Z trasformazione

L' trasformare zione Z è uno strumento matematico per l' automatica ed elaborazione del segnale , che è l'equivalente discreto della trasformata di Laplace . Trasforma un segnale nel dominio del tempo reale in un segnale rappresentato da una serie complessa e chiamato trasformato ed Z .

Viene utilizzato tra l'altro per il calcolo di filtri digitali con risposta all'impulso infinita e in modalità automatica per modellare sistemi dinamici in modo discreto.

Definizione

La sua definizione matematica è la seguente: la trasformazione in Z è un'applicazione che trasforma una sequenza s (definita su numeri interi) in una funzione S di una variabile complessa denominata z , tale che

S(z)=Z{S(non)}=Σnon=-∞+∞S(non)z-non,z∈{z∈VS|Σnon=-∞+∞S(non)z-nonvsononverge}{\ displaystyle S (z) = {\ mathcal {Z}} \ {s (n) \} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} s (n) z ^ {- n} , \ quad z \ in \ left \ lbrace z \ in \ mathbb {C} {\ Big |} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} s (n) z ^ {- n} \ quad \ mathrm {converge} \ right \ rbrace}

La variabile n rappresenta generalmente il tempo discretizzato, la variabile complessa z è solo un essere matematico. Quando lavoriamo su s ( n ) diciamo che siamo nel dominio del tempo , quando lavoriamo su S ( z ) il dominio si chiama frequenza per analogia con la trasformata di Fourier.

Sì , stiamo parlando di un segnale causale. Al contrario, sì , stiamo parlando di un segnale anti-causale. ∀non<0, S(non)=0{\ displaystyle \ forall n <0, \ s (n) = 0}∀non>0, S(non)=0{\ displaystyle \ forall n> 0, \ s (n) = 0}

Per i segnali causali, possiamo anche usare la trasformata Z monolaterale  :

Z+{S(non)}=Σnon=0+∞S(non)z-non{\ displaystyle {\ mathcal {Z}} _ {+} \ left \ {s \ left (n \ right) \ right \} = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} s \ left (n \ destra) z ^ {- n}}

Esistenza della trasformata in Z

Il dominio di convergenza è il sottoinsieme in cui converge la serie . In altre parole, il dominio di convergenza della trasformata nella sequenza è l'insieme: VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}
z{\ stile di visualizzazione z}(X(non))non∈Z{\ displaystyle (x (n)) _ {n \ in \ mathbb {Z}}}

{z∈VS|Σnon=-∞∞X(non)z-noneXioSte}{\ displaystyle \ left \ {z \ in \ mathbb {C} {\ Big |} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} \ quad \ mathrm { esiste} \ giusto \}}

Il sottoinsieme in cui questa serie converge assolutamente è detto corona di convergenza . In posa , viene:VS{\ displaystyle \ mathbb {C}}z=ρeioθ {\ displaystyle z = \ rho e ^ {i \ theta} ~}

|S(z)|=|Σnon=-∞∞X(non)z-non|⩽Σnon=-∞∞|X(non)|ρ-non=limiNON,M→∞SNON,M(ρ),{\ displaystyle | S (z) | = \ sinistra | \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x (n) z ^ {- n} \ destra | \ leqslant \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ left | x (n) \ right | \ rho ^ {- n} = \ lim _ {N, M \ rightarrow \ infty} S_ {N, M} \ left (\ rho \ giusto),} con SNON,M(ρ)=Σnon=-NONM|X(non)|ρ-non.{\ displaystyle S_ {N, M} \ left (\ rho \ right) = \ sum _ {n = -N} ^ {M} \ left \ vert x (n) \ right \ vert \ rho ^ {- n} .}

Il dominio di convergenza assoluta di è quindi una corona S(z){\ stile di visualizzazione S (z)}

VSvs={z∈VS:ρ1≺|z|≺ρ2}{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c} = \ left \ {z \ in \ mathbb {C}: \ rho _ {1} \ prec \ left \ vert z \ right \ vert \ prec \ rho _ {2} \ destra \}}

dove significa ogni volta o e dove la disuguaglianza (ampia o stretta) (resp. ) è la condizione necessaria e sufficiente affinché abbia un limite finito quando (resp. ) tende a . in modo esplicito, ≺{\ displaystyle \ prec}<{\ stile di visualizzazione <}≤{\ displaystyle \ leq}|z|≻ρ1{\ displaystyle \ left \ vert z \ right \ vert \ succ \ rho _ {1}}|z|≺ρ2{\ displaystyle \ left \ vert z \ right \ vert \ prec \ rho _ {2}}SNON,M(ρ){\ displaystyle S_ {N, M} \ sinistra (\ rho \ destra)}M{\ stile di visualizzazione M}NON{\ stile di visualizzazione N}+∞{\ displaystyle + \ infty}

ρ1=lim supnon→+∞|X(non)|non,ρ2=lim infnon→+∞1|X(-non)|non.{\ displaystyle \ rho _ {1} = \ limsup _ {n \ rightarrow + \ infty} {\ sqrt [{n}] {\ left \ vert x (n) \ right \ vert}}, \ quad \ rho _ {2} = \ liminf _ {n \ rightarrow + \ infty} {\ frac {1} {\ sqrt [{n}] {\ left \ vert x (-n) \ right \ vert}}}.}

Nel resto dell'articolo, si assume che la corona di convergenza sia non vuota e le trasformazioni in Z sono valide solo per . VSvs{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}z∈VSvs{\ displaystyle z \ in {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}

Proprietà di trasformazione Z

Mostriamo le proprietà elencate di seguito:

Linearità

La trasformata Z di una combinazione lineare di due segnali è la combinazione lineare delle trasformate Z di ciascun segnale.

