Funzione di trasferimento

Nel trattamento del segnale , una funzione di trasferimento è un modello matematico della relazione tra l'ingresso e l'uscita di un sistema lineare , più spesso invariante . Viene utilizzato in particolare nella teoria della comunicazione, nell'automazione e in tutte le scienze ingegneristiche che ricorrono a questa disciplina ( elettronica , meccanica , meccatronica , ecc .). I segnali di ingresso e di uscita di cui sopra possono avere più componenti, nel qual caso viene spesso specificato (senza che sia un obbligo) che la funzione di trasferimento è una matrice di trasferimento . D'altra parte, questi segnali possono dipendere solo dal tempo (questo è il caso più classico), o dalle variabili spaziali, o da entrambi: è il caso dei sistemi multidimensionali ); alcuni autori modellano in questo modo i sistemi definiti da equazioni alle derivate parziali. Nel campo dell'elaborazione delle immagini , i segnali di ingresso e di uscita sono funzioni delle variabili spaziali che più spesso sono considerate variabili discrete e sono quindi famiglie (o sequenze) indicizzate. La funzione di trasferimento di un sistema consente di effettuare analisi in frequenza , ad esempio per progettare successivamente un regolatore in quello che comunemente viene chiamato dominio della frequenza (vedi articolo Automatico ). L'ingresso di un sistema lineare non è necessariamente una variabile di comando e la sua uscita non è sempre una variabile di cui si vuole gestire il comportamento; ad esempio, un rumore colorato può essere modellato come l'uscita di un sistema lineare avente in ingresso un rumore bianco e la cui funzione di trasferimento è determinata dal metodo della fattorizzazione spettrale causale diretta e inversa.

La nozione di funzione di trasferimento

La relazione sopra menzionata tra l'input $u$ e l'output $y$ di un sistema è un operatore di convoluzione il cui nucleo è la risposta all'impulso del sistema. Tranne nel caso di un sistema stabile o marginalmente stabile, questa non è una distribuzione temperata (nel caso di variabili continue) o una sequenza a crescita lenta (nel caso di variabili discrete), e non ammette quindi nessuna trasformata di Fourier. Occorre quindi considerare la trasformata di Laplace o la trasformata Z , a seconda che le variabili siano continue o discrete. È questa trasformazione che viene chiamata la funzione di trasferimento del sistema. Questo rappresenta solo parzialmente il sistema, poiché non tiene conto delle condizioni iniziali (o al contorno). Più esattamente, si ottiene supponendo che queste condizioni iniziali (o ai limiti) siano nulle. Ciò si traduce in una perdita di informazioni, il che significa che la funzione di trasferimento rappresenta solo la parte controllabile e osservabile del sistema. Tuttavia, è molto importante per l'analisi delle proprietà di questo sistema e, storicamente, è questa rappresentazione che è apparsa per prima (vedi Storia del controllo automatico ). È importante comprendere le possibilità offerte dal formalismo delle funzioni di trasferimento, nonché i suoi limiti.

La nozione di funzione di trasferimento è stata a lungo definita solo per sistemi lineari invarianti . È sorta naturalmente la questione se questa nozione potesse essere estesa al caso dei sistemi lineari a coefficienti variabili. È solo di recente, con un metodo algebrico, che questa estensione è stata ottenuta con tangibili conseguenze pratiche.

Funzione di trasferimento di un sistema monovariabile

Caso di sistemi a tempo continuo

Definizione

Considera un sistema di equazioni:

D \ sinistra (\ parziale \ destra) y = N \ sinistra (\ parziale \ destra) u

dove $u$ e $y$ sono rispettivamente l'input e l'output e dove $D (\partial)$ e $N (\partial)$ sono polinomi con coefficienti reali in $\partial = d / d t$ di grado $n$ ed $m$ rispettivamente. L'insieme di questi polinomi è un anello euclideo , e quindi principale , annotato . ${\ displaystyle \ mathbb {R} [\ partial]}$

Si assume che il polinomio $D (\partial)$ sia diverso da zero. Supponiamo che $u$ ed $y$ sono “funzioni generalizzate con supporto positivo” ammettono trasformate di Laplace indicati rispettivamente e . ${\ displaystyle {\ hat {u}} (p)}$ ${\ displaystyle {\ hat {y}} (p)}$

Supponiamo che le condizioni iniziali $y (0 - )\dots, y n -1 (0 - ), u (0 - )\dots, u m -1 (0 - )$ siano zero . Mentre l'equazione differenziale sopra implica, la trasformata di Laplace , . ${\ Displaystyle D (p) {\ hat {y}} (p) = N (p) {\ hat {u}} (p)}$

Perciò : ${\ displaystyle {\ hat {y}} (p) = G (p) {\ hat {u}} (p)}$

dove $G ( p )$ è la frazione razionale $N ( p ) / D ( p )$ . Questa frazione razionale è chiamata funzione di trasferimento del sistema.

