Estensione di gruppi

In matematica, in particolare nella teoria dei gruppi , un'espansione di gruppo è un modo di descrivere un gruppo in termini di due gruppi "più piccoli". Più precisamente, un'estensione di un gruppo Q da parte di un gruppo N è un gruppo G che si inserisce in una breve sequenza esatta

{\ Displaystyle 1 \ to N \ to G \ to Q \ to 1.}

In altre parole: G è un'estensione di Q di N se (fino agli isomorfismi ) N è un normale sottogruppo di G e Q è il gruppo quoziente G / N

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L'estensione è chiamato centrale se N è inclusa nel centro di G .
L' estensione banale di Q da N è quello corrispondente al prodotto diretto N × Q .
Una sezione dell'estensione ${\ displaystyle 1 {\ xrightarrow {}} N {\ xrightarrow {i}} G {\ xrightarrow {p}} Q {\ xrightarrow {}} 1}$ è un morfismo ${\ Displaystyle s: Q \ to G \ quad {\ text {come}} \ quad p \ circ s = \ mathrm {id} _ {Q}.}$ Si dice quindi che l'estensione sia divisa . Le estensioni divise da Q per N sono quelle che corrispondono ai prodotti semidiretti . ${\ displaystyle N \ rtimes Q}$
Un morfismo di estensioni ${\ displaystyle {\ text {de}} \ quad 1 {\ xrightarrow {}} N {\ xrightarrow {i}} G {\ xrightarrow {p}} Q {\ xrightarrow {}} 1 \ quad {\ text {in }} \ quad 1 {\ xrightarrow {}} N {\ xrightarrow {i '}} G' {\ xrightarrow {p '}} Q {\ xrightarrow {}} 1}$ è un morfismo ${\ displaystyle \ varphi: G \ to G '}$ come il diagramma associato ${\ displaystyle {\ begin {matrix} &&& G &&& \\ && {\ overset {i} {\ nearrow}} && {\ overset {p} {\ searrow}} && \\ N &&& \ downarrow ^ {\ varphi} &&& Q \\ && {\ underset {i '} {\ searrow}} && {\ underset {p'} {\ nearrow}} && \\ &&& G '&&& \ end {matrix}}}$ pendolari , cioè tali che ${\ displaystyle \ varphi \ circ i = i '\ quad {\ text {e}} \ quad p' \ circ \ varphi = p.}$ Un tale morfismo è sempre un isomorfismo. $\ varphi$

Riferimento

N. Bourbaki , Elementi di matematica , Algebra , cap. I, § 6

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