Integratore simplettico

Nella meccanica hamiltoniana , come spesso accade con la meccanica celeste , è spesso vantaggioso scrivere il sistema da studiare sotto forma di un'azione I e di un angolo φ, in modo che il sistema differenziale si riduca a: x: = (I , φ) e:

${\ displaystyle {\ dot {x}} = Lx: = [H, x]}$ ,

dove abbiamo notato:

${\ displaystyle [f, g]}$ la parentesi di Poisson di e . $f$ $g$

Vorremmo conoscere la soluzione formale . ${\ displaystyle x (t) = \ exp {Lt} x (0)}$

Si dice quindi che il sistema è integrabile .

Il teorema di Ramis- Morales ha permesso di fare grandi progressi in questa direzione.

Spesso ci accontentiamo di un'approssimazione per “tempi piccoli”: abbiamo quindi a che fare con un integratore simplettico .

Trattamento dirompente

Spesso, H = A + ε B, dove A è integrabile e B è una perturbazione spesso anche integrabile, e ε un reale molto piccolo. Chiamiamo L l'operatore di Liouville di A e M l'operatore di Liouville di B:

Quindi il problema è calcolare exp {L + ε M} t che purtroppo è diverso da exp {L t}. (Exp Mt) ε .

Il caso classico nella meccanica celeste è la perturbazione di Saturno da parte di Giove . Ma possiamo anche testare il metodo su una particella in un potenziale pozzo .

Ovviamente ci sono due possibilità: la formula Trotter o la formula Campbell-Hausdorff .

Oppure raffinate forme di combinazione dei due adatti.

L'idea forte è la seguente: t è piccolo; fare una teoria dell'n -esimo ordine porta ad un errore O (t n ε) o più esattamente O (t n ε + t² ε²): è nell'interesse di spingere il metodo fino all'ordine n tale che:

t (n-2) = ε.

In alcuni casi, detto simmetrico, può essere migliorato at (n-4) = ε.

Un caso semplice: l'oscillatore armonico

Possiamo iniziare testando il metodo sull'oscillatore armonico , che, come sappiamo, è il solito test.

Continueremo con il semplice pendolo .

Pendolo semplice

Questa volta, in coordinate ridotte, A = p² / 2 e B = 1 - cos q. Il sistema è esattamente integrabile, tramite funzioni di Jacobi, ma preferiamo prendere A = p² / 2 + ε q² / 2 e B = 1 - cos q - q² / 2

L'operatore A è quindi quello di un oscillatore armonico, e B svolge il ruolo di perturbazione, se le oscillazioni sono pendolari. Nel caso del whirling, il problema del "separatore" non può essere risolto semplicemente, perché l'integratore simplettico non conserva strettamente energia. È meglio allora passare alla soluzione del pendolo semplice discreto .

Altro metodo

Quando il sistema ha una certa simmetria temporale, un ultimo termine correttivo permette di raggiungere il risultato in O (t n ε + t⁴ ε²). Quindi guadagniamo in precisione.

Riferimento

Michèle Audin , " Integrability of Hamiltonian systems " , on Images of matematica ,2004.

Vedi anche

Bibliografia

Laskar e Robutel, Meccanica celeste , 80, 39-62, 2001.
Koseleff, Lectures notes in Comput Sci , n ° 673, ed Sp, 1993
Wisdom and Holman, Algoritmi di integrazione e meccanica classica , 1996.