Pali non controllabili

Il ragionamento che coinvolge questa frazione razionale deve essere fatto sulla sua rappresentazione irriducibile $N ' ( p ) / D ' ( p )$ dove $N ' ( p ) = N ( p ) / P ( p )$ , $D ' ( p ) = D ( p ) / P ( p )$ , $P ( p ) che$ denota un mcd di $N ( p )$ e $D ( p )$ .

Il sistema considerato è sempre osservabile, ed è controllabile (risp. Stabilizzabile) se, e solo se $P ( p )$ è un'unità dell'anello , cioè un reale diverso da zero (risp. A polinomio di Hurwitz ). Le radici nel piano complesso del polinomio $P$ $($ $p$ $)$ sono i poli non controllabili del sistema ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p]}$

Grado di una funzione di trasferimento

Il grado di una frazione razionale $G = NON / D$ è definito da: $d ° ( G ) = d ° ( N ) - d ° ( D )$ . Facciamo la divisione euclidea di $N (\partial)$ per $D (\partial)$ . Viene $N (\partial) = D (\partial) Q (\partial) + R (\partial)$ dove $Q (\partial)$ è il quoziente e $R (\partial)$ il resto, tale che $d ° ( R ) < d ° ( D )$ . Impostando $z = y - Q (\partial) u$ , lascia di nuovo

{\ Displaystyle y = z + Q (\ partial) u}

otteniamo

{\ Displaystyle D (\ partial) z = R (\ partial) u}

Supponiamo che $u$ sia una funzione continua a tratti, che mostra una discontinuità all'origine. Allora $z$ è una funzione continua. Per $y$ , sono possibili tre casi:

$Q (\partial) = 0$ , che è equivalente a $d ° ( G ) <0$ . Sidice che lafrazione razionale $G$ sia strettamente propria . In questo caso, $R (\partial) = N (\partial)$ . Allora $y = z$ .
$d ° ( Q ) = 0$ , che è equivalente a $d ° ( G ) = 0$ . Sidice che lafrazione razionale $G$ sia bipropre . Allora $y$ è una funzione che presenta le stesse discontinuità di $u$ . Si dice che una funzione di trasferimento rigorosamente pulita o bi-pulita sia pulita .
$d ° ( Q )> 0$ , che è equivalente a $d ° ( G )> 0$ . Sidice che lafrazione razionale $G$ sia impropria . In questo caso, $y$ è, a livello matematico, una distribuzione singolare (cioè una distribuzione che non è una funzione, perché è espressa come funzione della distribuzione di Dirac ed eventualmente delle sue derivate).

Il caso (3) non si verifica mai nella pratica, poiché un'entrata discontinua distruggerebbe il sistema. Il caso (2) è eccezionale: corrisponde a un sistema “senza inerzia”. Un regolatore può comunque avere una funzione di trasferimento bispecifica (il caso più semplice è quello di un regolatore proporzionale).

In quanto segue assumiamo di essere nel caso (1) o (2).

Poli e zeri di trasmissione - Stabilità

I poli (risp. Zeri ) di trasmissione del sistema sono chiamati i poli (risp. Zeri) della funzione di trasferimento $G ( p )$ , cioè le radici di $D ' ( p )$ (risp. $N' ( p )$ ).

Il sistema è EBSB stabile se, e solo se, i suoi poli di trasmissione appartengono tutti al semipiano sinistro (dal quale, per convenzione, è escluso l'asse immaginario). È esponenzialmente stabile se, e solo se il polinomio $D (\partial)$ è Hurwitz . Da quanto sopra, il sistema è esponenzialmente stabile se e solo se è EBSB stabile e stabilizzabile. (Non si può sottolineare abbastanza che questo è vero solo perché il sistema considerato è osservabile, e le sue uniche modalità nascoste possibili sono quindi i suoi poli non controllabili.)

Si dice che il sistema sia al minimo di fase se i suoi poli e gli zeri di trasmissione appartengono tutti al semipiano sinistro.

