Sottogruppo caratteristico

In un gruppo G , si dice un sottogruppo H.

caratteristica quando è stabile da qualsiasi automorfismo di G : ${\ displaystyle \ forall \ sigma \ in Aut (G), \ sigma (H) \ subset H ~;}$
strettamente caratteristico quando è anche stabile da qualsiasi endomorfismo suriettivo di G ;
completamente caratteristico , o ancora completamente invariante , quando è anche stabile da qualsiasi endomorfismo di G : ${\ Displaystyle \ forall \ sigma \ in End (G), \ sigma (H) \ subset H.}$

Proprietà

Un sottogruppo H di G è un sottogruppo caratteristico di G se e solo se ${\ displaystyle \ forall \ sigma \ in Aut (G) \ quad \ sigma (H) = H.}$ Infatti, se H è caratteristico in G, abbiamo , quindi ${\ Displaystyle \ forall \ sigma \ in Aut (G) \ quad \ sigma ^ {- 1} (H) \ subset H}$ ${\ displaystyle \ forall \ sigma \ in Aut (G), H \ subset \ sigma (H).}$
Un sottogruppo caratteristico di G è particolarmente stabile in ogni automorfismo interno di G : questo è un sottogruppo di G .
Qualsiasi sottogruppo caratteristico di un sottogruppo caratteristico di un gruppo G è un sottogruppo caratteristico di G.Infatti, se K è un sottogruppo caratteristico di un sottogruppo caratteristico H di G, allora, poiché H è caratteristico in G, qualsiasi automorfismo di G ammette una "restrizione" a H che è un automorfismo di H. Poiché K è caratteristico in H , , che equivale a ${\ displaystyle \ \ sigma}$ ${\ displaystyle \ \ sigma _ {H}}$ ${\ displaystyle \ \ sigma _ {H} (K) = K}$ ${\ displaystyle \ \ sigma (K) = K.}$
Qualsiasi sottogruppo caratteristico di un normale sottogruppo di un gruppo G è un normale sottogruppo di G.Dimostriamo questa proprietà come abbiamo dimostrato la precedente, questa volta considerando un automorfismo interno di G.

Esempi

Il sottogruppo derivata D ( G ) di un gruppo G è un sottogruppo (completamente) caratteristico della G .Infatti, per ogni endomorfismo σ di G e per tutti gli elementi x, y di G , abbiamo σ ([ x, y ]) = [σ ( x ), σ ( y )].
Il centro di un gruppo G è un sottogruppo strettamente caratteristico di G , ma non sempre completamente.Ecco un esempio che mostra che il centro di un gruppo non è sempre completamente caratteristico in questo gruppo. Sia A un gruppo e B un sottogruppo commutativo di A che non è contenuto nel centro di A. (Possiamo prendere ad esempio per A il gruppo simmetrico S 3 e per B qualsiasi sottogruppo di ordine 2 o 3 di A = S 3 ; allora B è commutativo e non è contenuto nel centro di A = S 3 , perché il centro di S 3 è ridotto all'elemento neutro.) Dimostriamo che il centro Z (A × B) = Z (A) × Z (B) = Z (A) × B di A × B non è un sottogruppo completamente caratteristico di A × B. Sia f l'endomorfismo (a, b) ↦ (b, 1) di A × B. L'immagine di Z (A × B) = Z (A) × B di f è B × {1} e quindi non è contenuto in Z (A × B) = Z (A) × B, poiché B non è contenuto in Z (A ).
Di solito un sottogruppo definito da un'espressione che non menziona alcun elemento particolare (diverso dall'elemento neutro) è caratteristico, perché il significato di tale espressione non cambia sotto alcun automorfismo. Così sono le caratteristiche:
- il sottogruppo derivato, che è generato da , ${\ displaystyle \ {\, xyx ^ {- 1} y ^ {- 1} \ mid x, y \ in G \, \}}$
- il centro, che è uguale a , ${\ displaystyle \ {\, x \ in G \ mid \ forall y \ in G: xy = yx \, \}}$
- il sottogruppo generato dagli elementi di ordine due (o di un altro ordine dato),
- il sottogruppo generato da , ecc. ${\ displaystyle \ {\, x ^ {2} \ mid x \ in G \, \}}$
Qualsiasi sottogruppo di Sylow sub- normale è completamente caratteristico.

Storia

L'espressione "sottogruppo caratteristico" ("charakteristische Untergruppe") fu introdotta nel 1895 da G. Frobenius .

Note e riferimenti

" Sottogruppo strettamente caratteristico " in (in) WR Scott, Teoria dei gruppi , Dover ,1987( 1 ° ed. 1964) ( linea di lettura ) , p. 51.
Completamente invariante in J. Delcourt, Théorie des groups , Paris, Dunod, 2001, p. 21.
vedi ad esempio J. Calais, Elementi di teoria dei gruppi , Parigi, 1984, pag. 158.
Scott 1987 , p. 51.
(in) DJS Robinson (de) , A Course in the Theory of Groups , Springer ,1996, 2 ° ed. ( leggi in linea ) , p. 30, eserc. 1.5.9.
(De) G. Frobenius, “Über endliche Gruppen”, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , gennaio-maggio 1895, p. 183, disponibile sul sito Internet Archive . (Riferimento a Frobenius fornito da (in) W. Burnside , Theory of Groups of Finite Order , 2 th ed., 1911, repr. Dover, 2004, p. 92.)

Vedi anche

Sottogruppo verbale (en)