Z{a1X1(non)+a2X2(non)}=a1Z{X1(non)}+a2Z{X2(non)} {\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {a_ {1} x_ {1} (n) + a_ {2} x_ {2} (n) \} = a_ {1} {\ mathcal {Z}} \ {x_ {1} (n) \} + a_ {2} {\ mathcal {Z}} \ {x_ {2} (n) \} \}Spostamento di tempo

Lo spostamento temporale di k campioni di un segnale risulta nella moltiplicazione della trasformata Z del segnale per z −k .

Z{X(non-K)}=z-KZ{X(non)}. {\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {x (nk) \} = z ^ {- k} {\ mathcal {Z}} \ {x (n) \}. ~}Avanzate

Quando usiamo la trasformata Z monolaterale (vedi sopra), otteniamo

Z+{X(non+K)}=zK[Z+{X(non)}-Σj=0K-1X(j)z-j]{\ displaystyle {\ mathcal {Z}} _ {+} \ left \ {x \ left (n + k \ right) \ right \} = z ^ {k} \ left [{\ mathcal {Z}} _ { +} \ sinistra \ {x \ sinistra (n \ destra) \ destra \} - \ somma _ {j = 0} ^ {k-1} x \ sinistra (j \ destra) z ^ {- j} \ destra] }convoluzione

La trasformata Z di un prodotto di convoluzione è il prodotto delle trasformate Z

Z{X*sì}=Z{X}Z{sì} {\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {x * y \} = {\ mathcal {Z}} \ {x \} {\ mathcal {Z}} \ {y \} \}

dove . (X*sì)(non)=ΣK=-∞+∞X(non-K)sì(K){\ displaystyle \ left (x * y \ right) \ left (n \ right) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ left (nk \ right) y \ left (k \ giusto)}

In effeti,

Z({X*sì})(z)=Σnon=-∞+∞{X⋆sì}(non)z-non=Σnon=-∞+∞ΣK=-∞+∞X(non-K)sì(K)z-(non-K)z-K=Σm=-∞+∞ΣK=-∞+∞X(m)sì(K)z-mz-K=(Σm=-∞+∞X(m)z-m)(ΣK=-∞+∞sì(K)z-K){\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} Z \ left (\ left \ {x * y \ right \} \ right) \ left (z \ right) & = & \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ sinistra \ {x \ stella y \ destra \} \ sinistra (n \ destra) z ^ {- n} \\ & = & \ sum\limits _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ sum \ limit _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ sinistra (nk \ destra) y \ sinistra (k \ destra) z ^ {- (nk)} z ^ {-k} \\ & = & \ sum\limits _ {m = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ sum\limits _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ left (m \ destra) y \ sinistra (k \ destra) z ^ {- m} z ^ {- k} \\ & = & \ sinistra (\ sum \ limiti _ {m = - \ infty} ^ {+ \ infty} x \ sinistra (m \ destra) z ^ {- m} \ destra) \ sinistra (\ somma \ limiti _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} y \ sinistra (k \ destra) z ^ {- k } \ destra) \ fine {array}}}Moltiplicazione per un esponenziale Z{anonX(non)}=X(za){\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {a ^ {n} x (n) \} = X \ sinistra ({\ frac {z} {a}} \ destra)}con trasformata in Z dalla seguenteX(z){\ stile di visualizzazione X (z)}X(non){\ stile di visualizzazione x (n)} Moltiplicazione per la variabile di evoluzione

Generalmente:

Z{nonKX(non)}=(-zddz)KZ{X(non)} {\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {n ^ {k} x (n) \} = \ sinistra (-z {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ destra ) ^ {k} {\ mathcal {Z}} \ {x (n) \} \}

dove significa che applichiamo k volte all'operatore(-zddz)KZ{X(non)}{\ displaystyle \ textstyle \ left (-z {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} \ right) ^ {k} {\ mathcal {Z}} \ {x (n) \ }}Z{X(non)}{\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {x (n) \}}-zddz{\ displaystyle \ textstyle -z {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}}}

Se scriviamo questa formula al rango k = 1, otteniamo la formula di derivazione  :

Z{nonX(non)}=-zddzX(z) {\ displaystyle {\ mathcal {Z}} \ {nx (n) \} = - z {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} z}} X (z) \}

Teorema del valore iniziale

Sia un segnale causale e la sua trasformata in Z. Allora: X(non){\ stile di visualizzazione x (n) \,}X(z){\ stile di visualizzazione X (z) \,}

X(0)=liminon→0X(non)=limiz→+∞X(z){\ displaystyle x (0) = \ lim _ {n \ a 0} x (n) = \ lim _ {z \ a + \ infty} X (z)}

Teorema del valore finale

Consideriamo un segnale causale e la sua trasformata in Z. Quindi, quando esiste il limite sinistro, possiamo scrivere: X(non){\ stile di visualizzazione x (n) \,}X(z){\ stile di visualizzazione X (z) \,}

liminon→+∞X(non)=limiz→1,|z|>1(z-1)X(z){\ displaystyle \ lim _ {n \ to + \ infty} x (n) = \ lim _ {z \ rightarrow 1, \ left \ vert z \ right \ vert> 1} (z-1) X (z)} Dimostrazione

Il teorema del valore iniziale ha una prova ovvia: è sufficiente impostare e sostituire y con 0 nell'espressione per . sì=z-1{\ stile di visualizzazione y = z ^ {- 1}}X(sì-1){\ stile di visualizzazione X (y ^ {- 1})}