Risposta in frequenza

La risposta in frequenza del sistema considerato sopra è la funzione . È definito sul complemento di in dove è l'insieme (eventualmente vuoto) dei poli di trasmissione posti sull'asse immaginario. Il principio dell'estensione analitica mostra che la risposta in frequenza determina completamente la funzione di trasferimento. ${\ displaystyle \ omega \ mapsto G ({\ rm {i}} \ omega)}$ $\ mathcal {P}$ $\ mathbb {R}$ $\ mathcal {P}$

L'interpretazione della risposta in frequenza è la seguente: supponiamo che l'ingresso del sistema sia sinusoidale, di pulsazione $ω$ (questa pulsazione non appartiene al set sopra). È conveniente, nel piano matematico, scrivere questo segnale di ingresso $u$ in forma complessa , . Quindi mostriamo immediatamente che l'output è (in forma complessa) $y$ $($ $t$ $) =$ $G$ $(i$ $ω$ $)$ $u$ $($ $t$ $)$ . In concreto, l'effettiva entrata e uscita (in tutti i sensi della parola) è ovviamente la parte reale del complesso ingresso e uscita sopra. $\ mathcal {P}$ ${\ displaystyle t \ mapsto A {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ omega t}}$ $t \ in {\ mathbb {R}}$

Se l'asse immaginario appartiene alla banda di convergenza della funzione di trasferimento (come trasformata di Laplace bilaterale della risposta all'impulso), la risposta in frequenza non è altro che la trasformata di Fourier della risposta all'impulso. Ecco perché, in alcune scienze ingegneristiche dove i sistemi considerati sono sempre stabili, la funzione di trasferimento è definita come questa trasformata di Fourier. Questo è un abuso di linguaggio che non è privo di confusione.

Caso di sistemi a tempo discreto

Definizione

Nel caso di sistemi a tempo discreto, il formalismo è molto simile a quello sviluppato sopra, con alcune differenze

Nell'equazione di sistema, l'operatore derivativo $\partial$ è sostituito dall'operatore di anticipo . I segnali ora sono sequel. ${\ Displaystyle q: x (k) \ mapsto x (k + 1)}$
Scrivendo che $D ( q ) = q n + a 1 q n - 1 + ... + a n$ e $N ( q ) = b 0 q m + b 1 q m - 1 + ... + b m$ , l L'equazione del sistema può quindi essere spiegata come segue:

{\ Displaystyle y (k + n) + a_ {1} y (k + n-1) + ... + a_ {n} y (k) = b_ {0} u (k + m) + b_ {1 } u (k + m-1) + ... + b_ {m} u (k)}

(3) Le condizioni iniziali sono ora $y (0), ..., y ( n - 1), u (0), ..., u ( m - 1)$ . Li assumendo pari a zero, e simboleggia da $U ( z )$ e $Y ( z )$ le monolaterali trasforma in Z delle sequenze $u$ e $y$ rispettivamente, si ottiene (vedere Proprietà della trasformata in Z )

{\ displaystyle Y (z) = G (z) U (z)}

dove $G ( z )$ è la funzione di trasferimento $N ( z ) / D ( z )$ .

Causalità

Il sistema è strettamente causale se e solo se la sua funzione di trasferimento è una frazione razionale strettamente propria (cioè $d ° ( G ) <0$ ). Ciò significa che l'uscita ad un dato istante $k$ (considerato come l'istante presente) non è influenzata né dal futuro dell'ingresso, né dal valore di quest'ultimo all'istante $k$ .

Il sistema è causale se e solo se la sua funzione di trasferimento è propria. Ciò significa che l'uscita in un dato momento non è influenzata dal futuro dell'ingresso.

Infine, il sistema è non causale se e solo se la sua funzione di trasferimento è impropria. L'uscita in un dato momento è quindi influenzata dal futuro dell'ingresso. Questo è ovviamente impossibile quando passato, presente e futuro hanno i soliti significati. Tuttavia, è possibile ottenere, ad esempio, l'elaborazione del segnale a tempo ritardato utilizzando filtri digitali non causali.

Stabilità

Un sistema a tempo discreto della funzione di trasferimento $G ( z )$ è EBSB stabile se, e solo se i suoi poli di trasmissione, cioè i poli di $G ( z )$ , sono tutti situati all'interno dell'unità circolare.

Sappiamo che la relazione tra la variabile di Laplace $p$ e la variabile $z$ della trasformata in Z è (vedi trasformata di Laplace ) $z = e pT$ dove $T$ è il periodo di campionamento. Quindi abbiamo $| z | <1$ (risp. $| Z | = 1$ ) se e solo se (risp. ). La condizione di stabilità, qui dichiarata per i sistemi a tempo discreto, non dovrebbe quindi essere sorprendente quando sappiamo quanto sopra indicato per i sistemi a tempo continuo. ${\ displaystyle \ Re (p) <0}$ ${\ displaystyle \ Re (p) = 0}$

