Teorema di Schmidt (teoria dei gruppi)

In matematica , specialmente nella teoria dei gruppi , il teorema di Schmidt , dimostrato da Otto Schmidt nel 1924, diceva che se G è un gruppo finito in cui tutti i sottogruppi sono nilpotenti , G è risolvibile . K. Iwasawa ha fornito una descrizione più precisa del gruppo G con gli stessi presupposti.

Dimostrazione

Noi ragioniamo per induzione sul ordine del gruppo . I gruppi ciclici sono risolvibili. Supponiamo quindi, per un certo n , che l'affermazione sia vera per tutti i gruppi di ordine < n , e che G sia un gruppo non ciclico di ordine n (quindi n > 1) di cui tutti i sottogruppi propri sono nilpotenti. Secondo il Lemma 2 di seguito, G non è semplice . Per ipotesi di induzione e secondo il teorema di corrispondenza è quindi risolvibile (perché la nilpotenza passa ai quozienti e la risolubilità alle estensioni ).

Lemma 1  -  In un gruppo finito i cui sottogruppi massimi hanno intersezione banale da 2 a 2, uno di questi sottogruppi massimi è normale .

Dimostrazione

Supponiamo che nessun sottogruppo massimale di G sia normale. Allora :

Gli H \ { e } per H massimale (dove e indica l'elemento neutro) essendo inoltre supposto essere disgiunto da 2 a 2, formano una partizione di G \ { e }. Notando c il numero delle loro classi di coniugazione, h i l'indice dei sottogruppi della i -esima classe eg l'ordine di G , deduciamo una contraddizione:

Lemma 2  -  Sia G un gruppo finito non ciclico. Se tutti i sottogruppi massimi di G sono nilpotenti, allora G non è semplice.

Dimostrazione

Tra le intersezioni di due distinti sottogruppi massimi (se presenti), sia I = H ∩ K di massimo ordine. È un sottogruppo appropriato del gruppo nilpotente H, quindi l'inclusione di I nel normalizzatore N H ( I ) è rigorosa. Al massimo di | I |, l'unica massimo sottogruppo di G contenente N H ( I ) è H . Allo stesso modo, K è l'unico sottogruppo massimale contenente N K ( I ). Il sottogruppo N G ( I ), che contiene sia N H ( I ) che N K ( I ), non è quindi incluso in nessun sottogruppo massimale, cioè è uguale a G , o ancora, che I è normale.

Se G è semplice, deduciamo che | Io | = 1 (oppure G ha un solo sottogruppo massimale). Possiamo quindi applicare il Lemma 1: uno dei sottogruppi massimi di G è normale. Come G si presume non ciclico, questo sottogruppo non è banale, che contraddice la semplicità di G .

Dettagli della struttura del gruppo

Lasciate G sia un gruppo finito di cui tutti i sottogruppi propri sono nilpotente, allora G è nilpotente o di ordine p m q n con p e q distinte prime e m , n ≥ 1.

Dimostrazione

Qualsiasi finita p -gruppo è nilpotente. Supponiamo che | G | ha almeno tre divisori primi. Poiché (secondo il teorema di Schmidt) G è risolvibile, ha un normale sottogruppo H di indice primo p . Poiché H è un sottogruppo proprio di G , è nilpotente. Suoi sottogruppi di Sylow pertanto sono (completamente) caratteristico in H così normale in G . Scegliamo in G , per ogni divisore primo q di | G |, a q -Sylow P q . Secondo quanto sopra, per qualsiasi q ≠ p , P q è normale in G . Come ogni P p P q (per q ≠ p ) è nilpotente (per proprio a G ), P p è centralizzato da tutti P q così è, come loro, normale in G . Pertanto, G è nilpotente.

Numeri poco potenti

Un numero nilpotente è un numero intero n ≥ 1 tale che qualsiasi gruppo di ordine n è nilpotente. I numeri nilpotenti sono caratterizzati dal seguente teorema:

Sia p 1 k 1 … p r k r la scomposizione in fattori primi di n . Il numero n è nilpotente se e solo se per tutti i ≠ j , k i è strettamente minore dell'ordine moltiplicativo di p i modulo p j .

Dimostrazione

Sia n un numero intero la cui scomposizione in fattori primi non soddisfa la condizione dell'enunciato. Allora, n è un multiplo di un intero della forma p k q con p e q primi distinti, k ≥ 1 ep k ≡ 1 mod q . Costruiamo facilmente un gruppo non nilpotente di ordine p k q , come prodotto semidiretto di GL ( k , F p ) per ℤ / q ℤ e deduciamo un gruppo non nilpotente di ordine n , per prodotto diretto per un gruppo arbitrario di ordine adeguato.