Per il teorema del valore finale, si noti che il fatto che esiste implica che la successione è limitata e quindi che il raggio di convergenza di è minore o uguale a 1. Abbiamo liminon→+∞X(non){\ displaystyle \ lim \ nolimits _ {n \ rightarrow + \ infty} x (n)}(X(non)){\ stile di visualizzazione (x (n))}ρ1{\ displaystyle \ rho _ {1}}X(z){\ stile di visualizzazione X (z)}

(z-1)X(z)=liminon→∞Snon(z){\displaystyle (z-1) X\left (z\right) = \lim\limits _ {n\rightarrow\infty} S_ {n}\left (z\right)}

con

Snon(z)=X(0)z+Σio=1non(X(io)-X(io-1))z-io{\ displaystyle S_ {n} \ sinistra (z \ destra) = x (0) z + \ somma \ limiti _ {i = 1} ^ {n} \ sinistra (x (i) -x (i-1) \ a destra) z ^ {- i}}

e questa sequenza di funzioni è uniformemente convergente all'aperto . Il punto 1 appartiene all'adesione di U e per , converge a . Secondo il “teorema del doppio limite”, abbiamo quindi therefore tu={z∈VS:|z|>1}{\ displaystyle U = \ left \ {z \ in \ mathbb {C}: \ left \ vert z \ right \ vert> 1 \ right \}}z→1{\ displaystyle z \ freccia destra 1}Snon(z){\ displaystyle S_ {n} \ sinistra (z \ destra)}X(non){\ stile di visualizzazione x (n)}

limiz→1,|z|>1liminon→∞Snon(z)=liminon→∞(limiz→1,|z|>1Snon(z))=liminon→∞X(non).{\displaystyle\lim\limits_{z\rightarrow 1,\left\vert z\right\vert> 1}\lim\limits_{n\rightarrow\infty} S_ {n}\left (z\right) = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left (\lim\limits_{z\rightarrow 1, \left\vert z\right\vert> 1} S_ {n}\left (z\right)\ right) = \ lim \ limit _ {n \ rightarrow \ infty} x \ left (n \ right).}

Trasformazione Z inversa

La trasformata Z inversa è data da:

X(non)=Z-1{X(z)}=12πio∮VSX(z)znon-1dz {\ displaystyle x (n) = {\ mathcal {Z}} ^ {- 1} \ {X (z) \} = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ anint _ {C} X ( z) z ^ {n-1} \ mathrm {d} z \}

dove è un cammino chiuso percorso in senso antiorario e appartenente interamente al dominio di convergenza. VS{\ stile di visualizzazione C}

In pratica, questo calcolo viene spesso effettuato utilizzando il teorema dei residui e la formula diventa nel caso di un segnale causale:

X(non)=ΣzK=po^leSdeznon-1X(z)Ris⁡{znon-1X(z)}z=zK{\ displaystyle x (n) = \ sum _ {z_ {k} = {\ rm {p {\ hat {o}} les \; de \;}} z ^ {n-1} X (z)} \ nomeoperatore {Res} \ {z ^ {n-1} X (z) \} _ {z = z_ {k}} \,}

Altri metodi di inversione Altri metodi di inversione da cui passare a sono: lettura a ritroso dalla tabella delle trasformate usuali; l'applicazione delle regole dello spostamento, delle combinazioni lineari, del prodotto di convoluzione. Nella disperazione si può sempre provare a procedere per identificazione dando z k +1 valori numerici e cercando i coefficienti x (0) a x (k) che sono soluzioni di un sistema di k + 1 equazioni lineari a k + 1 sconosciuto. Oppure prova a trovare un'espansione di Taylor o Maclaurin della funzione da invertire. Un caso particolarmente favorevole si verifica quando la funzione è una frazione razionale . Infatti quando:, essendo P e Q due polinomi in 1/z, la divisione può essere effettuata fino al grado di precisione desiderato, e si ottengono direttamente i valori numerici dei coefficienti , n variabile da 0 a m. In questo caso, la notazione è adottata maggiormente in questo caso . Il motivo è che, per sistemi discreti o campionati, la funzione di trasferimento si scrive h (n) e la sua trasformata in Z è spesso presentata in questa forma di quoziente tra un output (in z) e un input (in z ) . Un esempio concreto per illustrare questo approccio:X(z){\ stile di visualizzazione X (z)}X(non){\ stile di visualizzazione x (n)} X(z){\ stile di visualizzazione X (z)}X(z)=P(z)Q(z){\ displaystyle X (z) = {\ frac {P (z)} {Q (z)}}}X(non){\ stile di visualizzazione x (n)}H(z)=NONtuM(z)/DENONohM(z) {\ displaystyle H (z) = {NUM (z)} / {DENOM (z)} \}H(z)=NONtuM(z)/DENONohM(z) {\ displaystyle H (z) = {NUM (z)} / {DENOM (z)} \}   Quoziente di polinomi in z, approssimazione numerica.

Attenzione, questo metodo è puramente numerico, non fornisce l'espressione analitica della serie inversa. In questo esempio, H (z) è il rapporto di due polinomi in 1 / z. Il numeratore sembra moltiplicare per 2 il denominatore spostato di 1 periodo, ma scegliamo valori numerici un po' imprecisi per evitare un quoziente perfetto pari a 2/z.