Risposta in frequenza

Ponendo $p = i ω$ nella relazione tra la variabile di Laplace $p$ e la variabile $z$ , otteniamo $z = e i ωT = e i θ$ con $θ = ωT$ . Questo spiega perché la risposta in frequenza di un sistema a tempo discreto, con una funzione di trasferimento $G ( z )$ , è la funzione . Questa funzione, definita per ogni $θ$ tale che $e$ $i$ $θ$ non è un polo di $G$ $($ $z$ $)$ , è periodica con periodo $2π$ , e come , le variazioni di $θ$ possono essere limitate all'intervallo $[0, π [$ . La variabile è chiamata battito cardiaco normalizzato . Se l'ingresso del sistema è sinusoidale, di impulso normalizzato $θ$ (dove $e$ $i$ $θ$ non è un polo di $G$ $($ $z$ $)$ ), cioè (in forma complessa) $u$ $($ $k$ $) =$ $A$ $e$ $i$ $kθ$ , allora l'uscita è ( in forma complessa) $y$ $($ $k$ $) = G (e$ $io$ $θ$ $)$ $u$ $($ $k$ $)$ . ${\ displaystyle \ theta \ mapsto G ({\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ theta})}$ ${\ displaystyle {\ rm {e}} ^ {- i \ theta} = {\ overline {{\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ theta}}}}$ $\ theta$

Funzione di trasferimento di un sistema discretizzato

In modalità automatica , nella stragrande maggioranza dei casi, un sistema a tempo discreto $S d$ risulta dalla discretizzazione, in un periodo di campionamento $T$ , di un sistema a tempo continuo $S c$ con una funzione di trasferimento $G ( p )$ . L'uscita $y$ del sistema $S c$ è campionata al periodo $T$ , e questo si traduce nel segnale campionato $y * = y$ where $T$ dove $ϖ T$ è il " pettine di Dirac ".

{\ displaystyle \ varpi _ {T} (t) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} \ delta (t-kT)}

Questo segnale $y *$ , che è solo una rappresentazione matematica, contiene infatti per informazione solo i valori di $y$ negli istanti di campionamento, poiché

{\ Displaystyle y ^ {\ ast} \ sinistra (t \ destra) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} y (kT) \ delta (t-kT)}

Impostando $y d ( k ) = y ( kT )$ , il segnale discreto $y d$ (che è una sequenza) è l'uscita del sistema $S d$ che cerchiamo di caratterizzare. Queste informazioni discrete vengono elaborate da un computer, ad esempio per generare un segnale di controllo discreto $u d$ . Questo segnale $u d$ deve subire una interpolazione per essere trasformato in un segnale orario continuo che può agire sul sistema $S c$ . Per ottenere un sistema in loop operante in tempo reale, questa interpolazione deve essere causale , a differenza dell'interpolazione di Shannon (del teorema di Shannon-Nyquist ). Procediamo quindi bloccando il segnale discreto $u d$ su ogni periodo di campionamento. Il blocco più semplice è quello di ordine zero. Il segnale di blocco campionato (con blocco di ordine zero) è definito da

{\ Displaystyle u_ {b0} (t) = u_ {d} (k), t \ in [kT, (k + 1) T [}

È quindi questo segnale $u b 0$ (che è infatti tempo continuo, ma che d'altra parte è una funzione discontinua del tempo poiché è a gradini) che entra nel sistema $S c$ .

La relazione tra $u d$ e $y d$ è lineare e stazionaria. Ammette quindi una funzione di trasferimento in $z$ , indicata con $G d ( z )$ , che tiene conto del blocco dell'ordine zero. Mostriamo facilmente che è dato da

{\ displaystyle G_ {d} (z) = (1-z ^ {- 1}) {\ mathcal {Z}} \ left [{\ mathcal {L}} ^ {- 1} \ left \ {{\ frac {G (p)} {p}} \ right \} \ right]}

dove e denotano rispettivamente Laplace trasformata e la trasformata Z . $\ mathcal {L}$ ${\ mathcal {Z}}$

Matrice di trasferimento

Definizione

Gli sviluppi che seguono sono effettuati per sistemi a tempo continuo. Evidentemente sono trasposti in sistemi temporali discreti. Si consideri un sistema multivariato a tempo continuo, avente $m$ ingressi $u 1 , ..., u m$ e $q$ uscite $y 1 , ..., y q$ . Sia $u$ (risp. $Y$ ) la colonna formata da $u j$ (risp. $Y i$ ) e (risp. ) La trasformata monolaterale di Laplace di $u$ (risp. $Y$ ). Con condizioni iniziali zero , c'è una relazione ${\ displaystyle {\ hat {u}} (p)}$ ${\ displaystyle {\ hat {y}} (p)}$

{\ displaystyle {\ hat {y}} (p) = G (p) {\ hat {u}} (p)}

dove $G ( p )$ è una matrice di frazioni razionali, e più precisamente un elemento di dove denota il campo delle frazioni razionali in $p$ con coefficienti reali, cioè il campo delle frazioni dell'anello dei polinomi in $p$ . Questa matrice $G$ $($ $p$ $)$ è la matrice di trasferimento del sistema. ${\ displaystyle \ mathbb {R} (p) ^ {q \ times m}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} (p)}$ ${\ mathbb {R}} \ sinistra [p \ destra]$

Si dice che questa matrice di trasferimento sia pulita (risp. Rigorosamente pulita ) se tutti i suoi elementi lo sono, e impropria altrimenti.

