Numero ciclico (teoria dei gruppi)

Nella teoria dei gruppi , un numero ciclico è un intero n tale che esiste un gruppo finito di ordine n ( fino all'isomorfismo ) il gruppo ciclico (ℤ / n ℤ +) , o un intero n tale che qualsiasi gruppo di ordine n è ciclico.

Allo stesso modo, un numero abeliano è un intero n tale che qualsiasi gruppo di ordine n è abeliano .

Qualsiasi numero ciclico è abeliano e qualsiasi numero abeliano è nilpotente . L'appartenenza di un numero intero a una di queste classi può essere letta dalla sua scomposizione in fattori primi .

Esempi e controesempi

Il numero 1 è ciclico (vedi “ Gruppo banale ”).
Ogni numero primo è ciclico (vedi " Applicazioni del teorema di Lagrange ").
Il numero 15 è ciclico (vedi " Applicazioni dei teoremi di Sylow ").
Ogni quadrato di un numero primo è abelian ma non ciclica (vedere “ Nota sulla p -Gruppi ”).
Nessun numero pari maggiore o uguale a 6 è abeliano (vedi “ Gruppo diedro ”).
Nessun cubo di numero primo p è abeliano (vedere " gruppo di Heisenberg su F p ").
Ogni divisore di un numero abeliano (risp. Ciclico) è abeliano (risp. Ciclico) (vedere " Prodotto diretto ").

Vedi anche: " Elenco dei piccoli gruppi ".

Caratterizzazione

Sia p 1 k 1 … p r k r la scomposizione di n in fattori primi (con p 1 <… < p r e k i ≥ 1).

n è ciclico se e solo se n è primo con φ ( n ), dove φ denota l' indicatrice di Eulero o più esplicitamente: se n è quadrato (cioè tutti gli esponenti k i sono uguali a 1) e per tutti $i < j$ , $p i$ non divide $p j - 1$ .
n è abeliano se e solo se n è "senza cubo" (cioè per ogni i , k i è uguale a 1 o 2) e per tutti $i \neq j$ , $p i$ non divide $p j k d - 1$ .

Corollari:

Se n è abeliano, il numero di gruppi abeliani di ordine n è uguale a . ${\ displaystyle 2 ^ {\ sum (k_ {i} -1)}}$
Per tutti naturali numeri uno e b non entrambi zero, esiste un'infinità di numeri abelian contenenti un principali fattori alla potenza 1 e b fattori primi alla potenza 2 (secondo al di Dirichlet progressione aritmetica teorema ). Allo stesso modo, poiché non tutto è zero, esiste un numero ciclico infinito che ha un fattore primo.

Dimostrazione

Ogni gruppo ciclico è abeliano, vale a dire nilpotente di classe al massimo 1. Tuttavia, l'articolo dettagliato mostra che:

l'intero n è nilpotente ( cioè qualsiasi gruppo di ordine n è nilpotente) se e solo se per tutti $i \neq j$ e tutti i $k$ tra $1$ e $k i$ , $p j$ non divide $p i k - 1$ ;
qualsiasi gruppo di ordine n è nilpotente di classe al massimo c (per c ≥ 1) se e solo se, inoltre, n è “senza potenze ( c + 2) -esime”.

I numeri abeliani sono quindi i numeri nilpotenti senza cubi. Allo stesso modo, mostriamo che i numeri ciclici sono numeri nilpotenti senza quadrati. Qualsiasi gruppo nilpotente finito è un prodotto diretto dei suoi sottogruppi Sylow ; è quindi ciclico se (e solo se) i suoi sottogruppi Sylow sono ciclici . Di conseguenza, l'intero n è ciclico se e solo se è nilpotente e se, inoltre, ciascuno dei suoi fattori primari p i k i è un numero ciclico, vale a dire ( vedi sopra ) k i = 1.

Note e riferimenti

(De) Tibor Szele , " Über die endichen Ordnungszahlen, zu denen nur eine Gruppe gehört " , Comment. Matematica. Helv. , vol. 20,1947, p. 265-267 ( DOI 10.1007 / BF02568132 ).
(in) Dieter Jungnickel , " Sull'unicità del gruppo ciclico di ordine $n$ " , Amer. Matematica. Mensile , vol. 99, n o 6,1992, p. 545-547 ( JSTOR 2324062 , leggi in linea ).
(in) Joseph Gallian e David Moulton, " Quand'è che $Z n è$ l'unico gruppo di ordine $n$ ? » , Elemente der Mathematik , vol. 48, n o 3,1993, p. 117-119 ( leggi in linea ).
(in) Jonathan Pakianathan e Shankar Krishnan, " numeri nilpotenti " , Amer. Matematica. Mensile , vol. 107, n o 7,2000, p. 631-634 ( JSTOR 2589118 , leggi in linea ).
(in) Sumit Kumar Upadhyay e Shiv Kumar Datt, " Esistenza di un singolo gruppo di ordine finito " , preprint ,2011( arXiv 1104.3831 ).
(in) THE Dickson , " Definizioni di un gruppo e di un campo da postulati indipendenti " , Trans. Amaro. Matematica. Soc. , vol. 6,1905, p. 198-204 ( leggi in linea ), § 5.
(in) Thomas W. Müller, " Un teorema aritmetico relativo a gruppi di classi di nilpotenza limitate " , Journal of Algebra , vol. 300, n o 1,2006, p. 10-15 ( leggi online ).

link esterno

(en) Suite A003277 del OEIS dei numeri ciclici
(en) Suite A051532 del OEIS dei numeri abelian
(it) “ Per quale $n$ esiste un solo gruppo di ordine $n$ ? » , On MathOverflow (tocca domande sulla densità asintotica )