• Il numeratore, alla potenza di 11, è un'espressione della forma: NONtuM(z)=nontum0+nontum1(1/z)1+nontum2(1/z)2+⋯+nontum11(1/z)11{\ displaystyle \ textstyle \ scriptstyle NUM (z) = num_ {0} + num_ {1} (1 / z) ^ {1} + num_ {2} (1 / z) ^ {2} + \ cdots + num_ { 11} (1 / z) ^ {11}} NONtuM(z)=0+0(1/z)1+2,3⋅(1/z)2+4,22⋅(1/z)3+6,2⋅(1/z)4+8,21⋅(1/z)5+10,2⋅(1/z)6+12,2⋅(1/z)7+12,22⋅(1/z)8+12,4⋅(1/z)9+12,4⋅(1/z)10+12,4⋅(1/z)11.{\ displaystyle NUM (z) = 0 + 0 (1 / z) ^ {1} +2,3 \ cdot (1 / z) ^ {2} +4,22 \ cdot (1 / z) ^ {3} +6,2 \ cdot (1 / z) ^ {4} +8,21 \ cdot (1 / z) ^ {5} +10.2 \ cdot (1 / z) ^ {6} +12,2 \ cdot (1 / z) ^ {7} +12,22 \ cdot (1/z) ^ {8} +12.4 \ cdot (1/ z) ^ {9} +12.4 \ cdot (1/ z ) ^ {10} +12.4 \ cdot (1/ z) ^ {11} .}
• Il denominatore, alla potenza di 10, è: DENONohM(z)=0+1,1⋅(1/z)1+2,1⋅(1/z)2+3,1⋅(1/z)3+4,1⋅(1/z)4+5,1⋅(1/z)5+6,1⋅(1/z)6+6,1⋅(1/z)7+6,2⋅(1/z)8+6,2⋅(1/z)9+6,2⋅(1/z)10.{\ displaystyle DENOM (z) = 0 + 1.1 \ cdot (1/z) ^ {1} +2.1 \ cdot (1/z) ^ {2} +3.1 \ cdot (1/z) ^ {3} +4 ,1 \ cdot (1/z) ^ {4} +5,1 \ cdot (1 / z) ^ {5} +6,1 \ cdot (1 / z) ^ {6} + 6.1 \ cdot (1 / z) ^ {7} +6,2 \ cdot (1 / z) ^ {8} +6,2 \ cdot (1 / z) ^ {9} +6,2 \ cdot (1 / z) ^ {10}.}
• Qui la divisione dei polinomi non "cade a destra", ci accontentiamo di un'approssimazione del quoziente Q(z), della forma fino alla potenza di 10:
  Σnon≥0qnon(1/z)non{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} q_ {n} (1 / z) ^ {n}}
  

Q(z)=0+2,090909⋅(1/z)1-0,155372⋅(1/z)2+0,040421⋅(1/z)3+0,0309047⋅(1/z)4-0,015368⋅(1/z)5+0,007694⋅(1/z)6+0,101526⋅(1/z)7-0,176646⋅(1/z)8+0,061258⋅(1/z)9+0,015904⋅(1/z)10.{\ displaystyle {\ begin {matrix} Q (z) & = 0 + 2,090909 \ cdot (1 / z) ^ {1} -0,155372 \ cdot (1 / z) ^ {2} +0,040421 \ cdot (1/z) ^ {3} +0.0309047 \ cdot (1/z) ^ {4} -0.015368 \ cdot (1/z) ^ {5} \\ & + 0.007694 \ cdot (1/z) ^ {6} +0.101526 \ cdot (1/z) ^ {7} -0,176646 \ cdot (1/z) ^ {8} +0.061258 \ cdot (1/z) ^ {9} +0.015904 \ cdot (1/z) ) ^ {10}. \ Fine {matrice}}}

• Il resto R (z) di questa divisione incompleta è:

R(z)=0+0⋅(1/z)1+0⋅(1/z)2+0⋅(1/z)3+0⋅(1/z)4+0⋅(1/z)5+0⋅(1/z)6+0⋅(1/z)7+0⋅(1/z)8+0⋅(1/z)9+0⋅(1/z)10+0⋅(1/z)11+0,550806⋅(1/z)12-0,413006⋅(1/z)13-0,063683⋅(1/z)14+0,040876⋅(1/z)15-0,052647⋅(1/z)16-0,011071⋅(1/z)17+0,616793⋅(1/z)18-0,478404⋅(1/z)19-0,098602(1/z)20.{\ displaystyle {\ begin {matrix} R (z) & = 0 + 0 \ cdot (1 / z) ^ {1} +0 \ cdot (1 / z) ^ {2} +0 \ cdot (1 / z ) ^ {3} +0 \ cdot (1 / z) ^ {4} +0 \ cdot (1 / z) ^ {5} +0 \ cdot (1 / z) ^ {6} \\ & + 0 \ cdot (1/z) ^ {7} +0 \ cdot (1 / z) ^ {8} +0 \ cdot (1 / z) ^ {9} +0 \ cdot (1 / z) ^ {10} + 0 \ cdot (1/z) ^ {11} +0.550806 \ cdot (1/z) ^ {12} \\ & - 0.413006 \ cdot (1/z) ^ {13} -0.063683 \ cdot (1/z) ^ {14} +0.040876 \ cdot (1/z) ^ {15} -0.052647 \ cdot (1/z) ^ {16} \\ & - 0,011071 \ cdot ( 1/z) ^ {17} +0.616793 \ cdot (1/z) ^ {18} -0.478404 \ cdot (1/z) ^ {19} -0.098602 (1/z) ^ {20 }. \ end {matrice}}}

Possiamo verificare su un foglio di calcolo o manualmente che questi polinomi soddisfino la definizione di divisione euclidea : H (z) = NUM ​​(z) / DENOMINAZIONE (z) = Q (z) + R (z) / DENOMINAZIONE (z) . Assumiamo che il resto sia trascurabile rispetto ai coefficienti del quoziente. I diagrammi di questi vari polinomi possono essere visualizzati su un foglio di calcolo come segue.