Modulo Smith-MacMillan

Sia $δ ( p ) \neq 0$ il minimo comune denominatore di tutti gli elementi della matrice . La matrice $N$ $($ $p$ $) =$ $δ$ $($ $p$ $)$ $G$ $($ $p$ $)$ quindi appartiene , e poiché l'anello è principale, il teorema del fattore invariante mostra che esistono matrici $P$ $($ $p$ $)$ e $Q$ $($ $p$ $)$ , invariabili su , tale che $Σ ($ $p$ $) =$ $P$ $($ $p$ $)$ $N$ $($ $p$ $)$ $Q$ $-1$ $($ $p$ $)$ è la forma di Smith di $N$ $($ $p$ $)$ . Questa matrice $Σ ($ $p$ $) ha$ la forma ${\ displaystyle G (p) \ in \ mathbb {R} (p) ^ {q \ times m}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p] ^ {q \ times m}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p]}$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ alpha _ {1} (p) & 0 && \\ 0 & \ ddots && \\ && \ alpha _ {r} (p) & \\ &&& 0 \\\ end { pmatrix}}}

dove è il rango di on (quindi di $G$ $($ $p$ $)$ on ) e dove $($ $α$ $i$ $($ $p$ $))$ $1 \leq$ $i$ $\leq$ $r$ sono elementi diversi da zero per soddisfare la relazione di divisibilità . Questi elementi $α$ $i$ $($ $p$ $)$ sono i fattori invarianti di $N$ $($ $p$ $)$ e sono determinati in modo univoco fino alla moltiplicazione per unità (cioè elementi invertibili) di (vedi l'articolo invarianti del teorema del fattore ). Quindi abbiamo $r$ ${\ displaystyle N (p)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} (p)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p]}$ $\ alpha _ {1} \ mid \ alpha _ {2} \ mid \ dots \ mid \ alpha _ {r}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p]}$

{\ displaystyle G (p) = P ^ {- 1} (p) {\ mathcal {M}} (p) Q (p)}

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} (p) = {\ frac {1} {\ delta (p)}} \ Sigma (p) = {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {\ delta ( p)}} \ Delta (p) & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}

Finalmente abbiamo

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} (p) = {\ begin {pmatrix} {\ frac {n_ {1} (p)} {d_ {1} (p)}} & 0 && \\ 0 & \ ddots && \ \ && {\ frac {n_ {r} (p)} {d_ {r} (p)}} & \\ &&& 0 \\\ end {pmatrix}}}

dove le frazioni razionali $n io ( p ) / d i ( p )$ sono irriducibili. Abbiamo i rapporti di divisibilità e . Gli elementi $n$ $i$ e $d$ $i$ per $1 \leq$ $i$ $\leq$ $r che$ soddisfano queste condizioni sono determinati in modo univoco da $G$ $($ $p$ $) fino$ alla moltiplicazione per unità di , quindi la matrice delle frazioni razionali è canonica ed è chiamata forma Smith-MacMillan di $G$ $($ $p$ $)$ . Va notato che il fatto che $G$ $($ $p$ $)$ sia una matrice di trasferimento propria (risp. Strettamente propria) non implica che le frazioni razionali $n _ {{1}} \ mid n _ {{2}} \ mid \ dots \ mid n _ {{r}}$ $d _ {{r}} \ mid d _ {{r-1}} \ mid \ dots \ mid d _ {{1}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p]}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {M}} (p)}$ $n io ( p ) / d i ( p )$ essere.

