S ^ {2})} ^ {2}}}}

si deducono facilmente le seguenti derivate.

Possiamo scegliere come valore iniziale dell'iterazione $S 0$ , la soluzione dell'equazione cubica ottenuta mantenendo i primi termini (leggermente diversi dall'equazione di Barker), usando il metodo Cardan

{\ displaystyle n (t-t_ {0}) = S_ {0} + (1-2 \ cdot \ gamma) \ cdot {\ frac {{S_ {0}} ^ {3}} {3}}.}

Ricerca attuale

I calcoli tramite integratori simplettici richiedono di rimanere sempre al limite del numero di cifre decimali, al minor costo di calcolo. Dipende molto dal doppietto $( M , e )$ , $M$ compreso tra 0 e $π$ e da $e$ , soprattutto quando quest'ultimo parametro è vicino a 1.

Nijenhuis (1991) adotta il metodo di Mikkola (1987) che è il metodo di Newton di ordine 4, scegliendo “adeguatamente” il germe $E 0$ secondo il doppietto $( M , e )$ .

È chiaro che nei calcoli numerici, il volume dei calcoli è fondamentale, tanto quanto il numero di decimali, data l'instabilità del sistema solare valutata ad un coefficiente di Liapunov di $10 (t/5 Myr)$ . Ci imbattiamo in un muro esponenziale: difficile andare oltre i 25 Myr, anche con l'elaborazione a 128 bit.

Sono questi calcoli (astronomici... ma informatizzati) che girano sulle macchine dell'IMCCE-Parigi. Si calcola il calcolo del sole terrestre a latitudine 65° Nord, I (65, t) e si cerca di dedurre la correlazione con il clima passato: si deduce la scala geologica fino al Neogene (25 M anni) in (Gradstein 2004 scala geologica). Prossimo passo previsto: i 65 milioni di anni.

Storia della scienza

Prima di Keplero, l'equazione era già studiata per altri motivi:

questo è il problema di ridurre le coordinate locali a coordinate geocentriche: la correzione della parallasse deve essere ridotta. Habash al Hasib l'ha già affrontato.

Prima del 1700 si ebbero già molti tentativi: Kepler naturalmente, Curtz (1626), Niele, Boulliau (1645, 1657), Seth Ward (1653), Paganus (1657), Horrebow (1717), Cassini (1669), Newton (1665 ?), Wren (1658), Wallis (1659), Geremia Horrocks (1638) ...

Appunti

(La) J. Kepler, Astronomia nova aitiologetos, seu physica coelestis, tradita commentariis de motibus stellae Martis, ex osservazionibus GV Tychonis Brahe , The Warnock Library, 1609
(in) T. Barker (in) , Un resoconto delle scoperte riguardanti le comete, con il modo per trovare le loro orbite e alcuni miglioramenti nella costruzione e nel calcolo delle loro sedi , Londra 1757
(in) RH Battin, Guida astronomica , McGraw-Hill, New York, 1609, cap. 2
(in) K. Stumpff (de) , "Sull'implementazione degli spinori ai problemi della meccanica celeste" in note tecniche NASA D-4447, New York, 1968, c. 2
J.-L. Lagrange, “Sul problema di Keplero”, in Memorie della Reale Accademia delle Scienze di Berlino , vol. 25, 1771, pag. 204-233
(in) Peter Colwell, " Funzioni di Bessel ed equazione di Keplero " , Amer. Matematica. Mensile , vol. 99, n ° 1,gennaio 1992, pag. 45-48
A. Cauchy, "Memorie su vari punti di analisi", in Memorie della Reale Accademia delle Scienze (Parigi) , vol. 8, 1829, pag. 97-129 .
V. Puiseux, "Sulla convergenza delle serie che compaiono nella teoria del moto ellittico dei pianeti", in Rivista di matematica pura e applicata , vol. 14, 1849, pag. 33-39
(in) E. Halley, "Astronomiae cometicae sinossi" in Philosphical Transactions of the Royal Society , vol. 24, 1705, pag. 1882-1899
(La) CF Gauss, Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conisis solem ambientium , Amburgo, Perthes & Besser, 1809, p. 35-44 .
Circolare Minor Planet 10634 (24 aprile 1986)
(in) "Velocità orbitale" in Wikipedia ,15 giugno 2021( leggi in linea )

Bibliografia

(it) Peter Colwell , Risolvere l'equazione di Keplero in tre secoli , Richmond, Va, Willmann-Bell,1993, 202 pag. ( ISBN 978-0-943-39640-8 , OCLC 28724376 )
(it) John Brinkley , Trans Roy Irish Ac , vol. 7, 1803, pag. 321-356
(it) Jean Meeus , Algoritmi astronomici , Richmond, Va, Willmann-Bell,1991, 429 pag. ( ISBN 978-0-943-39635-4 , OCLC 24067389 )
(it) Albert Nijenhuis (de) , " Risolvere l'equazione di Keplero con alta efficienza e precisione " , Celest. mecc. Din. Astron. , vol. 51,1991, pag. 319-330 ( leggi in linea )
(it) Seppo Mikkola , “ Un'approssimazione cubica per l'equazione di Keplero ” , Celest. mecc. Din. Astron. , vol. 40,1987, pag. 303–312 ( leggi online )

Vedi anche

link esterno

[OI] (in) " equazione di Keplero " [ "equazione di Keplero"] registrazione di autorità n o 20110803100034177 del Index Oxford (OI) nel database di Oxford di riferimento della Oxford University Press (OUP) .
(it) Serie di articoli di Danby e Burkardt [1] [2]
(it) Algoritmo e programma di calcolo di Odell e Gooding [3]
(fr) Metodo di Gauss per risolvere l'equazione di Keplero
Registri di autorità :

L'equazione di Keplero

Introduzione all'equazione di Keplero

Caso dell'orbita ellittica

Caso dell'orbita iperbolica

Custodia con orbita parabolica

Espressione universale dell'equazione di Keplero

Orbite rettilinee

Risolvere l'equazione di Keplerople

serie di Fourier

Tutta la serie di eccentricità

Calcolo numerico

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