Per curiosità possiamo visualizzare la risposta all'impulso dell'approssimazione Q (z) di H (z). Allo stesso modo, possiamo visualizzare la risposta dell'indice di Q (z) a un passo di Heaviside.

Se ci accontentassimo di un'approssimazione meno precisa di H (z) per il quoziente Q (z), della forma

Σnon≥0qnon(1/z)non{\ displaystyle \ sum _ {n \ geq 0} q_ {n} (1 / z) ^ {n}} fino alla potenza di 5 ad esempio: Q(z)=0+2,090909⋅(1/z)1-0,155372⋅(1/z)2+0,040421⋅(1/z)3+0,0309047⋅(1/z)4-0,015368⋅(1/z)5+0,{\ displaystyle \ textstyle \ scriptstyle Q (z) = 0 + 2,090909 \ cdot (1 / z) ^ {1} -0,155372 \ cdot (1 / z) ^ {2} +0,040421 \ cdot ( 1 / z) ^ {3} +0.0309047 \ cdot (1 / z) ^ {4} -0.015368 \ cdot (1 / z) ^ {5} +0,} otterremmo curve di risposta leggermente diverse, molto meno precise (imprecisione 6 volte maggiore circa). La scelta del grado di approssimazione, ovvero del miglior compromesso tra la precisione e la pesantezza dei calcoli, è dettata dall'esame concreto del problema specifico che stiamo trattando.   Processo per identificazione approssimata dei coefficienti di X (z). Per passare da a , se nessun metodo sembra portare, nella disperazione possiamo sempre provare a procedere per identificazione dando z k + 1 valori numerici e cercando i coefficienti x (0) a x (k) che sono soluzioni di un sistema di k + 1 equazioni lineari con k + 1 incognite. Esempio:X(z){\ stile di visualizzazione X (z)}X(non){\ stile di visualizzazione x (n)}   Uso di frazioni razionali, esempio della funzione di trasferimento della successione di Fibonacci.

La serie generatrice della successione di Fibonacci è Σnon∈NONFnonXnon=X1-X-X2{\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}} {\ mathcal {F}} _ {n} X ^ {n} = {\ frac {X} {1-XX ^ {2}}}} quindi la sua trasformazione in Z è

F(z)=zz2-z-1{\ stile di visualizzazione F (z) = {\ frac {z} {z ^ {2} -z-1}}}

Per trovare la formula di Binet , eseguiamo la trasformazione inversa. Si può provare il metodo delle frazioni razionali. Il denominatore ha due poli, e che sono il numero dell'oro  : e l'opposto del suo opposto: . Per i calcoli incontrati di seguito, useremo le seguenti proprietà di e  :, e z0{\ displaystyle z_ {0}}z1{\ displaystyle z_ {1}}z0=φ=1+52{\ displaystyle z_ {0} = \ varphi = {1 + {\ sqrt {5}} \ over 2}}z1=1-φ=1-52{\ displaystyle z_ {1} = 1- \ varphi = {1 - {\ sqrt {5}} \ over 2}}z0{\ displaystyle z_ {0}}z1{\ displaystyle z_ {1}}z0-z1=(2⋅z0-1)=5{\ displaystyle z_ {0} -z_ {1} = (2 \ cdot z_ {0} -1) = {\ sqrt {5}}}

(z-z0)⋅(z-z1)=z2-z-1{\ displaystyle (z-z_ {0}) \ cdot (z-z_ {1}) = z ^ {2} -z-1}.

La funzione si scompone in frazioni razionali elementari che riscriviamo un po':

F(z)=zz2-z-1=15⋅(z0z-z0-z1z-z1)=15⋅(z0⋅1z-z0-z1⋅1z-z1){\ displaystyle F (z) = {\ frac {z} {z ^ {2} -z-1}} = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ cdot \ left ({\ frac { z_ {0}} {z-z_ {0}}} - {\ frac {z_ {1}} {z-z_ {1}}} \ destra) = {\ frac {1} {\ sqrt {5}} } \ cdot \ left (z_ {0} \ cdot {\ frac {1} {z-z_ {0}}} - z_ {1} \ cdot {\ frac {1} {z-z_ {1}}} \ giusto)}.

Una frazione del tipo può essere lavorata come segue: 1/(z-z0){\ stile di visualizzazione 1 / (z-z_ {0})}

1(z-z0)=z(z-z0)⋅1z{\ displaystyle {\ frac {1} {(z-z_ {0})}} = {\ frac {z} {(z-z_ {0})}} \ cdot {\ frac {1} {z}} }

La prima parte è la trasformata della solita formula esponenziale, la seconda parte 1 / z è il puro ritardo di una tacca. Affinché la trasformata inversa di questa frazione elementare sia , applicando le regole delle combinazioni lineari calcoliamo la sequenza cercata: z0non{\ displaystyle z_ {0} ^ {n}}z0non-1{\ displaystyle z_ {0} ^ {n-1}}

Fnon=15(z0⋅z0non-1-z1⋅z1non-1)=15(z0non-z1non).{\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {n} = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ left (z_ {0} \ cdot z_ {0} ^ {n-1} -z_ {1} \ cdot z_ {1} ^ {n-1} \ destra) = {\ frac {1} {\ sqrt {5}}} \ sinistra (z_ {0} ^ {n} -z_ {1} ^ {n} \ destra).}  

Relazione con altre trasformazioni

Trasformata di Laplace

Teorema  -  Sia x un segnale, supposto una funzione differenziabile indefinitamente, e (con sovrascrittura, che denota una distribuzione come funzione)

Δ(t)=Σnon=-∞∞δ(t-nonT){\ displaystyle \ Delta \ left (t \ right) = \ sum \ limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta \ left (t-nT \ right)}

il pettine di Dirac (che appartiene allo spazio delle distribuzioni temperate ). Il segnale campionato , definito da , è una distribuzione che può essere scritta come S'{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}Xe=XΔ{\ displaystyle x_ {e} = x \ Delta}

Xe(t)=Σnon=-∞∞X(nonT)δ(t-nonT)=Σnon=-∞∞X[non]δ(t-nonT){\ displaystyle x_ {e} \ left (t \ right) = \ sum \ limiti _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (nT \ right) \ delta \ left (t-nT \ right ) = \ sum\limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left [n \ right] \ delta \ left (t-nT \ right)}.