Poli di trasmissione e zeri

I poli di trasmissione (risp. Zeri) del sistema avente per matrice di trasferimento $G ( p )$ sono le radici nei polinomi $d$ $i$ $($ $p$ $)$ (risp. $N$ $i$ $($ $p$ $)$ ) sopra. Se $p$ $0$ è una radice di ordine $ν$ $i$ di $d$ $i$ $($ $p$ $)$ per $1 \leq$ $i$ $\leq$ $ρ$ , specificheremo che il polo $p$ $0$ ha per gli indici strutturali ${$ $ν$ $1$ $, ...,$ $ν$ $ρ$ $}$ . Questa definizione è valida per gli zeri, mutatis mutandis . $\ mathbb {C}$

Considera ad esempio la matrice di trasferimento

{\ displaystyle G (p) = {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {(p + 1) ^ {2}}} & {\ frac {1} {(p + 1) (p + 2) }} \\ {\ frac {1} {(p + 1) (p + 2)}} & {\ frac {p + 3} {(p + 2) ^ {2}}} \ end {pmatrix}} }

Abbiamo, con le notazioni precedenti, $δ ( p ) = ( p +1) 2 ( p +2) 2$ e

{\ Displaystyle N (p) = {\ begin {pmatrix} (p + 2) ^ {2} & (p + 1) (p + 2) \\ (p + 1) (p + 2) & (p + 1) ^ {2} (p + 3) \ end {pmatrix}}}

Le operazioni elementari sulle righe e sulle colonne usate nel teorema del fattore invariante permettono di ottenere per $N ( p )$ la forma di Smith

{\ displaystyle \ Sigma (p) = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (p + 1) ^ {2} (p + 2) ^ {3} \ end {pmatrix}}}

e la forma Smith-MacMillan di $G ( p )$ è quindi

{\ displaystyle {\ mathcal {M}} (p) = {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {(p + 1) ^ {2} (p + 2) ^ {2}}} & 0 \ \ 0 & p + 2 \ end {pmatrix}}}

I poli di trasmissione sono quindi -1 e -2, ed entrambi hanno l'unico indice strutturale 2. L'unico zero di trasmissione è -2 con l'unico indice strutturale 1. Notiamo in questo esempio che lo stesso numero complesso (in questo caso, -2) può essere sia un polo di trasmissione che uno zero di trasmissione, cosa ovviamente impossibile nel caso di sistemi monovariabili.

Interpretazione

Sia $G ( p )$ (risp. $G ( z )$ ) la matrice di trasferimento di un sistema a tempo continuo (risp. Tempo discreto) e supponiamo che questa matrice di trasferimento sia propria. Allora il sistema considerato è EBSB stabile se e solo se i suoi poli di trasmissione sono tutti situati nel semipiano sinistro (risp. All'interno del cerchio unitario).

Per una più facile interpretazione degli zeri di trasmissione, assumeremo che $m = q = r$ (un caso al quale possiamo anche ridurre sempre). Allora il numero complesso $λ$ è uno zero di trasmissione se, e solo se, con condizioni iniziali zero, esiste un input $u$ diverso da zero della forma (risp. ) , Così come una forma lineare diversa da zero come la combinazione lineare è identicamente nullo. ${\ displaystyle t \ mapsto A {\ rm {e}} ^ {\ lambda t}}$ $k \ mapsto A \ lambda ^ {{k}}$ ${\ displaystyle A \ in \ mathbb {C} ^ {m}}$ ${\ displaystyle B ^ {\ prime} \ in \ mathbb {C} ^ {1 \ times q}}$ ${\ displaystyle \ langle B ^ {\ prime}, y \ rangle}$

Funzioni di trasferimento di sistemi a dimensione infinita

Sistemi dimensionali infiniti

La nozione di sistema di dimensione infinita può essere definita solo da una negazione: si tratta di un sistema che non è di dimensione finita. La varietà di questi sistemi è quindi immensa. La "dimensione" in questione qui è quella dello spazio degli stati, e il fatto che sia infinita risulta nel fatto che la funzione di trasferimento è irrazionale. Non si tratta qui di essere esaustivi, e la breve presentazione che segue è limitata al caso dei sistemi lineari, con tempo continuo e con ritardi commensurabili (distribuiti o meno).

Formulazioni algebriche

Ritardi non distribuiti

Consideriamo prima un sistema della forma

{\ Displaystyle \ sum _ {0 \ leq i \ leq n, 0 \ leq j \ leq m} a_ {ij} y ^ {(i)} (tj \ tau) = \ sum _ {0 \ leq i \ leq p, 0 \ leq j \ leq q} b_ {ij} u ^ {(i)} (tj \ tau)}

dove $a ij$ e $b ij$ sono coefficienti reali ( $a ij$ non sono tutti zero) e dove $τ > 0$ è il ritardo. Chiedendo

{\ displaystyle a (s, z) = \ sum _ {0 \ leq i \ leq n, 0 \ leq j \ leq m} a_ {ij} s ^ {i} z ^ {j}}