Viceversa, supponiamo che la scomposizione in fattori primi di n soddisfi la condizione dell'enunciato e mostri che qualsiasi gruppo G di ordine n è nilpotente. Procediamo per induzione fondata , assumendo che l'affermazione sia vera per tutti gli ordini < n . Secondo la sezione precedente, G è quindi nilpotent dove n ha esattamente due fattori primo p e q . Ma in questo secondo caso, assumendo la scomposizione in fattori primi di n e 3 e teorema di Sylow , G ha un p -Sylow e q -Sylow unici così normali, così che G è il loro prodotto diretto quindi, anche qui, G è nilpotente.

(In particolare, i numeri pari nilpotenti sono quindi le potenze di 2. )

Per ogni intero c ≥ 1, abbiamo un'affermazione più precisa riguardante la classe di nilpotenza:

Per qualsiasi numero nilpotente n , i seguenti due proprietà sono equivalenti:

Dimostrazione

Qualsiasi gruppo di ordine n (quindi nilpotente) è un prodotto diretto dei suoi sottogruppi Sylow. La sua classe di nilpotenza è quindi la massima delle loro.

Per tutti i p prime:

Note e riferimenti

  1. (de) OJ Schmidt, “Über Gruppen, deren sämtliche Teiler spezielle Gruppen sind”, Mathematical Collection [ Mat. Sbornik ], Mosca, vol. 31, 1924, p.  366-372 . (Riferimento fornito da (en) John S. Rose, A Course on Group Theory , CUP ,1978( leggi in linea ) , p.  264 e 298.) Originale russo online .
  2. Per una dimostrazione del teorema in questa forma, vedere G. Endimioni, "  An Introduction to nilpotent groups: Cours de DEA  " , Centre for Mathematics and Computer Science, University of Provence (France), 1996/1997 , p.  17-18.
  3. (de) K. Iwasawa, "Ueber die Struktur der endlichen Gruppen, deren echte Untergruppen sämtlich nilpotent sind", Proc. Phys.-Math. Soc. Giappone , vol. 23, 1941, p.  1-4 . (Riferimento fornito da Rose 1978 , p.  264 e 297.)
  4. Endimioni 1996/1997 , Lemma 4.2. Confronta con il lemma di (en) Joseph Gallian e David Moulton, "  Quando Z n è l'unico gruppo di ordine n ?  » , Elemente der Mathematik , vol.  48, n o  3,1993, p.  117-119 ( leggi in linea ), che riguarda i numeri ciclici .
  5. Per maggiori dettagli, vedere (de) Bertram Huppert  (en) , Endliche Gruppen , vol.  Io, Springer , coll.  "  Grund. matematica. Wiss.  "( N o  134),2013( 1 °  ed. 1967) ( linea di lettura ) , p.  281.
  6. (it) OEIS A056867  : seguenti numeri nilpotenti.OEIS 
  7. (in) Gerhard Pazderski, "  Die Ordnungen, zu denen nur mit Gruppen gegebenen gehören Eigenschaften  " , Arch. Matematica. , vol.  10,1959, p.  331-343 ( DOI  10.1007 / BF01240807 ).
  8. (a) Jonathan Pakianathan e Shankar Krishnan, "  numeri nilpotenti  " , Amer. Matematica. Mensile , vol.  107, n o  7,2000, p.  631-634 ( JSTOR  2589118 , leggi in linea )(caratterizzazione di numeri risolvibili , nilpotenti, abeliani o ciclici ).
  9. Ispirato da Pakianathan e Shankar 2000 .
  10. (in) Thomas W. Müller, "  Un teorema aritmetico relativo a gruppi di classi di nilpotenza limitate  " , Journal of Algebra , vol.  300, n o  1,2006, p.  10-15 ( Recensioni matematiche  2228629 , leggi online ), afferma di dimostrare direttamente la completa caratterizzazione aritmetica dei “numeri nilpotenti di classe al massimo c  ” e quindi di trovare quelli dei numeri nilpotenti (per c = ∞ ) e dei numeri abeliani (per c = 1). In realtà, la sua dimostrazione si basa non solo, come quella sopra, sul teorema di Schmidt e sulla struttura del gruppo - in una versione più precisa ( Huppert 2013 , p.  281) di quella qui usata, ma anche su un teorema di Hall relativo al numero di automorfismi di un p -gruppo , mentre  di Sylow 3 ° teorema era sufficiente per noi.
  11. ( entra  ) Charles Leedham-Green ( entra ) e Susan McKay, The Structure of Groups of Prime Power Order , OUP ,2002( leggi online ), sezione 3.1.

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