La corrispondenza è una suriezione della banda di convergenza della trasformata di Laplace del segnale campionato (assumendo questa banda di convergenza non vuota) sulla corona di convergenza della trasformata Z della sequenza generale di termini , e si ha p↦z=epT{\ displaystyle p \ mapsto z = e ^ {pT}} Xe(p){\ displaystyle X_ {e} (p)}Xe{\ displaystyle x_ {e}}X(z){\ stile di visualizzazione X (z)}X[non]{\ stile di visualizzazione x [n]}

Xe(p)=X(z)|z=epT{\ displaystyle X_ {e} \ sinistra (p \ destra) = X \ sinistra (z \ destra) \ sinistra \ vert _ {z = e ^ {pT}} \ destra.}. Dimostrazione

O appartenenti alla banda di convergenza di . Allora (con un nuovo abuso di scrittura) appartiene e per definizione dove denota la trasformata di Fourier . Sia dove è lo spazio di Schwartz delle funzioni decrescenti (di cui è il duale). Abbiamo (ancora in forma impropria) p=α+ioω{\ displaystyle p = \ alfa + i \ omega}Xe(p){\ displaystyle X_ {e} (p)}e-αtXe(t){\ displaystyle e ^ {- \ alpha t} x_ {e} (t)}S'{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}Xe(p)=F(e-αtXe(t))(ω){\ displaystyle X_ {e} \ left (p \ right) = {\ mathcal {F}} \ left (e ^ {- \ alpha t} x_ {e} \ left (t \ right) \ right) \ left ( \ omega \ destra)}F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}φ∈S{\ displaystyle \ phi \ in {\ mathcal {S}}}S{\ displaystyle {\ mathcal {S}}}S'{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}

⟨Xe(α+ioω),φ(ω)⟩=⟨Xe(t)e-αt,(Fφ)(t)⟩=⟨Σnon=-∞∞δ(t-nonT)X(t)e-αt,(Fφ)(t)⟩=⟨Σnon=-∞∞X(nonT)e-nonαTδ(t-nonT),(Fφ)(t)⟩=⟨Σnon=-∞∞X(nonT)e-nonαT(Fδ(t-nonT)),φ(ω)⟩=⟨Σnon=-∞∞X(nonT)e-nonαTe-ioωnonT,φ(ω)⟩=⟨Σnon=-∞∞X(nonT)e-non(α+ioω)T,φ(ω)⟩{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ left \ langle X_ {e} \ left (\ alpha + i \ omega \ right), \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ rangle & = \ left \ langle x_ {e} \ left (t \ right) e ^ {- \ alpha t}, ({\ mathcal {F}} \ varphi) \ left (t \ right) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle \ sum\limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta \ left (t-nT \ right) x \ left (t \ right) e ^ {- \ alpha t}, ({\ mathcal { F}} \ varphi) \ left (t \ right) \ right \ ranle \ \ & = \ left \ langle \ sum \ limiti _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (nT \ destra) e ^ {- n \ alpha T} \ delta \ sinistra (t-nT \ destra), ({\ mathcal {F}} \ varphi) \ sinistra (t \ destra) \ destra \ ranle \\ & = \ sinistra \ langle \ sum \limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (nT \ right) e ^ {- n \ alpha T} ({\ mathcal {F}} \ delta \ left (t- nT \ right)), \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ rangle \\ & = \ left \ langle \ sum \ limit _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (nT \ right) e ^ {- n \ alpha T} e ^ {- i \ omega nT}, \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ ranle \ \ & = \ left \ langle \ sum \ limit _ { n = - \ infty} ^ {\ infty} x \ left (nT \ right) e ^ {- n (\ alpha + i \ omega) T}, \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ rangle \ fine {allineato}}}

Di conseguenza

Xe(p)=X(z)|z=epT{\ displaystyle X_ {e} (p) = X \ sinistra (z \ destra) \ sinistra \ vert _ {z = e ^ {pT}} \ destra.}.

Le suddette uguaglianze sono valide perché in ogni gancio di dualità, abbiamo a sinistra una distribuzione temperata ea destra una funzione decrescente; quindi, la sostituzione invia banda convergenza del segnale campionato nell'anello convergenza di . p↦z=epT{\ displaystyle p \ mapsto z = e ^ {pT}}Bvs{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {c}}Xe(p){\ displaystyle X_ {e} (p)}Xe{\ displaystyle x_ {e}}VSvs{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}X(z){\ stile di visualizzazione X (z)}