{\ Displaystyle b (s, z) = \ sum _ {0 \ leq i \ leq p, 0 \ leq j \ leq q} b_ {ij} s ^ {i} z ^ {j}}

la funzione di trasferimento del sistema si scrive $G ( p ) = N ( p ) / D ( p )$ con $N ( p ) = b ( p , e - τp )$ e $D ( p ) = a ( p , e - τp )$ . Questa funzione di trasferimento appartiene quindi al corpo delle frazioni dell'anello , al quale l'anello è isomorfo . Questo anello è fattoriale secondo un teorema di Gauss (vedi Anelli di polinomi ), quindi $una$ $($ $s$ $,$ $z$ $)$ e $b$ $($ $s$ $,$ $z$ $)$ hanno una gcd $c$ $($ $s$ $,$ $z$ $)$ . Gli elementi $a '$ $($ $s$ $,$ $z$ $) =$ $a$ $($ $s$ $,$ $z$ $) /$ $c$ $($ $s$ $,$ $z$ $)$ e $b'$ $($ $s$ $,$ $z$ $) =$ $b$ $($ $s$ $,$ $z$ $) /$ $c$ $($ $s$ $,$ $z$ $)$ sono quindi primi tra loro in , e abbiamo $G$ $($ $p$ $) =$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [p, {\ rm {e}} ^ {- \ tau p}]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [s, z]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [s, z]}$ $N ' ( p ) / D ' ( p )$ con $N ' ( p ) = b' ( p , e - τp )$ e $D ' ( p ) = a' ( p , e - τp )$ .

I poli di trasmissione (risp. Zeri) del sistema sono definiti come gli zeri nel piano complesso di $D ' ( p )$ (risp. $N' ( p )$ ).

supporre che

{\ displaystyle {\ underset {_ {\ left \ vert p \ right \ vert \ rightarrow + \ infty}} {lim}} \ left \ vert G (p) \ right \ vert <\ infty}

Allora, il sistema è EBSB stabile se esiste un reale $ε > 0$ tale che i suoi poli di trasmissione (che in genere sono in numero infinito) hanno tutti una parte reale minore di $-ε$ .

Questo sistema è osservabile. Poiché l'anello non è un anello Bezout , ci sono diversi tipi di controllabilità. Infine, l'analisi di cui sopra non può essere generalizzata al caso dei sistemi multivariati. Questo è il motivo per cui è necessario procedere ad un cambio dell'anello operatore, che porta a considerare sistemi di ritardo distribuito. ${\ displaystyle \ mathbb {R} [s, z]}$

Ritardi distribuiti

Si consideri ad esempio l'operatore di ritardo distribuito definito da $u \ mapsto y$

{\ Displaystyle y (t) = \ int _ {t-1} ^ {t} u (\ tau) d \ tau}

La sua funzione di trasferimento è che può essere considerata come un elemento di dove denota l'anello di intere funzioni nel piano complesso. L'anello così definito è molto adatto per lo studio di sistemi di ritardo commensurabili distribuiti. Sebbene non sia principale, è davvero un anello con divisori elementari . Pertanto, una matrice di elementi in questo anello ammette una forma Smith e una matrice di elementi nel corpo della frazione di questo anello ammette una forma Smith-MacMillan. La teoria dei sistemi definiti su questo anello è quindi abbastanza simile (algebricamente) a quella dei sistemi definiti sull'anello classico degli operatori differenziali . Tuttavia, il numero di poli e di zeri di trasmissione questa volta è generalmente infinito. ${\ displaystyle {\ frac {1 - {\ rm {e}} ^ {- p}} {p}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = \ mathbb {R} (p) [{\ rm {e}} ^ {p}, {\ rm {e}} ^ {- p}] \ cap {\ mathcal {E}} (p)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} (p)}$ ${\ mathcal {H}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [\ partial]}$

Supponendo che gli elementi $G ij ( p )$ della matrice di trasferimento $G ( p )$ siano tutti tali che

\ lim _ {{| p | \ rightarrow \ infty}} | G _ {{ij}} (p) | <\ infty

il sistema è EBSB stabile se esiste un reale $ε > 0$ tale che i poli di trasmissione (in genere in numero infinito) abbiano tutti una parte reale inferiore a $-ε$ .