Reciprocamente, sia la sequenza dei termini generali  ; impostiamo e . Il numero complesso appartiene a se, e solo se la successione dei termini generali appartiene allo spazio delle “sequenze a crescita lenta” (cioè delle successioni a per le quali esiste un intero come for . La trasformata di Fourier di tale continuazione è la - distribuzione periodica X[non]{\ displaystyle x \ sinistra [n \ destra]}Xα[non]=X[non]e-αnonT{\ displaystyle x _ {\ alpha} \ left [n \ right] = x \ left [n \ right] e ^ {- \ alpha nT}}p=α+ioω{\ displaystyle p = \ alfa + i \ omega}z=epT{\ displaystyle z = e ^ {pT}}VSvs{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}Xα[non]{\ displaystyle x _ {\ alpha} \ sinistra [n \ destra]}S'{\ displaystyle \ mathbf {s} ^ {\ prime}}K>0{\ displaystyle k> 0}a[non]=oh(nonK){\ displaystyle a \ left [n \ right] = O (n ^ {k})}non→∞{\ displaystyle n \ freccia a destra \ infty}2π/T{\ stile di visualizzazione 2 \ pi / T}

(Fa)(ω)=Σnon=-∞∞a[non]e-iononωT{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} a) \ left (\ omega \ right) = \ sum\limits _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a \ left [n \ right] e ^ { -in \ omega T}}.

Cerchiamo di associare la sequenza con la distribuzione definito (in notazione abusiva) per a_{\ displaystyle {\ sottolineato {a}}}

a_(t)=Σnon=-∞∞a[non]δ(t-nonT){\ displaystyle {\ sottolinea {a}} \ sinistra (t \ destra) = \ somma \ limiti _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a \ sinistra [n \ destra] \ delta \ sinistra (t- nT \ destra)}.

La mappa è un monomorfismo di nello spazio delle distribuzioni temperate e la trasformata di Fourier è un automorfismo di . Si ottiene quindi (sempre in notazione abusiva) a↦a_{\ displaystyle a \ mapsto {\ sottolineato {a}}}S'{\ displaystyle \ mathbf {s} ^ {\ prime}}S'{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}S'{\ displaystyle {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}

(Fa)(ω)=a_(t)e-ioωt{\ displaystyle ({\ mathcal {F}} a) \ left (\ omega \ right) = {\ sottolineato {a}} \ left (t \ right) e ^ {- i \ omega t}}.

Quanto sopra mostra che

⟨Xe(α+ioω),φ(ω)⟩=⟨(FXα_)(ω),φ(ω)⟩.{\ displaystyle \ left \ langle X_ {e} \ left (\ alpha + i \ omega \ right), \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ ranle = \ left \ langle ({\ mathcal {F} } {\ sottolinea {x _ {\ alpha}}}) \ left (\ omega \ right), \ varphi \ left (\ omega \ right) \ right \ ranle.}

Ricapitoliamo: se , allora , quindi , quindi , quindi (notazione abusiva) , quindi . Abbiamo quindi mostrato che la corrispondenza è una suriezione di on . z∈VSvs{\ displaystyle z \ in {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}(Xα[non])∈S'{\ displaystyle \ left (x _ {\ alpha} \ left [n \ right] \ right) \ in \ mathbf {s} ^ {\ prime}}Xα_∈S'{\ displaystyle {\ sottolinea {x _ {\ alpha}}} \ in {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}FXα_∈S'{\ displaystyle {\ mathcal {F}} {\ sottolinea {x _ {\ alpha}}} \ in {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}Xe(α+ioω)∈S'{\ displaystyle X_ {e} \ left (\ alpha + i \ omega \ right) \ in {\ mathcal {S}} ^ {\ prime}}p∈Bvs{\ displaystyle p \ in {\ mathcal {B}} _ {c}}p↦z=epT{\ displaystyle p \ mapsto z = e ^ {pT}}Bvs{\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {c}}VSvs{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}

Trasformata di Fourier e trasformata discreta di Fourier

Se il cerchio unitario appartiene alla corona di convergenza , la trasformata di Fourier della successione si ottiene portando la restrizione della trasformata Z di tale successione al cerchio unitario, cioè ponendo . La trasformata di Fourier è infatti la funzione -periodica (è -periodica se poniamo e prendiamo come variabile la pulsazione ). Se è una successione di numeri reali, si ha quindi , si può ipotizzare che vari nell'intervallo . VSvs{\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{c}}(X[non]) {\ stile di visualizzazione (x [n]) \}z=eioθ{\ displaystyle z = e ^ {i \ theta}}2π{\ displaystyle 2 \ pi}θ↦X(eioθ){\ displaystyle \ theta \ mapsto X \ left (e ^ {i \ theta} \ right)}2π/T{\ stile di visualizzazione 2 \ pi / T}θ=ωT{\ displaystyle \ theta = \ omega T}ω{\ displaystyle \ omega}(X[non]) {\ stile di visualizzazione (x [n]) \}X(e-ioθ)=X(eioθ)¯{\ displaystyle X \ left (e ^ {- i \ theta} \ right) = {\ overline {X \ left (e ^ {i \ theta} \ right)}}}θ{\ displaystyle \ theta}[0,π[{\ displaystyle \ sinistra [0, \ pi \ destra [}

La trasformata di Fourier può essere definita per sequenze a crescita lenta (è quindi una distribuzione -periodica) e la trasformata Z da questa più generale trasformata di Fourier (vedi la dimostrazione sopra). 2π{\ displaystyle 2 \ pi}

Esiste anche una relazione tra la trasformata Z e la trasformata discreta di Fourier (DFT). Il TFD di un segnale di supporto si ottiene valutando in (con ). {Xnon}{\ displaystyle \ sinistra \ {x_ {n} \ destra \}}{0,1,...,NON-1}{\ displaystyle \ sinistra \ {0,1, ..., N-1 \ destra \}}X(z){\ stile di visualizzazione X (z)}z=eio2πKNON{\ displaystyle z = e ^ {i {\ frac {2 \ pi k} {N}}}}K=0,1,...,NON-1{\ displaystyle \ qquad k = 0,1, ..., N-1}

Le solite trasformazioni Z

Sotto, rappresenta l'impulso unitario o “sequenza di Kronecker  ” (uguale a 1 per e 0 altrimenti; si può anche scrivere , dove è il simbolo di Kronecker ); d'altra parte, designa la fase unitaria (uguale a 1 per e 0 altrimenti). δ[non]{\ displaystyle \ delta [n] \,}non=0{\ stile di visualizzazione n = 0}δ0non{\ displaystyle \ delta _ {0} ^ {n}}δioj{\ displaystyle \ delta _ {i} ^ {j}}tu[non]{\ displaystyle u [n] \,}non≥0{\ displaystyle n \ geq 0}

Z trasforma

	Segnale X(non){\ stile di visualizzazione x (n)}	Trasformato in Z X(z){\ stile di visualizzazione X (z)}	Area di convergenza
1	δ[non]{\ displaystyle \ delta [n] \,}	1{\ stile di visualizzazione 1 \,}	VS {\ displaystyle \ mathbb {C} \}
2	tu[non]{\ displaystyle u [n] \,}	11-z-1{\ displaystyle {\ frac {1} {1-z ^ {- 1}}}}	|z|>1{\ stile di visualizzazione | z |> 1 \,}
3	nontu[non]{\ displaystyle nu [n] \,}	z-1(1-z-1)2{\ displaystyle {\ frac {z ^ {- 1}} {(1-z ^ {- 1}) ^ {2}}}}	|z|>1{\ stile di visualizzazione | z |> 1 \,}
4	anontu[non]{\ displaystyle a ^ {n} u [n] \,}	11-az-1{\ displaystyle {\ frac {1} {1-az ^ {- 1}}}}	|z|>|a|{\ displaystyle | z |> | a | \,}
5	nonanontu[non]{\ displaystyle na ^ {n} u [n] \,}	az-1(1-az-1)2{\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1}} {(1-az ^ {- 1}) ^ {2}}}}	|z|>|a|{\ displaystyle | z |> | a | \,}
6	-anontu[-non-1]{\ displaystyle -a ^ {n} u [-n-1] \,}	11-az-1{\ displaystyle {\ frac {1} {1-az ^ {- 1}}}}	|z|<|a|{\ displaystyle | z | <| a | \,}
7	-nonanontu[-non-1]{\ displaystyle -na ^ {n} u [-n-1] \,}	az-1(1-az-1)2{\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1}} {(1-az ^ {- 1}) ^ {2}}}}	|z|<|a|{\ displaystyle | z | <| a | \,}
8	cos⁡(ω0non)tu[non]{\ displaystyle \ cos (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	1-z-1cos⁡(ω0)1-2z-1cos⁡(ω0)+z-2{\ displaystyle {\ frac {1-z ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0})} {1-2z ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + z ^ {- 2}}}}	|z|>1{\ stile di visualizzazione | z |> 1 \,}
9	peccato⁡(ω0non)tu[non]{\ displaystyle \ sin (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	z-1peccato⁡(ω0)1-2z-1cos⁡(ω0)+z-2{\ displaystyle {\ frac {z ^ {- 1} \ sin (\ omega _ {0})} {1-2z ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + z ^ {- 2} }}}	|z|>1{\ stile di visualizzazione | z |> 1 \,}
10	anoncos⁡(ω0non)tu[non]{\ displaystyle a ^ {n} \ cos (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	1-az-1cos⁡(ω0)1-2az-1cos⁡(ω0)+a2z-2{\ displaystyle {\ frac {1-az ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0})} {1-2az ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + a ^ {2 } z ^ {- 2}}}}	|z|>|a|{\ displaystyle | z |> | a | \,}
11	anonpeccato⁡(ω0non)tu[non]{\ displaystyle a ^ {n} \ sin (\ omega _ {0} n) u [n] \,}	az-1peccato⁡(ω0)1-2az-1cos⁡(ω0)+a2z-2{\ displaystyle {\ frac {az ^ {- 1} \ sin (\ omega _ {0})} {1-2az ^ {- 1} \ cos (\ omega _ {0}) + a ^ {2} z ^ {- 2}}}}	|z|>|a|{\ displaystyle | z |> | a | \,}

Note e riferimenti

Appunti

1. Bourlès 2010 , §12.3.5
2. Secondo Lang 1993 , §II.2
3. Bourlès 2010 , §§12.3.5, 12.4.4; Pallu de la Barrière 1966 , cap. II
4. Bourlès 2010 , §10.2.3
5. Abbiamo invertito in una fase del calcolo e , cosa possiamo giustificare ( Schwartz 1965 , §V.5)F{\ displaystyle {\ mathcal {F}}}Σ{\ displaystyle \ somma}
6. Bourlès 2010 , §12.3.2
7. Pallu de la Barrière 1966 , cap. 10, §4, Lemma 9.
8. Bourlès 2010 , §§12.3.3, 12.3.5

Riferimenti

• Henri Bourlès , Sistemi lineari , John Wiley & Sons ,2010, 544  pag. ( ISBN  978-1-84821-162-9 e 1-84821-162-7 )
• (it) Serge Lang , Analisi complessa (3a ed.) , New York/Berlino/Parigi ecc., Springer,1993, 458  pag. ( ISBN  0-387-97886-0 )
• Robert Pallu de la Barrière , Corso di automazione teorica , Dunod,1966
• Laurent Schwartz , Metodi matematici per le scienze fisiche , Hermann,1965

Vedi anche

• Filtro digitale
• Trasformazione di Laplace # Valore finale
• Funzione di trasferimento

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">