Funzioni di trasferimento di sistemi a coefficienti variabili

Caso di sistemi a tempo continuo

Lasciare $K$ un campo differenziale con il solito derivazione (ad esempio anello complesse frazioni razionali), e lasciare $D$ $=$ $K$ $[$ $\partial$ $]$ con l'anello dei polinomi sinistra in $\partial$ a coefficienti in $K$ . Se è una variabile, abbiamo secondo la regola di Leibniz , e poiché questo è vero qualunque $f$ abbiamo su $D$ la regola di commutazione $a \ mapsto {\ dot {a}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {K} = \ mathbb {C} (t)}$ ${\ mathbf {\ partial =}} {\ frac {d} {dt}}$ ${\ Displaystyle f \ in \ mathbf {D}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ partial} (af) = {\ dot {a}} f + a \ partial f}$

{\ mathbf {\ partial}} aa \ partial = {\ dot {a}}

L'anello $D$ , fornito con questa regola, è un anello principale semplice e non commutativo. Inoltre, è un anello minerale che ammette un campo di frazioni $F$ a sinistra ea destra. Ogni elemento di $F$ assume la forma $a -1 b = b ' a' -1$ dove $a , a ' , b , b'$ appartengono a $D$ e $a , a '$ sono diversi da zero.

Da un punto di vista algebrico, un sistema differenziale lineare coefficiente $K$ è un'unità tipo di finitura su $D$ . Una colonna $u$ di $m$ elementi $u$ $i$ in può essere scelta come input per il sistema se il modulo $D$ $[$ $u$ $]$ $D$ generato da $u$ $i$ è privo di rango $me$ tale che il quoziente $M$ $/ [$ $u$ $]$ $D$ è torsionale. Indichiamo quindi la colonna di elementi che rappresentano l'output del sistema. $M$ $M$ $y$ $q$ $y _ {{i}}$

Considera il funtore di Laplace :

{\ mathcal {L}} = {\ mathbf {F}} \ otimes _ {{{\ mathbf {D}}}} -

Le suddette equivale a dire che le immagini canoniche in forma di una base della $F$ spazio-vettore . Pertanto, notando le immagini canoniche di in , esiste un'unica matrice $G$ $\in$ $F$ $q$ $\times$ $m$ tale che ${\ displaystyle {\ hat {u}} _ {i} = 1 _ {\ mathbf {F}} \ otimes u_ {i}}$ ${\ hat {M}} = {\ mathbf {F}} \ otimes _ {{{\ mathbf {D}}}} M$ ${\ hat {M}}$ ${\ hat {y}} _ {{i}}$ $y _ {{i}}$ ${\ hat {M}}$

{\ hat {y}} = G {\ hat {u}}

Questa matrice $G$ è la matrice di trasferimento del sistema a coefficienti variabili.

Caso di sistemi a tempo discreto

Il caso dei sistemi a tempo discreto può essere trattato come segue: questa volta si considera un campo di differenza , fornito con l'operatore di anticipo . Sia l'anello dei polinomi di Laurent sinistro l'indeterminato $q$ (operatore di anticipo che è un'estensione di ) fornito con la legge di commutazione . Questo anello $D$ è, come prima, un anello principale non commutativo e semplice (quest'ultima proprietà dà il vantaggio di $D$ sull'anello dei polinomi di sinistra , che è principale ma non semplice) e $F$ ammette un campo di frazioni $F a$ sinistra e giusto. Un sistema a tempo discreto lineare per essere identificato con un tipo di modulo sopra $D$ . La costruzione del paragrafo precedente può quindi essere ripetuta senza modifiche, grazie al funtore trasformato in Z : ${\ mathbf {K}}$ ${\ displaystyle \ alpha: x (t) \ mapsto x (t + 1)}$ ${\ mathbf {D}} = {\ mathbf {K}} \ sinistra [q, q ^ {{- 1}}; \ alpha \ right]$ $\alfa$ ${\ displaystyle qa = \ alpha (a) q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D} = \ mathbf {K} [q; \ alpha]}$

{\ mathcal {Z}} = {\ mathbf {F}} \ otimes _ {{{\ mathbf {D}}}} -

Note e riferimenti

Appunti

Bose 2003
Pommaret 2001 , Zerz 2003
Mitra e Ekstrom 1978
Le Ballois e Codron 2006
Bourlès 2010 , §11.1.4.
Dieudonné 1975 , §22.19
Fliess 1994
Bourlès e Marinescu 2011 , Cap. 11
Cfr Relazione tra il bilaterale trasformare e il monolaterale trasformare e trasformata di Laplace .
Bourlès 2010 , Cap. 7.
Bourlès 2010 , §10.3.3
Bourlès 2010 , §2.4.2
MacFarlane e Karcanias 1976
Bourlès 2010 , §2.4.5
MacFarlane e Karcanias 1976 , Schrader e Sain 1989
Curtain e Zwart 1995
Kamen 1980
Bellman e Cooke 1963
Mounier 1995 , Rocha e Willems 1997
Gluesing-Luerssen 2001
Bourlès e Marinescu 2011 , §4.3.1
Bourlès e Marinescu 2011 , §2.5.3
Fliess 1990
Fliess 1989
Bourlès e Marinescu 2011 , § 2.8.3

Riferimenti

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Vedi anche